Impianti e fenomeni di trasporto

PPLICAZIONE RRAGGIAMENTO IN PAZI ELIMITATI

Proponiamo qui il caso reale di applicazione di forni industriali con una sorgente a elevata temperatura, uno

o più oggetti che devono essere riscaldati (in questo esempio ne consideriamo 1 per semplicità, indicato con

il pedice 2), il tutto circondato materiale refrattario. Fisicamente, il flusso termico emesso dalla sorgente

(indice 1) raggiungerà in parte l’oggetto da riscaldare e in parte il refrattario (corpo 3). Anche qui vogliamo

4

utilizzare l’analogia elettrica e a ogni corpo associamo un punto a potenziale , a ogni corpo una resistenza

dovuta all’emissività minore dell’unità (corpi grigi in generale, 3 in totale, 1 per corpo) e le resistenze dovute

ai fattori di vista (3 in totale, 1 per ogni coppia di corpi).

58

In molti casi il problema può essere semplificato tenendo conto del fatto che, dato che il materiale refrattario

ha una conduttività termica molto bassa, possiamo ipotizzare che il flusso termico che arriva per

irraggiamento sia molto più grande rispetto a quello eventualmente trasferito all’interno del corpo per

conduzione e quindi ragionevole che sulla superficie del refrattario ci sia un flusso termico netto nullo:

4

=

Nell’equivalente elettrico, ciò significa che non c’è corrente che attraversa questa resistenza: quindi il circuito

non presenta più un effettivo triangolo e ha senso incorporare questa parte centrale il un termine equivalente

̅

attraverso un termine che introduciamo che raccogli sostanzialmente i fattori di vista:

1

= ̅

12

1 1 1

= +

+

12 1 2

Questa resistenza equivalente è data da un parallelo fra una serie di 2 resistenze e una terza: quelle in serie

sono quelle che vanno al refrattario, mentre la terza è interposta fra sorgente (1) e corpo da scaldare (2). Il

circuito, con questa sostituzione, diventa quindi lineare:

Accorpando le ultime 2 relazioni si ricava: 1

̅

= +

1 12 1 12 1 1

+

1 1 2 2

A questo punto dobbiamo ricavare la resistenza totale come serie fra quest’ultima resistenza e le 2 ancora

non considerate, vista la geometria lineare del circuito:

1 1 − 1 1 −

1 2

= + +

̅

∗

1 1 1 12 2 2

12

Il flusso netto da 1 a 2 è semplicemente la differenza di potenziale totale sulla resistenza appena calcolata:

∗ 4 4

( )

= −

12 1 12 1 2

59

C I

ONVEZIONE E RRAGGIAMENTO

SI considerino 2 corpi che scambino calore:

 °)

irraggiamento, un corpo a temperatura ambiente (25 e l’altro variabile. L’irraggiamento dipende

dai valori di emissività considerati:

= 0,2,

- limite inferiore

= 0,8,

- limite superiore

 °)

trasporto convettivo, un corpo a temperatura ambiente (25 e un fluido a variabile. Il flusso

ℎ

termico dipende in questo caso da quindi introduciamo 3 valori che sazino il range tipico di valori:

−2 −1

10

- , circa limite superiore per convezione naturale (basso)

−2 −1

100

- , una tipica convezione forzata (medio)

−2 −1

1000

- , valore tipico per fluidi bollenti (alto)

ℎ

Da questo confronto notiamo che, se assume valori elevati difficilmente, l’irraggiamento potrà essere il

fenomeno di trasmissione di calore preponderante (le scale sono logaritmiche): infatti, come abbiamo visto,

in queste condizioni (liquidi bollenti) l’irraggiamento diventa significativo avviene a temperature elevate

quando siamo in condizione di formazione del film di vapore. Al contrario, quando la convezione avviene a

temperature elevate e con coefficienti di scambio termico convettivo medi o basi, il termine di irraggiamento

diventa rilevante se non preponderante. Restando però a basse temperature, notiamo che entrambe le curve

di irraggiamento sono situate al di sotto di quelle di convezione anche nel caso di convezione naturale: i

fenomeni di irraggiamento sono sostanzialmente poco rilevanti finché ci limitiamo a temperature contenute,

altrimenti la proporzionalità rispetto alla quarta potenza nei confronti di questo parametro termodinamico

diventano più che significativi. 60

Esercitazione 3 (07/04/2020)

Esercizio 10

Una striscia di silicio è sottoposta ad un trattamento di rilassamento degli sforzi in flusso di Ar. Il forno consiste

in un tubo di grafite riscaldato da una bobina ad induzione. La temperatura del gas è 750 K e quella del silicio

è 850 K, il coefficiente di scambio convettivo h è 50 W m-2 K-1. Si valuti la temperatura del tubo di grafite,

assumendo che l’emissività del silicio sia 0,15 e quella della grafite sia 1. Il flusso termico conduttivo attraverso

il supporto di quarzo può essere espresso mediante un coefficiente equivalente h c pari a 120 W m-2 K-1.

È di fatto un esempio semplice di applicazione dell’analogia dei circuiti elettrici per il calcolo della potenza

termica fra corpi in uno spazio circoscritto. Nel sistema abbiamo quindi Si e superficie in grafite non

necessariamente alla stessa temperatura e quindi dovremo tener conto di un possibile trasferimento di

calore oltre a quello per irraggiamento attraverso il supporto di quarzo che li separa. In analogia con

l’esercizio 8, possiamo quindi calcolare la resistenza termica totale come somma (resistenze in serie) della

resistenza termica di contatto fra silicio e quarzo, la conduzione attraverso il quarzo e un’ulteriore resistenza

di contatto fra quarzo e grafite. Questi 3 contributi sono contenuti nel coefficiente di scambio termico

ℎ

equivalente fornito nei dati, al quale si può associare con la consueta formula il flusso:

= ℎ ( − )

Questo ci consente di evitare il problema ancora non trattato sul come esprimere la resistenza di contatto. Il

problema è quindi valutare la temperatura del tubo in grafite in una condizione presumibilmente stazionaria:

campione e supporto saranno introdotti a temperatura ambiente, faremo fluire il gas e poi l’attivazione della

bobina a induzione riscalderà il sistema fino a che ogni corpo avrà raggiunto una temperatura tale da far sì

che tutti i flussi termici netti si annullino (transitorio iniziale non considerato, la struttura del problema

fornisce le 2 temperature di processo, quindi costanti). Ciò significa che il componente in Si sarà soggetto a

una condizione di flussi termici che si bilancino vicendevolmente in modo da mantenere costante la sua

temperatura (termine di accumulo nullo). I flussi sono i seguenti:

 ℎ)

Flusso convettivo fra Si e gas (associato a

 ℎ

Flusso complessivo di scambio termico con la parete in grafite (descritto da )

 Flusso per irraggiamento con il tubo in grafite

Come notiamo sono solo 2 gli elementi da considerare nel problema: il campione e il tubo. Per attuare

l’analogia dei circuiti elettrici, si associa come sempre un punto a ciascun elemento del sistema, a cui è legata

una resistenza data dall’emissività del corpo stesso e le resistenze dovute ai fattori di vista. Il circuito risulta:

61

Il problema così ottenuto è relativamente semplice e, come sempre, la potenza termica trasferita per

irraggiamento da grafite (1) a campione in silicio (2) è dato dal rapporto fra la differenza di potenziale totale

rapportata alla resistenza equivalente (è formalmente una serie quindi sarà semplicemente la somma):

4 4

( )

−

=

1 − 1 1 −

+ +

−

Per il nostro problema è lecito ipotizzare che l’area del silicio sia piccola rispetto a quella della grafite: il tubo

circonderà completamente il campione che deve essere mantenuto nella zona centrale per evitare effetti di

raffreddamento di bordo e quindi avere una temperatura uniforme. Ciò significa che tutta l’energia irraggiata

dal silicio sarà ricevuta dalla grafite e non varrà il contrario: la radiazione emessa dalla grafite potrà essere

direttamente assorbita dalla grafite stessa per la geometria del problema ma ciò è già considerato dalla

relazione di reciprocità legata al fattore di vista. Inoltre, l’emissività della grafite è unitaria per l’ipotesi di

corpo nero fornita dai dati. Riassumendo queste considerazioni, si ha che:

= 1; = 1

−

Sostituendo nella potenza trasferita possiamo semplificarne la relazione come segue:

4 4

( )

− 4 4

( )

= = −

1 − 1

+

A questo punto è ragionevole pensare che il silicio sia riscaldato dalla grafite a temperatura maggiore: se la

temperatura della grafite supera quella del silicio avremo una potenza entrante nel campione positiva. Allo

stesso modo avremo lo scambio termico a contatto che fornisce un ulteriore termine positivo in ingresso.

Per le condizioni di stazionarietà, questo flusso dovrà essere completamente bilanciato da un uguale flusso

uscente: il silicio sarà a temperatura superiore a quella del gas e quindi questo flusso sarà quello che

determinerà l’apporto uscente. Il bilancio sarà quindi dato da:

4 4

( ) ( ) ℎ( )

− + ℎ − = −

La presenza del termine di irraggiamento, con dipendenze alla quarta potenza della temperatura, complica

la soluzione analitica del problema: fra le varie possibilità attuabili, scegliamo qui il metodo iterativo, con

′

partenza da un valore di primo tentativo dell’incognita ( ), ottenuto da una semplificazione della relazione

appena scritta, che viene reinserito nel termino per ottenere un’approssimazione successiva e così via fino a

convergenza. L’unica pecca del metodo è che non garantisce l’effettiva convergenza, dato che questa

dipende dal valore di primo tentativo e dalla derivata della funzione valutata con lo stesso valore di primo

tentativo, elementi a priori non noti. Trascuriamo il primo termine nel calcolo del primo tentativo poiché di

fatto possiamo supporre che le temperature di grafite e silicio siano s