Il limite destro e il limite sinistro

Limiti destro e sinistro

Limite destro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo: lim_{x → x0⁺} f(x) = l. La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza |f(x) − l| < ε deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno destro di x₀, ossia a un intorno del tipo ]x₀; x₀ + δ[.

Limite sinistro

Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo: lim_{x → x0⁻} f(x) = l. Anche per il limite sinistro valgono le stesse considerazioni fatte per il limite destro, con la sola differenza che |f(x) − l| < ε deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno sinistro di x₀, ossia un intorno del tipo ]x₀ − δ; x₀[.

La scrittura x → x_0⁺ si legge «x tende a x₀ da destra». Significa che x si avvicina a x₀ restando però sempre maggiore di x₀.

La scrittura x → x_0⁻ si legge «x tende a x₀ da sinistra». Significa che x si avvicina a x₀ restando però sempre minore di x₀.

Verifica dei limiti

Consideriamo la funzione il cui grafico è illustrato nella figura 11.

f(x) =

• 2x + 1 se x ≥ 1
• 3x - 1 se x < 1

Verifichiamo che _x→1⁺ f(x) = 3, mentre _x→1^- f(x) = 2.

Limite destro

Fissiamo ε > 0 e verifichiamo che esiste un intorno destro di 1 tale che |f(x) - 3| < ε per ogni x di tale intorno. Poiché dobbiamo considerare valori di x a destra di 1, ossia maggiori di 1, possiamo sostituire a f(x) la sua espressione nell’intervallo x ≥ 1 e risolvere il sistema:

• |(2x + 1) - 3| < ε
• x > 1

Risolviamo la prima disequazione:

|2x - 2| < ε → - ε < 2x - 2 < ε → 2 < 2x < 2 + ε → 1 - &frac;ε{2} < x < 1 + &frac;ε{2}.

Il sistema diventa:

• 1 - &frac;ε{2} < x < 1 + &frac;ε{2}
• x > 1

→ 1 < x < 1 + &frac;ε{2}, ossia la disuguaglianza iniziale è verificata per x nell’intorno destro ]1; 1 + &frac;ε{2}[ del punto 1.

Limite sinistro

Fissiamo ε > 0 e verifichiamo che esiste un intorno sinistro di 1 tale che |f(x) - 2| < ε, per ogni x di quell’intorno. Poiché consideriamo valori di x a sinistra di 1, cioè minori di 1, sostituiamo a f(x) la sua espressione per x < 1 e risolviamo il sistema:

• |(3x - 1) - 2| < ε
• x < 1

Risolviamo la disequazione...