Impiantistica di Processo

T

La relazione tra Q e è considerata Si assume la perfetta giunzione in

o

lineare poiché per piccoli intervalli di modo che T sia uguale dai due lati

T si può ritenere U costante. Il coeff. U della stessa;

dipende dal meccanismo di Non c’è accumulo di Q;

o

trasferimento del calore e dalla Condizioni di stazionarietà (la T in

o

geometria del sistema, è utile in fase ogni punto non varia nel t)

di progettazione perché consente il

calcolo dell’area richiesta per Nel caso di sezione costante, il flusso

ottenere quel dato flusso q. complessivo di calore attraverso tre

mezzi è:

Lo scambio termico è un fenomeno

non lineare, non esiste cioè una = ℎ ⋅ ⋅

semplice relazione di linearità fra 1 1

= ℎ ⋅ ⋅

energia scambiata dai corpi coinvolti 2 2

= ℎ ⋅ ⋅

nel processo e temperature dei corpi. 3 3

Ad esempio, in un fenomeno di Con = + +

1 2 3

irraggiamento il calore scambiato è

proporzionale alla quarta potenza

Essendo = ℎ⋅

delle temperature dei corpi. Per

studiare il trasferimento di calore si 1 1 1

= + + = ⋅( + + )

tende, con opportune ipotesi, a ℎ ⋅ ℎ ⋅ ℎ ⋅ ℎ ℎ ℎ

1 2 3 1 2 3

linearizzare il fenomeno, 1 1 1 1

introducendo equazioni dedotte =( + + )

ℎ ℎ ℎ

talvolta dalla generalizzazione dei 1 2 3

risultati sperimentali, come nel caso = ⋅ ⋅

della conduzione con la legge di Nel caso di sezione variabile:

Fourier. = ℎ ⋅ ⋅

ⅆ 1 1 1

= = − = ℎ ⋅ ⋅

ⅆ 2 2 2

= ℎ ⋅ ⋅

3 3 3

Tale semplificazione, verrà applicata

a tutte e tre le metodologie di Con = + +

1 2 3

scambio termico, per ognuna delle

Essendo =

quali esiste uno specifico coefficiente ℎ⋅

di proporzionalità fra energia

scambiata e temperatura. = + +

ℎ ⋅ ℎ ⋅ ℎ ⋅

1 1 2 2 3 3

Nel caso in cui il calore sia trasmesso 1 1 1

= ⋅( + + )

attraverso un numero di mezzi in ℎ ℎ ℎ

1 1 2 2 3 3

serie, il coeff. U può essere 1

1 1

= ⋅( + + )

scomposto nei contributi associati ad ℎ ℎ ℎ

1 1 2 2 3 3

ogni mezzo (h1 , h2 , h3). 1 1

1 1

=( + + )

ℎ ℎ ℎ

1 1 2 2 3 3

= ⋅ ⋅

1 1

Il valore di k per un dato materiale

Scambio termico tramite conduzione non è costante, ma varia in funzione

I processi di scambio termico tramite della temperatura:

conduzione sono generalmente

classificati in: (1

= ⋅ + )

0

Processi stazionari

o temperatura in °C;

=

Processi non stazionari o

o = conducibilità a 0°C.

transitori 0

Questo sembrerebbe invalidare la

I primi hanno la caratteristica che legge di Fourier, che suppone una k

tutte le grandezze fisiche costante. In realtà tale ipotesi è

(temperatura, pressione, etc.) in ogni 

ragionevole in quanto, essendo

punto della regione dove si ha normalmente molto piccolo, k varia di

conduzione sono indipendenti dal poco al variare della temperatura, e

tempo. Al contrario i processi quindi considerandolo costante si

transitori implicano variazioni commette un errore relativamente

temporali che il più delle volte basso, e il più delle volte trascurabile.

interessano la temperatura. In base al valore decrescente del

Inoltre la legge che descrivere i coefficiente di conducibilità termica

processi stazionari, non è valida per si passa da materiali conduttori a

quelli transitori. Per quest’ultimi si materiali isolanti: fra i primi spicca

useranno delle relazioni opportune. l’argento (k=420W/mK), mentre un

ottimo isolante termico è senza

dubbio l’aria secca (k=0.026W/mK), che

Legge di fourier e conducibilità termica pur essendo un ottimo isolante dal

ⅆ punto di vista della conduzione

= = − termica, essa tende a realizzare moti

ⅆ convettivi, causa di un elevato

Il segno negativo indica che il flusso scambio termico (ossia l’aria secca si

del calore è opposto al gradiente di rivela termicamente isolante solo se

temperatura. L’equazione finale si rimane ferma).

ottiene dall’integrazione e k

rappresenta la conducibilità termica In funzione di k i materiali si

del materiale: [k] = kcal/m h°C oppure classificano in:

W/m°C . Buoni conduttori se k è alto, se

o infinito il conduttore è perfetto

(kmetalli >> knonmetalli > kliquidi

>> kgas);

Cattivi conduttori se k è basso, se

o k = 0 il materiale è isolante

perfetto.

L’equazione di Fourier è sufficiente

solo se ci accontentiamo di una

soluzione in regime stazionario. Se

invece viene richiesta una soluzione

k rappresenta la quantità di calore in transitorio, ossia se si deve trovare

che nell’unità di tempo passa la distribuzione delle temperature in

attraverso uno spessore unitario e funzione del tempo, la legge di

una sezione unitaria quando il Fourier non è più sufficiente.

gradiente di T è pure unitario.

Il coefficiente angolare della retta Pareti cilindriche

dipende a parità di ogni altra

grandezza da k, più ripida è la retta

con maggiore difficoltà si trasferisce

il calore (k minore). ⅆ

= −2 ⅆ

ⅆ

∫ = −2 ∫ ⅆ

⋅ = 2( − )

2 ⋅

=

Conduzione in condizioni di non

stazionarietà

Nella pratica industriale il fenomeno

Esercizi semplici della conduzione non stazionaria si

manifesta nelle fasi di avviamento o

di spegnimento di un impianto e nelle

Lastre in serie operazioni discontinue (T varia nel

tempo).

Si considera un elemento di volume

dV di dimensioni dx, dy e dz. Il

materiale si considera isotropo.

( )

−

1 4

=

1 2 3

( )

= − = ( + + )

1 4

1 2 3

=

∑

=1

Il calore trasmesso attraverso Che in condizioni di stazionarietà

diventa:

l’elemento nel tempo dt sarà: 2

= 0

′

= − ⋅ ⅆⅆ ⅆ

La 2 equazione di Fourier è molto

a

complessa; si risolve con diversi

Calore

′′

= − ⋅ ⅆⅆ ⅆ metodi:

entrante 1. Metodo di Laplace (risoluzione

′′′

= − ⋅ ⅆⅆ ⅆ dell’equazione differenziale)

→Metodo

2. dei gruppi

′

= − ⋅ ⅆⅆ ( + ⅆ) ⅆ adimensionali (risoluzione



grafica)

3. Metodo di Schimdt

′′

= − ⋅ ⅆⅆ ( + ⅆ) ⅆ

(trasformazione dell’equazione

differenziale in una finita)

Calore

′′′

= − ⋅ ⅆⅆ ( + ⅆ) ⅆ

uscente In base al metodo dei gruppi

Il calore accumulato sarà: adimensionali se un corpo di

dimensione L si trova alla

= −

temperatura quando viene

esposto per un tempo t alla

2

′

= ⋅ ⅆⅆ ⅆ ⅆ ’

temperatura assumerà una

2

distribuzione data dai seguenti

2

Calore ac- parametri:

′′

= ⋅ ⅆⅆ ⅆ ⅆ

2 cumulato

′

−

2

= ( , ) = ( , )

′′′

= ⋅ ⅆⅆ ⅆ ⅆ 2

−

2 0

Dove:

2 2 2

= ( + + ) ⋅ ⅆⅆⅆⅆ

2 2 2

→ Fo = numero di Fourier

→ x = distanza dalla superficie

Le curve dipendono dalla forma del

Tale accumulo sarà uguale alla corpo, il metodo è limitato alle

quantità di calore trattenuta geometrie già studiate.

dall’elemento di volume nel tempo dt:

2 2 2

= ( + + ) ⋅ ⅆⅆⅆⅆ

2 2 2

2 2 2

( + + ) ⅆⅆⅆⅆ = ⋅ ⅆⅆⅆⅆ

2 2 2

2 2 2

( + + )= ⋅

2 2 2

Sia la diffusività termica.

=

⋅

a

Si ricava quindi la 2 equazione di

Fourier: 2 2 2

2

= ( + + ) =

2 2 2

fluido si può muovere di moto

Scambio termico tramite convezione laminare o turbolento.

La convezione è uno dei tre modi

attraverso cui avviene la

propagazione del calore. E’ un

fenomeno che interessa tipicamente i Si vuole trovare una correlazione tra

coefficiente di scambio termico e

numero di Reynolds.

Nel moto laminare, si assimila il

profilo di velocità ad un profilo

fluidi e si basa sul trasporto parabolico, mentre il profilo di

macroscopico di materia. velocità nel caso di moto turbolento è

Durante lo scambio termico tra un caratte