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Informatica - sistemi informatici

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Esame di Informatica docente Prof. P. Scienze matematiche

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I sistemi di numerazione

Breve storia dei sistemi di numerazione.

Probabilmente l’uomo primitivo per contare gli animali e gli oggetti usava le

dieci dita delle mani e, una volta abbassate tutte, tracciava a terra o su una pietra un

segno che, chiaramente, rappresentava una decina. Nasceva così il sistema di

numerazione decimale. Se usava le dita di una sola mano, ogni segno rappresentava

una cinquina e, di conseguenza, il sistema di numerazione era il quinario. Se oltre alle

dita delle mani usava anche quelle dei piedi, al segno da lui tracciato corrispondeva

una ventina e, di conseguenza, il sistema di numerazione era il bidecimale o

vigesimale, usato dai Celti e dai Maya. Infine, se usava solo le due mani, senza tener

conto delle dita, per contare le coppie, veniva fuori il sistema binario.

In seguito, nascendo l’esigenza dei calcoli, venivano usati gli abachi, tavolette

divise in colonne su cui veniva stesa cera o sabbia (abaq in ebraico significa polvere)

sulle quali si incidevano i numeri oppure si mettevano i sassolini (dal latino calculi).

Gli Indiani modificarono gli abachi, introducendo, fra l’altro, un simbolo per indicare

il vuoto. A quest’ultimo simbolo, che indicava la colonna priva di numeri nell’abaco,

venne assegnato il nome di Sifr (deformato in seguito in zephyrum, poi in severo e

quindi in zero), dallo studioso arabo Al-Khuwarismi, da cui deriva il termine

algoritmo, (procedimento di calcolo) in un suo libro che inizia con le parole kitab-al-

giabr , da cui il termine algebra.

Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione è un insieme finito di simboli e di regole che fanno

corrispondere un significato numerico univoco ad ogni scrittura costruita con dei

simboli o cifre, con delle regole assegnate che esprimono le modalità per

rappresentare il numero come sequenze di cifre e con delle relazioni che permettono

di effettuare le operazioni tra i numeri.

Il numero dei simboli presente in un sistema di numerazione è detto base del sistema.

Normalmente vengono usati sistemi di numerazione a base fissa con rappresentazione

posizionale in cui, cioè, le cifre assumono un valore ben preciso a seconda della

posizione occupata nel numero. Per esempio nel sistema decimale i due numeri 547 e

754, pur essendo formati dalle stesse cifre hanno valore diverso, infatti:

e

come si vede, il valore delle loro cifre dipende dal posto da esse occupato all’interno

del numero.

In generale, un numero a base fissa B, con B>1, è costituito da un insieme ordinato di

B simboli che rappresentano i numeri a partire da zero fino al numero precedente la

base. In tale base ogni numero > B viene rappresentato con una sequenza di simboli

A A ……..A A a cui viene attribuito il seguente significato:

n n-1 1 0 n n-1 1 0

A A ……..A A = A B + A B + .......... + A B + A B (1)

n n-1 1 0 n n-1 1 0

In cui A ; A ; ……. A ; A sono elementi appartenenti all’insieme dei B simboli.

n n-1 1 0

Se il numero di uno viene rappresentato nel seguente modo:

-1 -2 -n

0, A A A ……..A = A B + A B +.........+ A B . (2)

0 1 2 n-1 0 1 n-1

La base B viene rappresentata da 10, che nel sistema decimale rappresenta il dieci.

In generale l’espressione polinomiale che rappresenta il numero N in un sistema di

numerazione posizionale a base fissa è:

; dove

In informatica i sistemi di numerazione a base fissa più usati sono il decimale, il

binario, l’ottale e l’esadecimale.

Il sistema di numerazione decimale.

Il sistema di numerazione decimale è un sistema di tipo posizionale ed è

costituito da un insieme ordinato di dieci simboli 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Poiché è

un sistema posizionale ogni numero espresso in questo sistema è composto da più

cifre affiancate ciascuna delle quali ha peso diverso a seconda della posizione che

occupa. Il peso di ciascuna cifra è espresso da una potenza che ha per base la base del

sistema, e nel nostro caso 10, e per esponente la posizione della cifra rispetto alla

prima cifra di destra che ha posizione 0. Quindi il valore associato a ciascuna cifra è

dato dal prodotto del peso per il numero della cifra e il valore associato al numero è

dato dalla somma del valore di ciascuna cifra.

Le regole che consentono di effettuare le addizioni aritmetiche fondamentali tra due

numeri quali l’addizione, la sottrazione, la divisione e la moltiplicazione li

conosciamo abbastanza bene, queste stesse regole valgono in qualsiasi sistema di

numerazione in quanto le operazioni aritmetiche sono invarianti rispetto alla base del

sistema di numerazione.

Il sistema di numerazione binario

Se il sistema di numerazione deve essere utilizzato in un calcolatore elettronico,

poiché in esso i circuiti che realizzano le operazioni sono circuiti digitali, descritti,

cioè, da segnali che possono assumere due solo stati distinti, è necessario che nel

sistema di numerazione utilizzato i simboli siano solo due e ciò richiede che la sua

base sia 2, cioè base minima. Si passa così al sistema di numerazione binario. Esso è

un sistema posizionale, ha base 2 e i suoi simboli sono 0 e 1. Questi due elementi

fondamentali della numerazione binaria vengono chiamati bit (binary digit). Spesso

si usano parole di 4 bit (nibble) o di 8 bit (byte).

Esempio:

1010 è 1 nibble

1101 1011 sono 2 nibble cioè 1byte

Sussiste la seguente relazione:

1 byte = 2 nibble = 8 bit

La cifra di peso inferiore, cioè quella più a destra, si chiama cifra meno significativa

LSB (Least Significant Bit) , mentre quella di peso maggiore, cioè quella più a

sinistra, cifra più significativa MSB (Most Significant Bit).

Il sistema di numerazione ottale

Il sistema di numerazione a base 8 od ottale è un sistema di tipo posizionale ed

è costituito da un insieme ordinato di otto simboli 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Il sistema di numerazione esadecimale

Il sistema di numerazione a base 16 o esadecimale è un sistema di tipo

posizionale ed è costituito da un insieme ordinato di sedici simboli 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;

7; 8; 9; A; B; C; D; E; F quindi, come si vede, per la sua rappresentazione utilizza

caratteri alfanumerici.

Conversione di un numero da base B a base 10

Ricordando che un numero in base B è rappresentato da una sequenza di cifre

del tipo: A A ……..A A con 0 < A < B

n n-1 1 0 j

e che il sistema di numerazione, oggetto del nostro studio, è di tipo posizionale, il

numero decimale N può essere scritto come:

(10)

n n-1 1 0

N = A B + A B + .......... + A B + A B

(10) n n-1 1 0

Vediamo alcuni esempi:

Convertire in base 10 il numero 11010

(2)

Convertire in base 10 il numero10101

(2)

Come si vede, dai due esempi riportati, se nel numero binario il bit meno

significativo è 0, il corrispondente numero decimale è pari se, invece, il bit meno

significativo è 1, il corrispondente numero decimale è dispari.

Convertire in base 10 il numero 467

(8)

Convertire in base 10 il numero A4C

(16)

Se il numero non è intero, bisogna tener conto della (1) e della (2).

Esempi:

Convertire in base 10 il numero 110,11

(2)

Convertire in base 10 il numero 146,72

(8)

Convertire in base 10 il numero 4C,1A

(16)

Conversione di un numero da base 10 a base B.

Se il numero decimale è intero positivo per convertirlo ad una base qualunque B si

usa il metodo delle divisioni successive cioè:

Si divide il numero decimale N per la base B;

 10

Si otterrà un quoziente Q ed un resto R . Il resto R sarà la cifra meno

 0 0 0

significativa del numero cercato.

Si divide il quoziente Q ancora per B; si otterrà un nuovo quoziente Q e un

 0 1

resto R .

1

Questo procedimento verrà continuato finché Q non sarà zero.

A questo punto il numero in base B si ottiene posizionando ordinatamente i resti con

R cifra meno significativa e R cifra più significativa, cioè:

0 n

R R ……..R ………R R R

n n-1 j 2 1 0 (B)

Vediamo degli esempi:

Convertire 23 in base 2:

(10) Dividendo Divisore Quoziente Resto

23 :2 11 1

11 :2 5 1

5 :2 2 1

2 :2 1 0

1 :2 0 1

Quindi si ottiene: 10111 (2)


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luca d.

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Informatica riguardanti i sistemi informatici con particolare attenzione ai seguenti argomenti trattati: i sistemi di numerazione, breve storia dei sistemi di numerazione, il sistema di numerazione decimale, il sistema di numerazione binario, il sistema di numerazione ottale, il sistema di numerazione esadecimale, conversione di un numero da base B a base 10.


DETTAGLI
Esame: Informatica
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luca d. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Informatica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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