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Il sistema di numerazione ottale

La cifra di peso inferiore, cioè quella più a destra, si chiama cifra meno significativa LSB (Least Significant Bit), mentre quella di peso maggiore, cioè quella più a sinistra, cifra più significativa MSB (Most Significant Bit).

Il sistema di numerazione a base 8 o ottale è un sistema di tipo posizionale ed è costituito da un insieme ordinato di otto simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Il sistema di numerazione esadecimale

Il sistema di numerazione a base 16 o esadecimale è un sistema di tipo posizionale ed è costituito da un insieme ordinato di sedici simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Quindi, come si vede, per la sua rappresentazione utilizza caratteri alfanumerici.

Conversione di un numero da base B a base 10: Ricordando che un numero in base B è rappresentato da una sequenza di cifre del tipo: A_n-1A_n-2...A₁A₀ con 0 < A < B, n-1, n-2, ..., 1, 0, è che il sistema di numerazione.

oggetto del nostro studio, è di tipo posizionale, il numero decimale N può essere scritto come:

(10)ⁿ * n-1 * 1 * 0N = A * Bⁿ + A * B^n-1 + .......... + A * B¹ + A * B⁰

Vediamo alcuni esempi:

Convertire in base 10 il numero 11010(2)

Convertire in base 10 il numero 10101(2)

Come si vede, dai due esempi riportati, se nel numero binario il bit meno significativo è 0, il corrispondente numero decimale è pari se, invece, il bit meno significativo è 1, il corrispondente numero decimale è dispari.

Convertire in base 10 il numero 467(8)

Convertire in base 10 il numero A4C(16)

Se il numero non è intero, bisogna tener conto della (1) e della (2).

Esempi:

Convertire in base 10 il numero 110,11(2)

Convertire in base 10 il numero 146,72(8)

Convertire in base 10 il numero 4C,1A(16)

Conversione di un numero da base 10 a base B.

Se il numero decimale è intero positivo per convertirlo ad una base qualunque B si usa il metodo delle divisioni successive cioè:

Si

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divide il numero decimale N per la base B;

Si otterrà un quoziente Q ed un resto R. Il resto R sarà la cifra meno significativa del numero cercato.

Si divide il quoziente Q ancora per B; si otterrà un nuovo quoziente Q e un resto R.

Questo procedimento verrà continuato finché Q non sarà zero.

A questo punto il numero in base B si ottiene posizionando ordinatamente i resti con cifra meno significativa e cifra più significativa, cioè:

0 nR R ……..R ………R R Rn n-1 j 2 1 0 (B)

Vediamo degli esempi:

Convertire 23 in base 2:

(10) Dividendo Divisore Quoziente Resto

23 :2 11 1

11 :2 5 1

5 :2 2 1

2 :2 1 0

1 :2 0 1

Quindi si ottiene: 10111 (2)

Convertire 327 in base 8

(10) Dividendo Divisore Quoziente Resto

327 :8 40 7

40 :8 5 0

5 :8 0 5

Si ottiene, pertanto: 507 (8)

Convertire 876 in base 16

(10) Dividendo Divisore Quoziente Resto

876 :16 54 C

54 :16 3 6

3 :16 0 3

Si ottiene, quindi: 36C (16)

Tutto il

discorso precedente vale, come abbiamo detto, solo se il numero decimale è un numero intero positivo. Se il numero decimale da convertire è un numero frazionario positivo minore di 1, per convertirlo in un numero in base B bisogna eseguire i seguenti passi:

1. Si moltiplica il numero in base 10 N per la base B, si otterrà un numero M. La parte intera di questo numero I sarà il numero più significativo dopo la virgola del numero cercato.
2. Si esegue la differenza M - I. Il risultato, che sarà di nuovo un numero frazionario, si moltiplica per la base B ottenendo un numero M. La parte intera di questo numero I sarà la seconda cifra frazionaria.
3. Si continuerà ancora come nel punto precedente fino ad ottenere un numero M intero, quest'ultimo sarà l'ultima cifra o la cifra meno significativa del numero cercato e il processo verrà interrotto.

Se M non risulta mai intero, allora il processo.sarà interrotto quando si è raggiuntala precisione richiesta. Esempi: Convertire in base 2 il numero 0,8125(10) N Fattore M I(10) 0.8125 *2 1.625 1 0.625 *2 1.25 1 0.25 *2 0.50 0 0.50 *2 1.00 1 Si ottiene, quindi: 0,1101 (2) Convertire in base 8 il numero 0,283203125 (10) N Fattore M I(10) 0.283203125 *8 2,265625 2 0.265625 *8 2,125 2 0.125 *8 1,00 1 Pertanto si ha: 0,221 (8) Convertire in base 16 il numero 0,283203125(10) N Fattore M I(10) 0,283203125 *16 4,53125 4 0,53125 *16 8,5 8 0,5 *16 8,00 8 Si ha quindi: 0,488 (16) Se il numero decimale da convertire è un numero frazionario positivo maggiore di 1, bisogna separare la parte intera dalla parte frazionaria e poi convertire separatamente i due numeri ottenuti. Esempio: Convertire in binario il seguente numero decimale: 23,8125 la parte intera è (10)23 che convertito in binario è: 10111 ; la parte frazionaria è 0,8125 che(10) (2) (10) convertita in binario è: 0,1101 . Pertanto il numero 23,8125 convertito in

binario(2) (10)sarà: 10111,1101. Alla stesso modo si ragiona per convertire un qualsiasi numero decimale frazionario positivo maggiore di 1 sia in base 8 che in base 16.

Conversione di un numero da base B a B .1 2

Per convertire un numero da base B a base B , conviene usare una base intermedia,1 2 generalmente si usa la base 10. Dalla se B il numero viene convertito in base 10 e,1 successivamente, dalla base 10 alla base B .23

Il passaggio dalla base 2 alla base 8=2 risulta abbastanza semplice. Si scompone il numero binario in gruppi di tre cifre a partire da quella meno significativa e sostituendo ad ogni gruppo il corrispondente numero ottale.

Esempio: Convertire in ottale il seguente numero binario: 10101011111 .(2)

Viene scomposto in gruppi di tre cifre il numero binario: 10 101 011 111 e, pertanto, si ha: 2537 .(8) 4

Altrettanto semplice risulta il passaggio dalla base 2 alla base 16=2 . Si scompone il numero binario in gruppi di quattro cifre a partire da quella meno significativa

Esostituendo ad ogni gruppo il corrispondente numero esadecimale.

Esempio: Convertire in esadecimale il seguente numero binario: 1110101011111 (2)

Viene scomposto in gruppi di quattro cifre il numero binario: 1 1101 0101 1111 e, pertanto, si ha: 1D5F (16)

Procedimento inverso si usa per passare dalla base 8 alla base 2. Ad ogni numero nel sistema ottale si fa corrispondere un numero binario composto da tre bit.

Esempio: Convertire in binario il seguente numero: 573 si ha: 101111011 (8) (2)

Stesso procedimento viene seguito per passare dalla base 16 alla base 2. Ad ogni numero nel sistema esadecimale si fa corrispondere un numero binario composto da quattro bit.

Esempio: Convertire in binario il seguente numero: 8A5C si ha: 1000101001011100 (16) (2)

Operazioni aritmetiche con i numeri binari

Le regole utilizzate per le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione non dipendono dalla base del sistema di numerazione utilizzato, cioè sono invarianti rispetto alla base del

Somma di numeri binari

Nell'eseguire la somma fra due numeri binari bisogna tener conto delle seguenti relazioni:

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 con il riporto (R) di 1; questa operazione altro non è che 1+1=10 =2 .(2) (10)

Esempio:

Sommare i due numeri binari: 1010 ; 1011 .(2) (2)

R11010 + Verifica 10 +(2) (10)1011 = 11 =(2) (10)10101 21(2) (10)

Sottrazione di due numeri binari

Nell'eseguire la somma fra due numeri binari bisogna tener conto delle seguenti relazioni:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

0 - 1 = 1 con il prestito (P) di 1

1 - 1 = 0

Esempio:

Sottrarre da 1000110 il numero 1101 :(2) (2)

P P P P

1 1 1 1

1 0 0 0

1 1 0 – verifica 70 -(2) (10)

0 0 0 1 1 0 1 = 13 =(2) (10)

0 1 1 1 0 0 1 57(2) (10)

Rappresentazione in modulo e segno dei numeri binari

I numeri del sistema binario possono essere rappresentati in modulo e segno. Per rappresentare il segno viene utilizzato il bit più significativo (MSB), mentre gli altri bit rappresentano il modulo. Se il bit più

significativo è zero, il segno è positivo; se è 1 il segno è negativo. Per formato di un numero si intende il numero il numero di cifre utilizzate per rappresentarlo. Se un numero rappresentato in modulo e segno ha formato 8, significa che l'MSB rappresenta il segno mentre i rimanenti sette bit rappresentano il modulo.

Complemento a 2 di un numero binario

Il metodo del complemento a 2 viene utilizzata nei calcolatori perché con esso l'operazione di sottrazione è sostituita dall'operazione di addizione. Per eseguire il complemento a due di un numero binario prima si calcola il complemento a 1 del numero sostituendo ogni suo bit di valore 1 con un bit di valore zero ed ogni suo bit di valore zero con un bit di valore 1, al risultato viene aggiunto 1. Ad esempio se si ha il numero 101101001, il suo complemento a 1 è 010010110. Per ottenere il complemento a 2 bisogna aggiungere 1 al complemento a 1, cioè: 010010110 + 1 =

010010111. Sottrazione fra due numeri binari col metodo del complemento a 2. Per eseguire la sottrazione fra due numeri binari col metodo del complemento a due, si ricava il complemento a 2 del sottraendo e poi si somma il minuendo con il complemento a due del sottraendo trascurando l'eventuale riporto dell'ultima cifra. Supponga di dover sottrarre dal numero 11101 il numero 01110. Il complemento(2) (2) a 1 del sottraendo è: 10001 e quindi il complemento a 2 è 10001+1= 10010 si somma ora il minuendo con il complemento a 2 ottenuto si ha: 1 1 1 0 1 + (2) 1 0 0 1 0 = (2) 1 0 1 1 1 1 Il riporto 1 viene trascurato, quindi il risultato della differenza fra i due numeri dati è: 01111.

Moltiplicazione fra due numeri binari. Nell'eseguire la moltiplicazione fra due numeri binari bisogna tener conto delle seguenti relazioni: 0 x 0 = 0, 1 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 1 = 1. Esempio: Moltiplicare i due numeri binari 1101 e 11. (2) (2) 1101 x (2) 11 = (2) 11011101100111 (2)

La divisione fra...

iamo il numero binario 1010 per il numero binario 10. 1. Scriviamo il dividendo (1010) sotto il divisore (10). 2. Iniziamo a dividere il primo bit del dividendo (1) per il divisore (10). Il risultato è 0 e il resto è 1. 3. Portiamo il resto (1) al bit successivo del dividendo (0) e dividiamo nuovamente per il divisore (10). Il risultato è ancora 0 e il resto è 1. 4. Portiamo il resto (1) al bit successivo del dividendo (1) e dividiamo nuovamente per il divisore (10). Il risultato è 1 e il resto è 0. 5. Non ci sono più bit nel dividendo, quindi la divisione è completa. Il risultato è 10 e il resto è 0. Quindi, il risultato della divisione del numero binario 1010 per il numero binario 10 è 10 con resto 0.