Il teorema di unicità del limite
Teorema
Se per x che tende a x0 la funzione f(x) ha per limite il numero reale l, allora tale limite è unico.
Ipotesi
- limx→x0 f(x) = l
Tesi
l è unico. l ∈ R. Il teorema vale anche per i limiti con x → +∞ o x → -∞.
Dimostrazione
Dimostriamo la tesi per assurdo. Supponiamo che la tesi sia falsa e cioè che l non sia unico. In tal caso dovrebbe esistere un numero reale l' diverso da l tale che risulti: limx→x0 f(x) = l', l' ≠ l.
Possiamo supporre l < l', poiché nella definizione di limite possiamo scegliere ε arbitrariamente purché sia positivo, consideriamo: ε < |l'−l|/2.
Applichiamo la definizione di limite in entrambi i casi. Dovrebbero esistere due intorni I e I' di x0 tali che:
- |f(x) − l| < ε per ogni x ∈ I,
- |f(x) − l'| < ε per ogni x ∈ I'.
Nelle dimostrazioni per assurdo si procede così: si suppone falsa la tesi; se con questa supposizione, dopo opportuni passaggi, l’ipotesi viene negata, significa che è sbagliato supporre falsa la tesi, ossia la tesi è vera.
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![Teorema di Poynting, teorema di unicità nel dominio del tempo per il problema interno/esterno]()
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Il limite per eccesso e il limite per difetto
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