Il limite del quoziente di due funzioni

Il limite del quoziente di due funzioni

Le funzioni hanno limite finito, di cui almeno uno diverso da 0

Teorema

Se _limx→a f(x) = l e _limx→a g(x) = m, e m ≠ 0, allora: _limx→a ^f(x)/_g(x) = _limx→a f(x) / _limx→a g(x) = ^l/_m.

Dimostrazione

Siccome possiamo scrivere ^f(x)/_g(x) = f(x)·¹/_g(x), per il teorema del limite della funzione reciproca e del limite del prodotto di due funzioni, abbiamo: _limx→a ^f(x)/_g(x) = _limx→a f(x)·_limx→a ¹/_g(x) = _limx→a f(x)·¹/_limx→a g(x) = ^l/_m.

Esempio

1. Essendo _limx→3 (x - 1) = 2 e _limx→3 (2x + 1) = 7, allora _limx→3 ^{x - 1}/_{2x + 1} = ²/₇.
2. Essendo _limx→3 (x - 3) = 0 e _limx→3 (2x + 1) = 7, allora _limx→3 ^{x - 3}/_{2x + 1} = ⁰/₇ = 0.

Le funzioni non hanno entrambe limite finito

Si possono presentare i casi riassunti nella tabella.

• ℓ ≠ 0 ⟶ ¹/_m
• 0 ⟶ 0
• +∞ ⟶ ∞
• −∞ ⟶ ∞

Abbiamo le forme di indecisione: ⁰/₀ · ∞/∞