Idrologia - Idrologia statistica

A

B

) P

(

A

) P

(

B

)

Passiamo ora ad esaminare due eventi A e B, NON disgiunti; questo significa che possono verificarsi

congiuntamente (o contemporaneamente, vedi sopra). La probabilità della loro unione è facilmente derivabile

utilizzando i Diagrammi di Venn. Questi ultimi rappresentano gli eventi aleatori come figure comprese

all’interno di un rettangolo la cui probabilità è misurata dall’area della superficie delle

di area unitaria,

(questo comporta che ciascuna figura all’interno abbia un’area misurata, in qualunque unità di

figure stesse

misura, dal rapporto tra l’area della figura e l’area del rettangolo. In altre parole, non è necessario affannarsi a

dare un significato geometrico preciso all’area unitaria del rettangolo).

I tre assiomi permettono di ricavare l’espressione della probabilità dell’unione tra due eventi, quando non siano

figura è rappresentata, nel diagramma di Venn, la trasformazione dell’unione tra A e B

disgiunti. Nella

nell’unione di tre eventi disgiunti, a cui applicare l’assioma prima visto.

3

Fig.2.1: diagramma di Venn



















P

(

A

B

)

P

(

A

(

A

B

)

B

)

P

(

A

)

P

(

A

B

)

P

(

B

)

o o o o

Essendo, d’altra parte,      

A A (

A B

) B B (

A B

)

e 0

o

tenendo conto delle evidenti mutue esclusioni tra i diversi eventi, scriveremo:



  

 

P

P (

( B

A )

) P P

( (

B

A

) )

P P

( (

A A

B B

) )

e

o o

da cui, con semplici passaggi: 

   

P

(

A

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

A

B

)

Definiamo ora gli Eventi Condizionati, come quegli eventi, non ancora verificatisi, che sono preceduti (in

senso lato) dal verificarsi di qualche altro evento. L’informazione a riguardo dell’evento condizionante (non

necessariamente rappresentato da un altro evento aleatorio, visto che il suo verificarsi ne annulla la natura

imprevedibile, facendolo diventare simile a qualunque altra informazione) può modificare la probabilità

condizionato, rispetto a quella incondizionata, o

dell’evento marginale, dello stesso evento.

Facendo riferimento alla definizione di probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero di

casi possibili (egualmente possibili) si può dimostrare che tra probabilità condizionate, probabilità congiunte e

probabilità marginali valgono le seguenti relazioni: 

P

(

A B

)



P

(

A

/

B

) P

(

B

)



P

(

A B

)



P

(

B

/

A

) P

(

A

)

Non è difficile interpretare le relazioni precedenti alla luce dei diagrammi di Venn, dove, come abbiamo visto,

il generico evento appare rappresentato da una superficie all’interno di un rettangolo di superficie unitaria, e la

probabilità di quell’evento è misurata dall’area di quella superficie. Se adesso immaginiamo di dare area

nel secondo), l’unico evento favorevole al verificarsi

unitaria agli eventi condizionanti (B, nel primo caso, ed A



A B

e cioè l’intersezione , dovrà essere rapportato all’area dell’evento condizionante.

congiunto di A e B,

Da qui la validità delle espressioni precedenti. 4

Le tre relazioni ricavate, unite alle espressioni delle probabilità degli eventi A e B, consentono di ricavare le

P

( A / B

) P

( B / A

)

probabilità di tutti gli eventi coinvolti, a partire da tre di loro. Ad esempio, noti , e



P

( A B

) , si possono ricavare: 

P

(

A B

)



P

(

A

) P

(

B

/

A

)



P

(

A B

)



P

(

B

) P

(

A

/

B

)

1 1





  

P

(

A

B

)

P

(

A

B

)[ 1

]

P

(

B

/

A

)

P

(

A

/

B

)

Definiamo ora la condizione di indipendenza tra due eventi; due eventi si dicono indipendenti quando le

loro probabilità condizionate sono pari a quelle incondizionate. In altre parole: la probabilità che avvenga

A non è modificata dal fatto che, nel frattempo, si è verificato B. La conseguenza più importante

dell’indipendenza tra due eventi è rappresentata dal fatto che la probabilità della loro intersezione si

fattorializza nel prodotto delle due probabilità, ossia:





P

(

A

B

) P

(

A

)

P

(

B

)

Elementi di Teoria delle Probabilità: esempi.

Dopo aver individuato i 3 assiomi su cui si regge la teoria delle probabilità, abbiamo visto come caratterizzare,

oltre al singolo evento aleatorio (uno dei possibili risultati di un esperimento), anche gli eventi definibili a

da una coppia di eventi aleatori, attraverso 3 probabilità, a scelta tra le due ‘marginali’, la probabilità

partire

della intersezione (o probabilità congiunta) e le due probabilità condizionate. Il passaggio a numeri superiori di

eventi non è altro che un’applicazione di queste regole, visto che le operazioni tra eventi definiscono altri

eventi, consentendo di passare da tre a due eventi, oppure da quattro a tre etc.

Proviamo a utilizzare le nozioni appena viste con riferimento ad un caso concreto. Sia p la probabilità che

domani sia un giorno piovoso. A proposito dell’esperimento “vediamo possiamo

che tempo ci sarà domani”

notare che esistono due possibili risultati: che piova o che non piova. Si tratta di due eventi aleatori,

mutuamente esclusivi, e collettivamente esaustivi. Possiamo considerarli gli unici due elementi di uno spazio

E’ evidente che, indicati con

dei campioni. A il primo evento (domani piove) e con B il secondo evento

(domani non piove), risulterà  1



P

( A

) p P

(

B

) p

Abbiamo, in maniera molto intuitiva, usato uno degli assiomi della TdP. Vediamo ora un altro esempio. Ci

interroghiamo a proposito dei prossimi due giorni, e ci chiediamo con quale probabilità avremo almeno un

possibili risultati dell’esperimento sono rappresentati da una coppia di osservazioni,

giorno piovoso. I

ciascuno; se indichiamo con il simbolo E uno dei possibili risultati, e manteniamo la vecchia terminologia per

i

indicare il giorno piovoso ed il giorno non piovoso, potremo scrivere:

 

E A A

1  

E A B

2  

E B A

3  

E B B

4

La scrittura appare complicata, ma il significato dei quattro eventi non è difficile da capire, visto che

l’operazione di tra due eventi definisce un terzo evento, come quell’evento che si verifica

intersezione quando

5

l’uno l’altro degli eventi originari. E’ appena il caso di notare che, a differenza dal caso

si verificano e

precedente, lo spazio dei campioni è costituito da eventi composti (ciascuno, come visto, definito attraverso

l’intersezione di due altri). Siamo anche in grado di assegnare la rispettiva probabilità ai quattro eventi,

utilizzando quelle degli eventi A e B. Risulta:   2

P

(

E

) P

(

A

)

P

(

A

) p

1   

P

(

E

) P

(

A

)

P

(

B

) p

(

1 p

)

2   

P

(

E

) P

(

B

)

P

(

A

) (

1 p

)

p

3    2

P

(

E

) P

(

B

)

P

(

B

) (

1 p

)

4

Rispondiamo adesso alla domanda che ci siamo fatti notando ancora che gli eventi E sono m.e.c.e.

i

(mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi); la somma delle loro probabilità (essendo la loro Unione

pari all’evento certo) è pari a 1. L’evento di cui ci stiamo chiedendo la probabilità è rappresentato da

 





c

D

E E E

E

1 2 3 4

c

E , che definisce l’evento , corrisponde all’evento che si verifica tutte le

La scrittura complementare di E

4 4

volte che non si verifica E ; è facile dimostrare che la sua probabilità è il complemento a 1 della probabilità di

4

. Che usiamo l’una o l’altra delle due definizioni, il risultato sarà:

E

4    2

p

(

D

) 1 (

1 p

)

Se, ad esempio, è p=0.1, avremo P(D) = 0.19.

Esaminiamo ora il caso in cui ci si interroghi sulla probabilità dell'evento A, che si verifica se almeno un

giorno è piovoso nei prossimi N giorni. Si potrà notare che per N abbastanza grande sarà difficile che p, la

probabilità che un giorno sia piovoso, non si modifichi; ma noi supponiamo che questo succeda.

La risposta alla domanda segue una logica perfettamente simile a quella appena utilizzata nel caso N=2. Il

risultato sarà: N

P(A)=1-(1-p) .

Variabili aleatorie. La curva delle frequenze relative di quest’ultimo

Se associato ad un evento aleatorio (cioè imprevedibile) si trova un numero reale, parleremo

(anch’esso imprevedibile) come di una Variabile Aleatoria (VA). L’esempio prima introdotto, che presentava

l’estrazione da un’urna come prototipo dell’evento aleatorio, è in realtà riferito, più propriamente, a delle VA.

ora come caratterizzare il contenuto dell’urna virtuale da cui possiamo pensare che siano (e

Ci chiediamo

saranno) estratti i valori delle portate massime annuali della sezione del corso d’acqua che ci interessa. Il

punto di partenza è rappresentato dalla successione degli N valori osservati, in cui riconosciamo il tipico

andamento casuale.

Organizziamo ora i numeri estratti in ordine crescente, e associamo ad ogni valore, nella sequenza così

costruita, la quantità: i



y i N

essendo, 6  

x x x