Il limite del prodotto di due funzioni
Le funzioni hanno limite finito
Teorema: Se x→α f(x) = l e x→α g(x) = m, con l, m ∈ ℝ, allora:
x→α [f(x) ⋅ g(x)] = x→α f(x) ⋅ x→α g(x) = l ⋅ m.
Esempio
Essendo x→1 3x = 3 e x→1 (x + 1) = 2, allora x→1 3x(x + 1) = 3 ⋅ 2 = 6.
Infatti, la funzione prodotto è p(x) = 3x(x + 1) = 3x2 + 3x, e il limite per x che tende a 1 di tale funzione è proprio uguale a 6.
Caso particolare
Se f(x) è una funzione costante k, si ha:
x→α f(x) ⋅ g(x) = x→α k ⋅ g(x) = k x→α g(x) = k ⋅ m.
Le funzioni non hanno entrambe limite finito
Se le funzioni non hanno entrambe limite finito, per il limite del prodotto si possono presentare diversi casi che riassumiamo nella tabella, osservando che anche quando si usano i simboli +∞ e -∞ vale ancora la regola dei segni.
| g(x) | ℓ > 0 | ℓ < 0 | 0 | +∞ | -∞ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | m > 0 | m ⋅ ℓ | m ⋅ ℓ | 0 | +∞ | -∞ |
| m < 0 | m ⋅ ℓ | m ⋅ ℓ | 0 | -∞ | +∞ | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | ? | ? | |
| +∞ | +∞ | -∞ | ? | +∞ | -∞ | |
| -∞ | -∞ | +∞ | ? | -∞ | +∞ |
Esempio
Supponiamo noti limx→1(-4x) = -4 e limx→11/(x-1)2 = +∞. Allora:
limx→1(-4x) ⋅ 1/(x-1)2 = -∞.
Notiamo che anche nella tabella precedente compare una forma indeterminata, o forma di indecisione: ∞ ⋅ 0.
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![Il limite del quoziente di due funzioni]()
Il limite del quoziente di due funzioni
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![Il limite della somma algebrica di due funzioni]()
Il limite della somma algebrica di due funzioni
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![Il limite destro e il limite sinistro]()
Il limite destro e il limite sinistro
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![Maths.CLIL analisi matematica, limite della somma di due funzioni]()
Maths.CLIL analisi matematica, limite della somma di due funzioni
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