Idrologia - Le piene dei corsi d'acqua - sintesi

delle ipotesi di lavoro, a stimare, in base a dette ipotesi, la distribuzione di probabilità ammissibile, ed

ad accettarla se le verifiche ci dicono che è plausibile.

Nel prosieguo faremo riferimento a uno dei metodi di stima della distribuzione di probabilità cumulata

più diffuso e semplice: Il metodo dei momenti già trattato nel capitolo della statistica (3) (6).

A tale scopo definiamo la funzione densità di probabilità:

 



  d x

  ,

x dx

strettamente connessa alla funzione distribuzione di probabilità cumulata Ф(Q), essendo ricavata da

questa per derivazione. :

Ricordiamo che si definiscono momenti di ordine n rispetto all’origine

  



 

n n

M x x dx

0   10

di cui il momento del 1 ordine rispetto all’origine (M =µ) è la e

media, momenti di ordine n rispetto

:

alla media 

   



   

n ,

n

M x x dx

   2µ

di cui il momento del 2 ordine rispetto alla media (M =ν) è la .

varianza

Ricordiamo ancora che la statistica definisce:

 

 ,

- scarto quadratico medio

- γ=σ/µ e

coefficiente di variazione 3µ 3

γ =M /σ .

- coefficiente di asimmetria 1

La stima della funzione probabilità cumulata col metodo dei momenti si basa sulla considerazione che

”. Ne discenderebbe che,

“

due funzioni risultano coincidenti se sono coincidenti tutti i loro momenti

stimati i valori dei momenti dal campione, la distribuzione di probabilità della popolazione sarebbe

univocamente definita da quella funzione che abbia tutti i momenti coincidenti con quelli calcolati dal

campione.

Purtroppo, però la stima dei momenti è tanto più incerta:

- quanto più è piccolo il campione;

- quanto più elevato è l’ordine del momento (2) (3).

Pertanto, con la dimensione usuale dei nostri campioni, la stima di momenti di ordine superiore al se-

condo è fortemente inaffidabile. Ne consegue che siamo costretti ad ipotizzare il tipo di funzione distri-

buzione di probabilità, limitandoci ad utilizzare il metodo dei momenti unicamente per la stima dei pa-

rametri che in questa compaiono.

4. Alcune delle distribuzione di probabilità cumulata Ф(Q) più utilizzate per interpretare la po-

polazione delle massime piene.

4.a La distribuzione logaritmo normale.

La distribuzione logaritmo normale è una distribuzione derivata da quella normale o di Gauss, nel sen-

so che la variabile derivata y = log Q risulta normalmente distribuita (3). Pertanto la distribuzione di

probabilità dei massimi annuali delle piene è data da: 2



 



y

 

y



y 0 .

5

1  



Q=y 

  

y

e dy

 

2

  y

Con µ media della variabile y e σ scarto quadratico medio della stessa variabile.

y y

Inoltre µ e σ sono legati a µ e σ dalle relazioni:

y y Q Q  

 

2 2 2

0 .

4343 ln (

1 ) ,

y Q

  

  2

log 1

. 1513 .

y Q y

Indicato con γ = σ /μ , il coefficiente di variazione delle piene, nel caso di distribuzione logaritmo

Q Q Q   

  3 risulta non nullo, positivo e

normale, il coefficiente di asimmetria della distribuzione [ ] 3

Q

1 Q Q

dipendente dal coefficiente di variazione.

Come si vede se ci si affida alla distribuzione logaritmo normale per interpretare la distribuzione di

probabilità cumulata della nostra variabile, si è certi che coincidano unicamente due momenti: la media

e la varianza; tuttavia la distribuzione logaritmo normale viene scelta da molti poiché le sue caratteri-

stiche sono tali che anche il coefficiente di asimmetria ha un valore poco dissimile da quello che più

studi, sviluppati mettendo insieme le poche serie molto lunghe disponibili , fanno ipotizzare (vedi fig. 2

tratta da (7)).

4.b La distribuzione di Gumbel.

Molti statistici hanno ricercato, per via teorica, quella che dovrebbe essere la distribuzione di probabili-

tà di una grandezza che è il massimo in una stringa di valori indipendenti di una variabile originaria,

proprio come nel nostro caso. Infatti la nostra popolazione non è altro che l’insieme dei massimi delle

piene indipendenti che si sono verificate ogni anno. Tuttavia, poiché le ipotesi fatte sulla distribuzione

(sconosciuta) della variabile originale, possono essere diverse, disparate sono le distribuzione dei mas-

simi a cui pervengono i vari ricercatori.

Noi, qui di seguito, riportiamo la distribuzione studiata dal Gumbel (8), poiché molto utilizzata in Italia

(4). Questo autore perviene alla seguente distribuzione di probabilità dei massimi annuali delle piene:

 

 

( )



 Q

e

e

 

Q

  

  0

. 450

dove: e

Q Q



1  Q .

 1

. 28255

Anche in questo caso, se ci si affida alla distribuzione di Gumbel per interpretare la distribuzione di

probabilità cumulata della nostra variabile, si è certi che coincidano unicamente due momenti: la media

e la varianza; tuttavia questa distribuzione normalmente viene scelta poiché le sue caratteristiche sono

state ricavate proprio al fine di interpretare la distribuzione dei massimi. Tuttavia questa distribuzione

ha il coefficiente di variazione costante e pari a 1,1395, pertanto alcuni idrologi affermano che è idonea

a interpretare le massime piene solo di alcune particolari aree geografiche con basso coefficiente di va-

riazione (vedi fig. 2 tratta da (7)).

4.c La distribuzione TCEV (Two Component Extreme Value).

Nell’ultimo ventennio molti idrologi italiani hanno ipotizzato che la scarsa adattabilità delle succitate

distribuzioni ad interpretare soddisfacentemente la distribuzione dei massimi annuali delle portate di

piena dipendesse dal fatto che gli eventi meteorici che le generano sono di due tipi diversi: eventi di ti-

po convettivo ed eventi di tipo ciclonico (9). Ne scaturiscono piene che appartengono a due diverse fa-

miglie ed anche la massima piena annuale può appartenere, a seconda dell’anno, all’uno o all’altro tipo.

Ne deriva che le ipotesi, alla base dell’analisi statistica, possono essere sviluppate indipendentemente,

per ognuna di queste componenti, e la distribuzione di probabilità cumulata si ricaverà considerando

che le piene sono una miscela di queste due componenti.

Indicato con: λ il numero medio annuo di piene indipendenti del primo tipo,

1

λ il numero medio annuo di piene indipendenti del secondo tipo,

2 il valore medio delle piene indipendenti del primo tipo,

θ

1

θ il valore medio delle piene indipendenti del secondo tipo,

2

la distribuzione di probabilità dei massimi annuali delle piene è risultata:

 

 

 

/ /

1 2

Q Q

   

   

exp  

Q e e

1 2

 

che ha ben quattro parametri: λ , λ , θ e θ . Ne consegue che i loro valori non possono essere valutati,

1 2 1 2

col metodo dei momenti, poiché occorrerebbe ricorrere fino ai momenti del quarto ordine; Pertanto i

valori possono essere stimati solo tramite una analisi regionale di cui parleremo nel par 6.

5. Confronto tra la distribuzione logaritmo normale e la distribuzione di Gumbel.

Affinché due distribuzioni di ripartizione siano uguali occorre che coincidano tutti i momenti.

Le funzioni distribuzione di probabilità log-normale e di Gumbel sono però bi-parametriche; Questo

significa che siamo certi di portare a coincidenza, tra la distribuzione e il campione, il momento del

primo ordine rispetto all’origine ( ) e il momento del secondo ordine rispetto alla media (

media varian-

) ma, una volta portati a coincidere questi due valori, tutti gli altri momenti della distribuzione saran-

za

no fissati e non è detto che ci sia una buona aderenza tra quelli del campione e quelli della distribuzio-

ne. Pertanto si può affermare che la “migliore distribuzione di probabilità è quella che ha valori dei

momenti di ordine superiore poco discosti da quelli dei campioni”.

Maione, Tomirotti e Galimberti (7) rendono possibile questo confronto per le due distribuzioni sopraci-

3μ 3

tate calcolando il momento del terzo ordine, rispetto alla media, adimenzionalizzato: γ = M /σ ( coef-

1

), per moltissime serie di maggiore lunghezza, raccolte in tutto il mondo (fig. 2).

asimmetria

ficiente di

Dalla figura appare chiaro che quest’ultimo è normalmente positivo e va aumentando all’aumentare del

valore della varianza, che è quanto si verifica per la distribuzione logaritmico normale, anche se la rela-

zione tra questi due momenti, nella distribuzione, è meno variabile che nella media dei campioni; Per la

distribuzione di Gumbel, invece, il coefficiente d’asimmetria assume il valore costante di γ =1,1395 e

1

pertanto detta distribuzione va molto bene per le piene delle aree che presentano coefficiente di varia-

zione relativamente modesto. 3μ 3

Fig. 2 Confronto tra il coefficiente di asimmetria γ (Q)= M /σ delle distribuzioni Log normale e di

1

Gumbel, con quelli stimati, nel lavoro (7), dalle serie più lunghe, reperibili in tutto il mondo.

6. Similitudine idrologica.

Il secondo problema che deve affrontare un idrologo è quello di trasferire le informazioni sulle distri-

buzioni di probabilità delle massime piene, raccolte in alcune sezioni singolari del reticolo idrografico,

alla generalità delle sezioni idrografiche. Solo in questo modo, infatti, potrà stimare la distribuzione di

probabilità delle massime piene nella sezione d’interesse di una qualsiasi opera.

La prima considerazione che possiamo effettuare è che nell’analisi idrologica si è avanzata una ipotesi

sulla distribuzione di probabilità delle massime piene; se questa ipotesi risulta accettabile per i dati re-

gistrati in una vasta regione, si potrà certamente affermare che le piene di tutte le altre sezioni, anche se

non misurate, saranno distribuite secondo la stessa distribuzione di probabilità (10).

Pertanto il problema è unicamente quello di trasferire i valori dei parametri della distribuzione dalle se-

zioni monitorate a tutte le altre. Ovviamente, questo trasferimento d’informazione deve essere effettua-

to su una base fisica convincente, in modo che la distribuzione di probabilità stimata possa essere con-

siderata come la migliore valutazione delle piene di quella sezione, in mancanza di dati specifici.

La successiva considerazione è che la piena è il prodotto delle diverse precipitazioni atmosferiche sul

bacino che danno luogo a diverse portate, in ragione delle caratteristiche specifiche del singolo bacino

(superficie, permeabilità, forma, acclività ecc.). Pertanto, mentre le caratteristiche dei singoli bacini so-

no immutabili nel tempo e, quindi, il loro effetto non varia da evento a evento, le precipitazioni atmo-

sferiche variano nel tempo e determinano la variazione temporale delle piene. Inoltre i singoli eventi

meteorici, benché variabili nel tempo, agiscono interessando, di volta in volta, aree molto ampie e, per-

tanto, il loro effetto è comune a bacini limitrofi (10).

Ne consegue la possibilità di avanzare, in maniera fisicamente basata, le ipotesi che:

- la media delle massime piene µ sia dipendente e dalla piovosità sul bacino e dalle specifiche ca-

j

ratteristiche di questo;

1. Premessa-2. I massimi annuali delle portate al colmo di piena.-3. La stima, col metodo dei momenti, della distribuzione di probabilità cumulata Ф(Q) delle piene.-4.a La distribuzione logaritmo normale.-4.b La distribuzione di Gumbel.-4.c La distribuzione TCEV (Two Component Extreme Value).-5. Confronto tra la distribuzione logaritmo normale e la distribuzione di Gumbel.-6. Similitudine idrologica.-7. Similitudine idrologica nel caso della distribuzione TCEV.-8. Stima della media μ(Q).-8. Periodo di ritorno T , vita dell’opera N e Rischio R.