Psicometria: indici della tendenza centrale, indici di posizione, indici di variabilità dispersione

Statistica descrittiva e psicometria

Nel caso vi siano molte misurazioni (molti dati) è opportuno associare ai valori assunti dalla scala di misura un insieme di altre funzioni, ciascuna delle quali esprime per mezzo di un solo numero, una particolare caratteristica della misurazione effettuata.

Primo fondamentale strumento della psicometria.

Statistica: una qualsiasi funzione numerica a K argomenti, che associa un numero ad ogni insieme di K misurazioni.

Questo numero è detto valore della statistica.

Statistiche esprimono sinteticamente alcune caratteristiche delle misure di dati di sistemi relazionali empirici.

Le statistiche sono dette anche indici descrittivi.

Servono a dare una prima impressione dei dati raccolti, valutando i valori massimi e minimi, i più frequenti e i loro rapporti, ossia la loro distribuzione.

Utili anche per controllare ed esplorare i dati raccolti.

I grafici fanno parte degli indici descrittivi e sono il punto di partenza di ogni analisi statistica.

Gli indici descrittivi sono classificati in:

• Indici della tendenza centrale
• Indici di posizione
• Indici di dispersione o di variabilità

Distribuzioni di frequenza

Prima di studiare le statistiche descrittive è necessario conoscere i concetti di:

Distribuzioni di frequenza: funzione che associa a ciascun valore di una scala un numero che indica la frequenza di osservazioni relative a quella misura.

Con le distribuzioni di frequenza si ottengono le tabelle di frequenza.

Rappresentazioni grafiche della frequenza sono:

• Grafici a colonne: altezza del rettangolo è proporzionale alla frequenza.
• Istogrammi: area del rettangolo è proporzionale alla frequenza.
• Proporzione: rapporto tra la frequenza di una classe e il numero tot di elementi misurati.

P=f/n

Frequenza percentuale: è la proporzione moltiplicata per 100, f^*=f/n^*100.

Tabelle di contingenza = tabelle di frequenza a doppia entrata.

Sistema relazionale numerico completo = sistema relazionale costituito dall’insieme R e la totalità delle relazioni e delle operazioni in esso definibili.

Dentro al sistema relazionale completo è necessario considerare solo quelle relazioni da cui si possono trarre informazioni e conclusioni trasferibili agli insiemi degli oggetti dei sistemi relazionali empirici di volta in volta considerati.

Questo prende il nome di significanza delle statistiche: siano X un sistema relazionale empirico e Q un sistema relazionale numerico, ed S una scala di misura tra X e R. La relazione P di grado k e con dominio Y è detta significativa se e solo se può essere espressa nei termini delle relazioni S₁, S₂,...,S_m componenti del sistema relazionale numerico Q.

Concetto di invarianza: consideriamo due relazioni P e P1 che si comportano in modo diverso rispetto ai valori ottenuti due le due scale di misura S e S1.

Relazione P non è valida con entrambe le scale di misura.

Relazione P1 è valida con entrambe le scale di misura, la relazione è invariante in queste due scale.

Nel caso vi siano molte misurazioni (molti dati) è opportuno associare ai valori assunti dalla scala di misura un insieme di altre funzioni, ciascuna delle quali esprime per mezzo di un solo numero, una particolare caratteristica della misurazione effettuata.

Primo fondamentale strumento della psicometria.

Statistica: una qualsiasi funzione numerica a K argomenti, che associa un numero ad ogni insieme di K misurazioni.

Questo numero è detto valore della statistica.

Statistiche esprimono sinteticamente alcune caratteristiche delle misure di dati di sistemi relazionali empirici.

Le statistiche sono dette anche indici descrittivi.

Servono a dare una prima impressione dei dati raccolti, valutando i valori massimi e minimi, i più frequenti e i loro rapporti, ossia la loro distribuzione.

Utili anche per controllare ed esplorare i dati raccolti.

I grafici fanno parte degli indici descrittivi e sono il punto di partenza di ogni analisi statistica.

Gli indici descrittivi sono classificati in:

• Indici della tendenza centrale
• Indici di posizione
• Indici di dispersione o di variabilità

Distribuzioni di frequenza

Prima di studiare le statistiche descrittive è necessario conoscere i concetti di:

Distribuzioni di frequenza: funzione che associa a ciascun valore di una scala un numero che indica la frequenza di osservazioni relative a quella misura.

Con le distribuzioni di frequenza si ottengono le tabelle di frequenza.

Rappresentazioni grafiche della frequenza sono:

• Grafici a colonne: altezza del rettangolo è proporzionale alla frequenza.
• Istogrammi: area del rettangolo è proporzionale alla frequenza.
• Proporzione: rapporto tra la frequenza di una classe e il numero tot di elementi misurati.

P=f/n

Frequenza percentuale: è la proporzione moltiplicata per 100, f^*=f/n^*100.

Tabelle di contingenza = tabelle di frequenza a doppia entrata.

Sistema relazionale numerico completo = sistema relazionale costituito dall’insieme R e la totalità delle relazioni e delle operazioni in esso definibili.

Dentro al sistema relazionale completo è necessario considerare solo quelle relazioni da cui si possono trarre informazioni e conclusioni trasferibili agli insiemi degli oggetti dei sistemi relazionali empirici di volta in volta considerati.

Questo prende il nome di significanza delle statistiche: siano X un sistema relazionale empirico e Q un sistema relazionale numerico, ed S una scala di misura tra X e R. La relazione P di grado k e con dominio Y è detta significativa se e solo se può essere espressa nei termini delle relazioni S₁, S₂,…,S_n componenti del sistema relazionale numerico Q.

Concetto di invarianza: consideriamo due relazioni P e P1 che si comportano in modo diverso rispetto ai valori ottenuti due le due scale di misura S e S1.

Relazione P non è valida con entrambe le scale di misura.

Relazione P1 è valida con entrambe le scale di misura → la relazione è invariante in queste due scale.

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Quindi la relazione P di grado K con dominio Y, è detta significativa solo se è invariante per tutte le trasformazioni permessibili dalla scala S.

Ne segue che sono significative solo quelle relazioni numeriche che rimangono valide per tutte le scale di misura tra loro equivalenti.

Invarianza statistica

Invarianza assoluta → una statistica St è invariante in modo assoluto quando il suo valore numerico non varia al passare da una scala di misura S ad un'altra ad essa equivalente.

Invarianza di riferimento → una statistica St è invariante di riferimento quando, passando da una scala di misura S ad una equivalente, il suo valore numerico varia secondo la trasformazione permissibile che lega la prima misura alla seconda.

Invarianza di confronto → una statistica St è invariante di confronto quando, assumendo valori uguali su due insiemi di dati ed applicando la stessa trasformazione permissibile su di essi, i nuovi valori della statistica St sono uguali.

Invarianza assoluta ≤ invarianza di riferimento ≤ invarianza di confronto.

1. Indici della tendenza centrale

Servono a determinare un valore che indica il centro dell’insieme di dati.

Moda

Moda indicata con Mo: valore che compare con la massima frequenza.

Se nella distribuzione vi sono più mode allora si dirà che la distribuzione è bimodale, multimodale.

Invarianza di riferimento e di confronto.

No invarianza assoluta.

Mediana

Mediana indicata con Mdn: all’interno di un insieme di misurazioni disposte in ordine crescente è quel valore che occupa la posizione centrale.

Dato al di sopra e al di sotto del quale si trovano il 50% dei dati.

Calcolata in modo diverso a seconda che n sia pari o dispari.

Invarianza di riferimento e di confronto.

No invarianza assoluta.

Formule: se n è dispari il valore della mediana è quello del dato Xi che occupa la posizione i=n+1/2.

Se n è pari il valore della mediana è quello della coppia di dati (Xi, Xs(i)) che occupano le posizioni i=n/2 e la successiva.

N.B. Se la scala usata è a intervalli o a rapporti è possibile definire il valore esatto della mediana nel caso n sia pari come la media aritmetica dei valori Xi e Xs(i).

Media

Media indicata con X̅:

NB. Se si sommano tutte le differenze tra ciascun dato e la media si ottiene 0.

Invarianza di riferimento e di confronto.

No invarianza assoluta.

Media ponderata = ∑ fi*Xi/n con fi e Xi frequenza e valore di un qualsiasi dato nel caso in cui i dati siano raggruppati in tabelle di frequenza.

La media è molto influenzata dai valori estremi.

2. Indici di posizione

Servono a determinare la posizione che un singolo valore occupa in un insieme ordinato di dati.

Quartili

Quartili indicati con Q: 4 valori che dividono qualsiasi distribuzione di dati ordinata in 4 parti uguali.

Invarianza di riferimento e di confronto.

No invarianza assoluta.

Q1: dato che occupa la posizione i=(n+1)/4. 25% dati inf. e 75% sup.

Q2: dato che occupa la posizione i=2(n+1)/4. 50% dati inf. e 50% sup.

Q3: dato che occupa la posizione i=3(n+1)/4. 75% dati inf. e 25% sup.

Q4: dato che occupa la posizione i=n. 100% dati inf.

Percentili

Percentili indicati con P: valori che dividono in 100 parti uguali una qualsiasi distribuzione di dati ordinata.

L'm-esimo percentile (P_m) è quel valore al di sotto del quale cade una percentuale di dati pari ad m.

P_m è quindi quel valore che occupa la posizione i=n*m/100.

Scegliendo il numero naturale immediatamente inferiore nel caso in cui il valore ottenuto non sia intero.

Invarianza di riferimento e di confronto.

No invarianza assoluta.

Ranghi percentili

Ranghi percentili indicati con Rp: il rango percentile di un dato valore Xi all'interno della serie di dati è quel numero che rappresenta la percentuale di dati uguali o inferiori a lui.

Rp(Xi)=K/n*100 con k uguale alla fc di Xi.

Invarianza assoluta.

3. Indici di dispersione o variabilità

Servono a determinare come i dati si distribuiscono attorno al loro centro.

Numero classi di equivalenza

Numero classi di equivalenza indicato con NdE: valore che indica il numero di classi di equivalenza a livello del sistema relazionale empirico.

Invarianza assoluta.

Differenza interquartilica

Differenza interquartilica indicata con DI: statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore del primo quartile al terzo quartile (Q3-Q1).

SI = semidifferenza interquartilica.

Gamma

Gamma indicata con G: statistica che associa all’insieme X il numero che si ottiene sottraendo il valore minimo al valore massimo (MAX-MIN) degli elementi di X.

Indica la distanza tra valore max e min di una serie di dati.

Deviazione standard

Deviazione standard indicata con 6: la differenza di ogni dato Xi dalla media X si chiama scarto.

La somma degli scarti di una raccolta dati vale 0.

Per evitare che la somma degli scarti si annulli questi ultimi vengono elevati al quadrato.

Si ottiene dunque la somma degli scarti al quadrato detta anche devianza indicata con SS.

SS=∑(XI-X)²

Come si confrontano le devianze di raccolte dati diverse per n??

Varianza = media degli scarti elevati al quadrato.

• Tuttavia non è possibile confrontare la varianza con la scala di misura dei dati.

Devianza standard: radice quadrata della varianza.

σ=v∑(XI-X)²/n

• NB. La varianza non può mai avere valore negativo.
• Assume valore 0 se tutti i valori della raccolta sono uguali.
• Cresce all’aumentare della dispersione dei dati attorno alla media.

Varianza nel caso di tabelle di frequenza ^σ2=∑fi(XI-X)²/n.

Coefficiente di variazione (CV): permette di confrontare la variabilità di fenomeni riferite a unità di misura differenti.

Deviazione standard/ valore assoluto della media dei dati