Inferenze

I POSSIBILI EVENTI SONO 8

Costruire la V.C

Distribuzione di probabilità di variabile casuale

F(x) funzione di ripartizione: somma progressiva delle probabilità

VARIABILE CAUSALE DISCRETA (v.c) è una variabile X che può assumere un insieme finito di valori reali in corrispondenza degli eventi Ei con le rispettive probabilità.

Ad ogni modalità non corrisponde più una frequenza, bensì una data probabilità.

La distribuzione di probabilità è una funzione denominata funzione di probabilità Pi a cui si può affiancare la funzione di ripartizione F(x) data dalla somma progressiva dei valori delle probabilità, compresi tra X e xi (la variabile casuale non può assumere valori maggiori a xi).

∑ Pi=1 (grafico a scalini).

Una variabile casuale discreta ha due valori caratteristici: media e varianza

μ=¿Media: ∑ (non ∈ quanto xi∗Pi si divide a denominatore ci sarebbe 1 ∈ quanto il

totale delle probabilità): ∑2 2( )= ∗PiVarianza: σ xi−μVARIABILI CASUALI CONTINUEUn variabile è continua se la sua probabilità è definita in termini di area, cioè supponendo chei suoi valori si sviluppino non in un valore intero e finito ma in un intervallo di valori [x, x+dx [;La funzione che rappresenta la distribuzione delle probabilità di una variabile continua è lafunzione di densità, mentre la sua funzione di ripartizione è definita dall’ integrale f(x) dx.VARIABILI CASUALI DISCRETE:Binomiale; Ipergeometrica; Di Poisson.V.C BINOMIALEÈ detta anche delle prove ripetute, indica con Π la probabilità che un dato evento si verifichi,in ciascuna prova di una serie di prove indipendenti. Questo desume un caso di estrazione conripetizione.(1- π) =probabilità che l'evento π non si verifichiPer Bernoulli la probabilità che in n prove indipendenti

si verifichi l’evento E x volte e Én n−xx∗( )¿ π 1−πprobabilità che NON si verifichi è data dall’espressione: P(i)=(n-x) xDoven−2(n−3)( n−..)(n−n)¿n∗( ) ¿n−1 COEFFICIENTE BINOMIALEn!n= =¿( )x x ! n−x !x probabilità di eventi favorevoliπ n− x( )1−π probabilità di eventi contrariμ=n∗π2 =(n∗π)(1−π )σAl ridursi di n, la funzione assume una forma asimmetrica positiva.

ESERCIZIO 1Π=0,2 Calcolonn=5 xX Pi F(x)x n− xn ( )π 1−πx =n ( )0x 5! 5∗4∗3∗2∗150 1 0,323680 5=1 (1−0,2) =0.323680,2 = = =11∗1∗0,32368=0,32368 0 0 ! 5 ! 0∗5∗4∗3∗2∗11−0,21 5 5 0.737281 =0,20,2 =n¿ 0.2∗0.4096=0.4096¿ x 5! 5∗4∗3∗2∗15¿ = = =5¿ (1) 1 1 ! 4 !

1∗4∗3∗2∗1=0.51210∗0.04∗0.512=0.20482 10 0.942082 3=0,04 (1−0,2)0,2 =n (2)x 5 ! 5∗4∗3∗2∗1510∗0.008∗0.4=0.05123 10 0.993283 2( )=0,008 =0.640,2 1−0,2 = = =102 2 ! 3! 2∗1∗3∗2∗15∗0.0016∗0.8=0.00644 5 0.9996814 (1−0,2) =0.8=0,00160,2 =n (3)x 5 ! 5∗4∗3∗2∗15 = = =103 3 ! 2 ! 3∗2∗1∗2∗1=0,000321−0,2 1* 0.00032*1=5 1 150,2 0.00032¿¿¿- P(x=2) = 0.2048( ) =0.2048+0.0512=0.2562≤ x ≤ 3- P ¿=0.0512+0.0064=0.05762< x ≤ 4- P( x> 5¿=0- P( ¿=1x ≤ 5- P( ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )−P ( )=1−P ( )=1−0.0064=¿+ + +x< 5¿=P 0 P 1 P 2 P 3 P 4 5 5- P(ESERCIZIO 2Lancio di un dado ripetuto 4 volteProbabilità che esca 6 per 2 Probabilità che esca unvolte numero parin=4 n=4E=6 E= 2,4,61 1 3= = =π π6 N eventi

6() ()6 4−2 6 4−21 1 3 34 4∗ ∗ ∗ ∗1− 1−P(2)= P(2)=2 6 6 2 6 6V.C IPERGEOMETRICAConsiste in un caso raro e particolare eventi dipendenti per eventi senza ripetizione.VC DI POISSONÈ una variabile casuale che si ottiene quando la numerosità campionaria (n) tende a infinito,ma soprattutto quando la probabilità (π) che si verifichi un evento tende a zero. È nota comeprobabilità dei fenomeni rari.n ∞π 0 γIndicata con //lamda//γ π= n* −γ x∗γe =¿P(x)= x!All'aumentare del valore di lamda la funzione assume una forma più simmetrica.ESERCIZIO 1π = 2% -->0,02n = 300γ = 300*0,02=6,0Casi favorevoli: x= 5−6 −65 5∗6 ∗6e e=P(5)= ( )5! 5∗4∗3∗2∗1