Il limite per eccesso e il limite per difetto

Il limite per eccesso e il limite per difetto

Il limite per eccesso

Se f(x) è una funzione che ha limite finito l per x che tende a x₀ e inoltre, in un intorno di x₀, con al più x ≠ x₀, assume sempre valori maggiori di l, si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: lim_x→x0 f(x) = l⁺.

Pertanto, la definizione di limite per eccesso si ottiene da quella più generale di limite, che abbiamo già visto, aggiungendo la condizione che f(x) > l in un intorno di x₀. Poiché | f(x) - l | < ε ∧ f(x) > l ⇒ 0 < f(x) - l < ε, per verificare che lim_x→x0 f(x) = l⁺, basta provare che per ogni ε > 0 esiste un intorno I di x₀ tale che per ogni x ∈ I, con al più x ≠ x₀, si ha 0 < f(x) - l < ε, ossia l < f(x) < l + ε.

Verifichiamo che lim_x→0 (4x² - 3) = -3⁺. Fissiamo ε > 0 e risolviamo la disequazione: 0 < (4x² - 3) - (-3) < ε, ossia 0 < 4x² < ε.

La prima disuguaglianza è sempre vera perché x² è sempre positivo; dalla seconda disuguaglianza invece otteniamo: x² < ε/4 → -√(ε/2) < x < √(ε/2). Quindi è verificata la condizione -3 < f(x) < -3 + ε, per ogni x, diverso da 0, appartenente all’intorno ]-√(ε/2), √(ε/2)[ del punto 0.