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I sistemi di numerazione

Breve storia dei sistemi di numerazione

Probabilmente l’uomo primitivo, per contare gli animali e gli oggetti, usava le dieci dita delle mani e, una volta abbassate tutte, tracciava a terra o su una pietra un segno che, chiaramente, rappresentava una decina. Nasceva così il sistema di numerazione decimale. Se usava le dita di una sola mano, ogni segno rappresentava una cinquina e, di conseguenza, il sistema di numerazione era il quinario. Se oltre alle dita delle mani usava anche quelle dei piedi, al segno da lui tracciato corrispondeva una ventina e, di conseguenza, il sistema di numerazione era il bidecimale o vigesimale, usato dai Celti e dai Maya. Infine, se usava solo le due mani, senza tener conto delle dita, per contare le coppie, veniva fuori il sistema binario.

In seguito, nascendo l’esigenza dei calcoli, venivano usati gli abachi, tavolette divise in colonne su cui veniva stesa cera o sabbia (abaq in ebraico significa polvere) sulle quali si incidevano i numeri oppure si mettevano i sassolini (dal latino calculi). Gli Indiani modificarono gli abachi, introducendo, fra l’altro, un simbolo per indicare il vuoto. A quest’ultimo simbolo, che indicava la colonna priva di numeri nell’abaco, venne assegnato il nome di Sifr (deformato in seguito in zephyrum, poi in severo e quindi in zero), dallo studioso arabo Al-Khuwarismi, da cui deriva il termine algoritmo (procedimento di calcolo) in un suo libro che inizia con le parole kitab-al-giabr, da cui il termine algebra.

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione è un insieme finito di simboli e di regole che fanno corrispondere un significato numerico univoco ad ogni scrittura costruita con dei simboli o cifre, con delle regole assegnate che esprimono le modalità per rappresentare il numero come sequenze di cifre e con delle relazioni che permettono di effettuare le operazioni tra i numeri.

Il numero dei simboli presente in un sistema di numerazione è detto base del sistema. Normalmente vengono usati sistemi di numerazione a base fissa con rappresentazione posizionale in cui, cioè, le cifre assumono un valore ben preciso a seconda della posizione occupata nel numero. Per esempio, nel sistema decimale i due numeri 547 e 754, pur essendo formati dalle stesse cifre, hanno valore diverso. Infatti, il valore delle loro cifre dipende dal posto da esse occupato all’interno del numero.

In generale, un numero a base fissa B, con B > 1, è costituito da un insieme ordinato di B simboli che rappresentano i numeri a partire da zero fino al numero precedente la base. In tale base ogni numero > B viene rappresentato con una sequenza di simboli A_nA_n-1...A₁A₀ a cui viene attribuito il seguente significato: A_nA_n-1...A₁A₀ = A_nBⁿ + A_n-1B^n-1 + ... + A₁B¹ + A₀B⁰.

In cui A_n, A_n-1, ..., A₁, A₀ sono elementi appartenenti all’insieme dei B simboli. Se il numero di uno viene rappresentato nel seguente modo: 0.A₀A₁A₂...A_n-1 = A₀B^-1 + A₁B^-2 + ... + A_n-1B^-n.

La base B viene rappresentata da 10, che nel sistema decimale rappresenta il dieci. In generale, l’espressione polinomiale che rappresenta il numero N in un sistema di numerazione posizionale a base fissa è:

In informatica, i sistemi di numerazione a base fissa più usati sono il decimale, il binario, l’ottale e l’esadecimale.

Il sistema di numerazione decimale

Il sistema di numerazione decimale è un sistema di tipo posizionale ed è costituito da un insieme ordinato di dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Poiché è un sistema posizionale, ogni numero espresso in questo sistema è composto da più cifre affiancate, ciascuna delle quali ha peso diverso a seconda della posizione che occupa. Il peso di ciascuna cifra è espresso da una potenza che ha per base la base del sistema, e nel nostro caso 10, e per esponente la posizione della cifra rispetto alla prima cifra di destra che ha posizione 0. Quindi il valore...