Idrologia - Idrologia statistica

CAPITOLO 2

Idrologia Statistica: considerazioni preliminari.

L’obiettivo di investigare il futuro, per quanto riguarda la distribuzione dell’acqua in natura, non appare

perseguibile se non a breve, brevissimo termine. Possiamo però svolgere queste considerazioni.

 Chiediamoci che cosa avverrà nel prossimo intervallo ∆t; ad esempio, chiediamoci quale sarà il valore

medio, o massimo, o minimo della grandezza idrologica che ci interessa. Limitiamo la nostra

attenzione, per il momento, a grandezze il cui andamento nel tempo non appaia intermittente (come

avviene per le piogge). Se ∆t è abbastanza piccolo probabilmente il valore che ci interessa non si

allontana molto da quello attuale. Ma noi siamo, ovviamente, interessati a ∆t più grandi. Per

rispondere alla domanda che ci siamo posti andiamo ad esaminare che cosa è successo nel passato,

considerando la sequenza di intervalli ∆t che hanno preceduto il momento attuale.

 Le portate medie giornaliere, ma anche le massime o le minime (sempre giornaliere), presentano, per

il passato, un andamento non molto dissimile da quello delle portate istantanee. I loro valori futuri

sono altrettanto imprevedibili di quelle; ma è possibile riconoscere ancora, a questa scala, alcune

caratteristiche dell’idrogramma continuo, come una certa regolarità nelle fasi di risalita e di discesa.

Usando una terminologia qualitativa (per il momento) potremmo dire che nel segnale ottenuto ‘sono

ancora presenti una componente deterministica (prevedibile) ed una componente aleatoria

(imprevedibile)’.

 Se passiamo ad una scala temporale maggiore, come ad esempio quella mensile, le regolarità presenti

alla scala inferiore tendono a scomparire. In particolare, tende a scomparire quella proprietà, chiamata

Persistenza, per cui valori maggiori della media (totale) tendono a essere seguiti da valori maggiori, e

valori minori da valori minori. La persistenza è chiaramente presente alla scala giornaliera, ed alle

scale inferiori. Ne rimane una traccia a livello mensile (si pensi al succedersi delle stagioni).

 Quando si arriva alla scala annuale ( sia per i valori medi, sia per quelli massimi o minimi), le

regolarità presenti prima non ci sono più. Almeno, se facciamo riferimento a bacini di dimensioni

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medie (fino alle migliaia di km ). Al posto di questa regolarità è comparsa una evidente Casualità

totale, o pura casualità. Bene, nonostante questa condizione corrisponda alla minima capacità di

prevedere i valori futuri (il valore della portata massima annuale per il prossimo anno, ad esempio), è

possibile introdurre una nuova logica che rende conoscibile il futuro in termini probabilistici. Le

tecniche che utilizzeremo sono applicabili solo là dove è scomparsa ogni persistenza; tecniche più

complicate sarebbero necessarie quando la persistenza rimane.

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Sequenza continua di portate

Sequenza di portate massime mensili Sequenza di portate massime annuali

Un prototipo per i processi casuali. un’ urna,

Immaginiamo di estrarre in successione da contenente una distribuzione di tasselli numerati, un

insieme di numeri; ad ogni estrazione segua la reintroduzione nell’urna del numero estratto. La successione

delle portate massime annuali (per la sezione di un corso d’acqua), di cui abbiamo appena parlato, assomiglia

alla sequenza di numeri estratti da un’urna.

La casualità della sequenza delle portate massime annuali, propone quindi come valido obiettivo per la ricerca

la ricostruzione del contenuto dell’urna

idrologica (ovviamente, virtuale) da cui si può pensare che quei

Una volta ricostruito il contenuto di quell’urna (a priori sconosciuto) sarà

numeri siano stati estratti. fondamentali dell’analisi statistica:

possibile eseguire le due operazione prevedere il futuro in termini

probabilistici, assegnando ai futuri valori una misura della loro probabilità (vedi seguito), e generare

sequenze possibili di valori futuri, attraverso successive estrazioni da quell’urna.

L’obiettivo indicato richiede l’introduzioni di elementi (rudimentali) di Teoria delle Probabilità.

Elementi di Teoria della Probabilità: introduzione.

Iniziamo con la teoria degli eventi aleatori. Questi ultimi sono definiti come i possibili risultati di un

esperimento, il cui risultato non sia noto a priori. Preso in esame un particolare esperimento (per il quale

accettiamo una definizione intuitiva), potremo individuarne a priori i possibili risultati; il passo successivo sarà

quello di assegnare a ciascuno di questi risultati (come detto in precedenza, a ciascun evento aleatorio) un

numero, compreso tra zero ed uno, il cui valore ci permette, per confronto con il corrispondente valore per

che abbiamo nel verificarsi dell’uno rispetto al

un altro evento, di dire quanto sia maggiore la confidenza

verificarsi dell’altro. Chiameremo questo numero probabilità di quell’evento aleatorio.

La teoria delle Probabilità (TdP) si occupa di costruire un sistema coerente di regole che permettano di

ricavare la probabilità, sconosciuta, di alcuni eventi aleatori, a partire da quella, nota, di altri eventi aleatori.

Per fare questo occorre definire le operazioni che, a partire da una coppia di eventi aleatori, permettono di

costruirne altri, ed individuare gli assiomi (cioè delle regole non dimostrate, ma accettabili) che permettano di

attribuire ai nuovi eventi le corrispondenti probabilità.

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Iniziamo con indicare con lettere latine maiuscole gli eventi aleatori e con la scrittura P(.) la corrispondente

ad esempio, indichiamo la probabilità dell’evento

probabilità; con P(A), A.. Assumiamo validi i seguenti

assiomi, a riguardo della P(A).

 Che essa sia un numero compreso tra zero ed 1,

 che i valori di estremità (zero ed uno) siano da attribuirsi rispettivamente alla probabilità

dell’evento impossibile ed a quella dell’evento certo.

Come potremo assegnare la probabilità agli eventi aleatori ? Nel caso sia visibile l’urna da cui possiamo

supporre che i prossimi eventi vengano estratti (nel caso in cui l'esperimento consista nell'osservazione di un

valore numerico), una semplice ispezione ci potrà dire quale è la probabilità dell’evento che ci interessa; si

tratterà di rilevare il rapporto tra il numero di casi favorevoli all'evento sul totale dei casi possibili (se questi

ultimi hanno tutti lo stesso grado di probabilità). Se invece ogni evento aleatorio emerge da una sequenza di

tentativi, la sua probabilità potrà essere ricavata continuando indefinitamente i tentativi e stimando la

della frequenza relativa di quell’evento (rapporto tra numero di casi favorevoli

probabilità come limite

all’evento e numero totale di tentativi). Esiste anche un modo soggettivo di assegnare la probabilità ad un

evento, soprattutto quando non si verifica nessuno dei casi prima richiamati.

In tutti i casi, i numeri che esprimono quelle probabilità dovranno verificare le regole derivanti dagli assiomi

prima richiamati, e da quello che verrà introdotto tra breve.

Vediamo alcuni esempi di derivazione della probabilità di eventi, nota quella di altri. In perfetto parallelismo

con la teoria degli insiemi, definiamo, a partire dagli eventi aleatori A e B, i seguenti altri eventi aleatori:

 

C A B

si legge ‘evento ‘, ed è definito come

Unione tra A e B l’evento che si verifica quando si verificano o A o B.

 

D A B

si legge ‘evento ‘, ed è definito come l’evento

Intersezione tra A e B che si verifica quando si verificano A e

B.

Due eventi si dicono Disgiunti o mutuamente esclusivi quando non possono verificarsi congiuntamente (in

termini temporali: contemporaneamente). Ne deriva che è nulla la probabilità della loro intersezione. Vale per

l’assioma più importante della teoria delle probabilità,

questi eventi che dice che, se due eventi sono

disgiunti, la probabilità della loro unione è pari alla somma delle loro probabilità individuali (o

marginali). Ossia: 

 

P

(

A

B

) P

(

A

) P

(

B

)

Passiamo ora ad esaminare due eventi A e B, NON disgiunti; questo significa che possono verificarsi

congiuntamente (o contemporaneamente, vedi sopra). La probabilità della loro unione è facilmente derivabile

utilizzando i Diagrammi di Venn. Questi ultimi rappresentano gli eventi aleatori come figure comprese

all’interno di un rettangolo la cui probabilità è misurata dall’area della superficie delle

di area unitaria,

(questo comporta che ciascuna figura all’interno abbia un’area misurata, in qualunque unità di

figure stesse

misura, dal rapporto tra l’area della figura e l’area del rettangolo. In altre parole, non è necessario affannarsi a

dare un significato geometrico preciso all’area unitaria del rettangolo).

I tre assiomi permettono di ricavare l’espressione della probabilità dell’unione tra due eventi, quando non siano

figura è rappresentata, nel diagramma di Venn, la trasformazione dell’unione tra A e B

disgiunti. Nella

nell’unione di tre eventi disgiunti, a cui applicare l’assioma prima visto.

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Fig.2.1: diagramma di Venn



















P

(

A

B

)

P

(

A

(

A

B

)

B

)

P

(

A

)

P

(

A

B

)

P

(

B

)

o o o o

Essendo, d’altra parte,      

A A (

A B

) B B (

A B

)

e 0

o

tenendo conto delle evidenti mutue esclusioni tra i diversi eventi, scriveremo:



  

 

P

P (

( B

A )

) P P

( (

B

A

) )

P P

( (

A A

B B

) )

e

o o

da cui, con semplici passaggi: 

   

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

A

B

)

Definiamo ora gli Eventi Condizionati, come quegli eventi, non ancora verificatisi, che sono preceduti (in

senso lato) dal verificarsi di qualche altro evento. L’informazione a riguardo dell’evento condizionante (non

necessariamente rappresentato da un altro evento aleatorio, visto che il suo verificarsi ne annulla la natura

imprevedibile, facendolo diventare simile a qualunque altra informazione) può modificare la probabilità

condizionato, rispetto a quella incondizionata, o

dell’evento marginale, dello stesso evento.

Facendo riferimento alla definizione di probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di

casi possibili (egualmente possibili) si può dimostrare che tra probabilità condizionate, probabilità congiunte e

probabilità marginali valgono le seguenti relazioni: 

P

(

A B

)



P

(

A

/

B

) P

(

B

)



P

(

A B

)



P

(

B

/

A

) P

(

A

)

Non è difficile interpretare le relazioni precedenti alla luce dei diagrammi di Venn, dove, come abbiamo visto,

il generico evento appare rappresentato da una superficie all’interno di un rettangolo di superficie unitaria, e la

probabilità di quell’evento è misurata dall’area di quella superficie. Se adesso immaginiamo di dare area

nel secondo), l’unico evento favorevole al verificarsi

unitaria agli eventi condizionanti (B, nel primo caso, ed A



A B

e cioè l’intersezione , dovrà essere rapportato all’area dell’evento condizionante.

congiunto di A e B,

Da qui la validità delle espressioni precedenti. 4

Le tre relazioni ricavate,