Il limite della somma algebrica di due funzioni

Il limite della somma algebrica di due funzioni

Le funzioni hanno limite finito

ESEMPIO

Consideriamo le due funzioni f(x) = 2x – 6 e g(x) = x + 3 e i loro limiti per x → 4:

lim_x→4 (2x – 6) = 2 e lim_x→4 (x + 3) = 7.

La funzione somma s(x) = f(x) + g(x) è:

s(x) = (2x – 6) + (x + 3) = 3x – 3.

Il limite di s(x) per x che tende a 4 è:

lim_x→4 (3x – 3) = 9.

Osserviamo che 9 = 2 + 7, ossia il limite della funzione s(x) è uguale alla somma dei limiti di f(x) e di g(x).

Teorema

In generale, si può dimostrare il seguente teorema.

TEOREMA

Se lim_x→α f(x) = l e lim_x→α g(x) = m, dove l, m ∈ ℝ, allora:

lim_x→α [f(x) + g(x)] = lim_x→α f(x) + lim_x→α g(x) = l + m.

Le funzioni non hanno entrambe limite finito

Cosa succede quando una delle due funzioni ha limite infinito? E quando entrambe hanno limite infinito?

Con i simboli ⁺∞ e ^-∞ non si possono eseguire operazioni ragionando come se si trattasse di numeri reali. Per esempio, si può dimostrare che se lim_x→a f(x) = l e lim_x→a g(x) = ⁺∞, che è come dire:

l + (⁺∞) = ⁺∞.

Una relazione simile per i numeri reali a + b = b è vera solo se a = 0.

Tabella dei limiti

Riassumiamo nella tabella i vari casi che si possono presentare nei calcoli dei limiti della somma di due funzioni. In questa tabella, come nelle successive, nella prima colonna mettiamo i valori a cui tende f(x), nella prima riga quelli a cui tende g(x) e all’incrocio tra riga e colonna quelli a cui tende la funzione indicata dall’operatore. Con ? indichiamo le forme indeterminate.

Nella tabella si può notare che i casi in cui si sommano ⁺∞ e ^-∞ non hanno come risultato 0, come ci si potrebbe erroneamente aspettare. Questa è una forma di indecisione o forma indeterminata.