Indici di variabilità

Una distribuzione statistica può essere sintetizzata mediante l’uso di :

• Indici di posizione

• Indici di variabilità/mutabilità Indici di Posizione

tra gli indici di posizione troviamo :

• Moda(Mod): è la modalità a cui corrisponde la max frequenza,sia per variabili qualitative

che quantitative,non risente di valori anomali

• Mediana(Med):è quel valore che divide una distribuzione ordinata in senso non

decrescente in 2 parti uguali,lasciando lo stesso numero di termini a destra e sinistra del

valore mediano

Per il calcolo della mediana si distinguono 3 casi:

distribuzione per unità: se il numero(n) di termini è dispari allora Med=Xn+1/2, altrimenti se

pari Med = (Xn/2+Xn/2+1)/2

distribuzione per frequenze: dopo aver calcolato le frequenze Cumulate(Ni) e Cumulate

relative(Fi),il valore mediano è il primo valore di Fi che è maggiore o uguale a 0,5 .

distribuzione per classi: dopo aver calcolato Ni e Fi, si prende il primo valore di Fi che è

maggiore o uguale a 0,5 . A questo punto si applica la segunte formula:

limite inferiore(della classe per cui Fi≥0,5)+(limite superiore-limite inferiore)*(0,5-Fi-

1)/(Fi-Fi-1)

dove( Fi-1)= è il valore immediatamente precedente a Fi≥0,5

• Quartili:si distinguono in 1° quartile(Q1),2°quartile(Q2)=Med, 3°quartile(Q3)

Per il calcolo di Q1 e Q3 si distinguono 2 casi:

n dispari Q1=Xn+1/4 ; Q3= (Xn+1/4)*3

n pari Q3=Xn/4; Q3= (Xn/4) )*3

distribuzione per frequenze: dopo aver calcolato le frequenze Cumulate(Ni) e

Cumulate relative(Fi),Q1 è il primo valore di Fi che è ≥ a 0,25,mentre Q3 è il primo

valore ad essere ≥ 0,75

distribuzione per classi: dopo aver calcolato Ni e Fi, si prendeper Q1 il primo valore di Fi

che è ≥ 0,25 mentre per Q3 il primo valore ad essere ≥0,75 . A questo punto si applica la

segunte formula:

per Q1 : limite inferiore(della classe per cui Fi≥0,25)+(limite superiore-limite

inferiore)*(0,25-Fi-1)/(Fi-Fi-1)

dove( Fi-1)= è il valore immediatamente precedente a Fi≥0,25

per Q3 : limite inferiore(della classe per cui Fi≥0,75)+(limite superiore-limite

inferiore)*(0,75-Fi-1)/(Fi-Fi-1)

dove( Fi-1)= è il valore immediatamente precedente a Fi≥0,75

INDICI DI VARIABILITA’

La variabilità è l’attitudine di un fenomeno quantitativo ad assumere differenti modalità.

Tale concetto si può spiegare attraverso 2 principi: uno di dispersione, il secondo di

disuguaglianza.

Il primo si riferisce ad un polo,si valuta la dispersione dei dati intorno ad un valore

compreso tra il valore più piccolo e più grande della distribuzione .Maggiore è questo valore

+ grande è la dispersione delle modalità. Il secondo principio si riferisce alle differenze tra

modalità:+è grande il totale delle differenze,maggiore è la differenza

Gli indici di variabilità si distinguono:

Assoluti (tra i più importanti) relativi (tra i più

importanti)

• devianza Coefficiente di

variazione

• varianza indice di

Gini/rapporto di conc

• scarto quadratico medio/deviazione standard etrazione

Devianza= è il numeratore della varianza

Varianza(Var) :è il quadrato dello scarto quadratico medio,definibile anche come il rapporto tra

Devianza fratto la numerosità del collettivo

Distribuzione per unità Var=∑xi^2/n-M^2 dove xi sono le modalià,n la numerosità,M la media della

distribuzione

Distribuzione per frequenze= =∑xi^2*ni/n- M^2

Proprietà:

se tutti i dati della distribuzione sono uguali allora sarà = 0

la varianza è invariante rispetto ad un cambiamento d’origine

la devianza si può scomporre in devianza di Regressione(componente lineare) e dei

residui(componente non lineare)

Scarto quadratico medio/deviazione standard =è la radice quadratica della media aritmetica dei

quadrati degli scarti dalla media

Distribuzione per unità = √(∑xi-M)^2/n

Distribuzione per frequenze= √(∑xi-M)^2*ni/n

Coefficiente di Variazione : misura la variazione media del fenomeno in rapporto alla media,esso

è un numero puro, è influenzato dalla media,più è vicina allo 0 più il coefficiente è inattendibile

CV= deviazione standard/modulo della media

Indice di Gini(R)

Misura lo scostamento relativo della spezzata di Lorenz dalla retta di equidistribuzione,ed è uguale

al rapporto fra la somma dei segmenti di distanza del segmento di equidistribuzione dalla spezzata

e la somma delle ascisse della retta, esclusal’ultima

R= ∑*(pi-qi)/∑*pi *∑(n-1) pi=freq cumulate relative

Con R compreso tra 0 e 1