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Idrologia - Idrologia statistica Appunti scolastici Premium

Appunti di Idrologia per l’esame del professor Bartolini. Gli argomenti trattati sono i seguenti: considerazioni preliminari, una componente deterministica, una componente aleatoria, un prototipo per i processi casuali, la teoria delle Probabilità, Elementi di Teoria della Probabilità.

Esame di Idrologia docente Prof. P. Bartolini

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ESTRATTO DOCUMENTO

 

x x x

 

i 1 i i 1

L’interpretazione delle percentuale di valori estratti minori o uguali all’i-esimo

y è immediata: si tratta della

i

x; in altre parole, la frequenza relativa di non-superamento del corrispondente valore di x (in ordinate).

diventa semplicemente il numero di osservazioni minori o uguali all’i-esimo

Moltiplicato per N, y valore di x.

i y ( x ) . Un’interpretazione estensiva ci

Non abbiamo difficoltà a immaginarci un possibile diagramma i i

permette di rappresentare la y attraverso una serie di tratti orizzontali e di tratti verticali, a comporre una specie

di scaletta (vedi figura). Infatti, anche per i numeri non osservati, compresi tra x ed x , vale l'affermazione

i i+1

che non sono stati superati i volte, e quindi hanno la stessa frequenza di non superamento di x .

i

estrazioni da un’urna contenente i numeri della

Immaginiamo ora di costruire la funzione y a partire da N

tombola. Se N non è tanto grande, la scaletta avrà forma irregolare; alcuni numeri mancheranno, altri

compariranno più di una volta. Che cosa succede se N tende a infinito ? Ci aspettiamo che ogni numero

compaia un numero di volte pari a quello degli altri (un novantesimo del totale) e che la scaletta tenda ad una

forma regolare. La lettura della scaletta, nella sua forma-limite per N che tende a infinito, permette di

risalire al contenuto dell’urna da cui i numeri sono stati estratti.

Probabilità di non superamento osservata al variare del numero dei

dati

1

0.9

0.8

0.7

0.6

y 0.5

0.4 n dati =20

n dati =40

0.3

0.2 n dati =80

0.1

0 0 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x

Fig.2.2: Possibile andamento della funzione i/N, all’aumentare di N, nel caso di estrazione di un numero della

tombola (nel grafico i valori estratti sono divisi per 90).

Le cose dette in precedenza sono un po’ più complicate quando i possibili valori di una variabile aleatoria

diventano infiniti. In questo caso la scaletta di cui si è parlato in precedenza (con 90 gradini regolari, nel caso

dell’estrazione della tombola) diventa una curva continua. Il significato della curva però non cambia: anche ora

il numero associato al generico valore di x (senza indice, visto che abbandoniamo il riferimento al campione

osservato, per guardare direttamente il contenuto dell’urna), che indicheremo con il simbolo F (x), indica il

X

ed il numero totale dei valori contenuti nell’urna. Si tratta

rapporto tra il numero di valori minori o uguali a x

del rapporto tra due infinità, che notoriamente può dar luogo ad un numero reale. Questo numero, ottenuto

come limite superiore di una frequenza (quella con cui si manifestano numeri inferiori ad x), assume il

significato di Probabilità di non superamento del valore x da parte della variabile X.

Variabili aleatorie. La curva delle probabilità di non superamento.

7

Abbiamo introdotto la funzione CDF (F (x)=P(Xx)) come limite della funzione i/N , che associa ad ogni

X

valore x di una sequenza campionaria, disposta in ordine crescente, la percentuale di non-superamenti del

i coincidente con il numero d’ordine della

valore x (numero osservato di non-superamenti, x nella sequenza

i

ordinata, diviso il numero totale di osservazioni). Il passaggio al limite modifica il significato della funzione,

E’ questa una delle

che dalle frequenze relative di non-superamenti passa ad esprimere le relative probabilità.

possibili definizioni di probabilità; le altre, ricordiamo, sono; quella che attribuisce alla probabilità il valore del

rapporto tra il numero di casi favorevoli ad un evento aleatorio ed il numero di casi possibili, qualora

ugualmente possibili (è il caso della probabilità associata ad ogni possibile valore derivante dal getto di un

dado, di una moneta, all’estrazione di un numero dalla roulette); e quella che fa riferimento al numero

(compreso tra zero ed uno) che esprime semplicemente il grado di confidenza (sovente soggettivo) che si ha a

proposito del verificarsi di un evento aleatorio. Preso atto del fatto che questa funzione è stata riconosciuta da

molti come appropriata allo scopo (che, ricordiamo, è quello di sintetizzare il comportamento di una variabile

aleatoria attraverso la descrizione della composizione dell’urna da cui si può immaginare che la variabile

venga estratta), dobbiamo dotarci degli strumenti matematici che ci consentiranno di determinarla.

In altre parole; come capita spesso nella matematica applicata, abbiamo dedicato una parte del nostro tempo a

cercare e trovare una funzione la cui conoscenza esaurisca le informazioni che ci interessano a riguardo di un

fenomeno; l’altra parte la dedichiamo alla definizione degli strumenti che dovremo usare per ricavare la

funzione stessa. F (x)

X

1

F (x) = P(X x)

X 0 x X

Probabilità di Eventi Aleatori, a partire dalla CDF:

Torniamo alla CDF, funzione di probabilità cumulata. Vediamone il significato alla luce della TdP.

Chiediamoci come possiamo, utilizzando la CDF, ricavare la probabilità che X assuma un valore compreso tra

Cerchiamo quindi la probabilità dell’evento:

a e b, con b maggiore di a.  

A X (

a

,

b

)

Definiamo altri due eventi:    

B X a C X b

e

Risulta evidentemente:  

C B A

da cui, ricordando il significato della CDF, 8  

F

(

b

) F

(

a

) P

(

A

)

X X

da cui   

P

(

X

a

,

b

) F

(

b

) F

(

a

)

X X

Ne deriva la capacità della CDF di fornire la probabilità che la variabile X cada in un qualunque intervallo

dell’asse reale; è contemplata, ovviamente, la possibilità che su una o più parti dell’asse reale la variabile X

non possa assumere valori. F (x)

X

1

FX(b) FX(a)

a b

0 X

La funzione Densità di Probabilità.

Che cosa succede al tendere a zero della distanza tra i due punti a e b del precedente esempio. Potremo

scrivere: 

 

P

(

X

x

,

x x

) F

(

x x

)

F

(

x

)

X X  

 P

(

X x

, x x

)

x

Al tendere di a zero, se la CDF è continua con le sue derivate, mentre la tende a zero il

 

F (

x

) / x

rapporto incrementale tende alla derivata della CDF rispetto a x. Note proprietà del calcolo

X

porteranno alle seguenti relazioni: x

dF

(

x

)  

 X F (

x

) f ( )

d

f (

x

) e X X

X dx 

da cui, ancora: b

  

P

(

X

a

,

b

)

F

(

b

)

F

(

a

) f

(

x

)

dx

X X X

a

f (x )

La funzione è chiamata funzione densità di probabilità; come è possibile vedere immediatamente, non

X

ha le dimensioni di una probabilità, ma quelle dell’inverso della variabile X (ad esempio; se X rappresenta una

f (x ) 3

portata, la ha le dimensioni [T/L ]).

X 9 f (x)

X

0 X

Variabili aleatorie discrete:

Si chiamano variabili aleatorie discrete quelle che possono assumere solo un insieme limitato di valori, oppure

un insieme infinito, ma numerabile. Per numerabile si intende un insieme i cui elementi possono essere posti in

corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. In altre parole: una V.A. continua può assumere valori

all’interno di un intervallo sull’asse reale (eventualmente non semplicemente connesso) mentre una variabile

discreta assumerà valori all’interno di un insieme di punti sull’asse reale (eventualmente, un’infinità di punti,

ma distinti uno dall’altro, o, come appena richiamato, costituenti un insieme numerabile). i / N

Ripetendo considerazioni analoghe a quelle già fatte per le variabili continue, troveremo che la funzione

 

x x x

 

associata alla sequenza ordinata dei valori campionari osservati continua a mantenere la sua

i 1 i i 1

all’aumentare di

forma a scaletta, N; questo è dovuto al fatto che, se da una parte diminuisce lo step 1/N,

n (N )

dall’altra aumenta con N il numero di osservazioni di un particolare valore x. Indicando con il numero

i

di osservazioni dell’i-esimo valore x nel campione di lunghezza N, il corrispondente step passa dal vecchio

i lim

n (

N

)

/ N

i

N

1 / N

valore , destinato a diventare infinitesimo, al nuovo valore , che, individuando il valore-

limite di una frequenza, è interpretabile come una probabilità: la probabilità che X sia uguale a x .

i

La forma finale della funzione, cioè i

  

F

(

x

) lim

P

(

X

x

)

X i i

N

N

continua a mantenere il significato già visto nel caso di variabili continue. Non esisterà invece la funzione

densità di probabilità (a meno che non si usino strane funzioni, come la funzione delta di Dirac), sostituita

dalla funzione Probabilità di massa (pmf), il cui significato, come abbiamo visto, è quello di probabilità di un

particolare valore di X. Formalmente avremo n

(

N

)

   i

p

(

x

) P

(

X

x

) lim

X i i 

N

N

Tra le due funzioni sussistono le seguenti relazioni, che le rendono ricavabili l’una dall’altra.

i

F

(

x

) p (

x )

X i X j

j 1

1

0

Esercizio: F (x ) f (x ) . Nell’ipotesi che risulti ,

siano note le funzioni di probabilità di una variabile idrologica, ed

X X

  

a c b d

e , esprimere la probabilità dei seguenti eventi:

 

A ( X ( a , b ))

 

B ( X ( c , d ))

 

C A B

 

D A B

E A / B

F B / A b

   

P ( A

) F (

b ) F ( a ) f ( x ) dx

X X X

a

d

   

P ( B ) F ( d ) F ( c ) f ( x ) dx

X X X

c

 

P (

C ) F ( d ) F ( a )

X X

 

P ( D ) F (

b ) F ( c )

X X

F (

b ) F ( c )

 X X

P ( E ) 

F ( d ) F ( c )

X X

F (

b ) F ( c )

 X X

P ( F ) 

F (

b ) F ( a )

X X

Momenti e valori attesi di una V.A.:

Consideriamo un campione lungo N di una V.A. discreta. Andiamo a calcolarne la media:

1 N

 

m x

X t

N 

t 1

del risultato che otterremo possiamo dire alcune cose; in particolare, che il suo valore non è sempre lo stesso,

E’

ma dipende dal campione utilizzato. Si tratta quindi di un numero affetto da variabilità campionaria.

evidente che, se disponessimo di un campione di lunghezza infinita il calcolo della media darebbe un valore

preciso, che potremmo assumere come media della popolazione delle X. Il campione di lunghezza infinita non

è disponibile (anche se i calcolatori sono in grado di produrne di lunghezza anche molto elevata). In compenso

potremo svolgere le seguenti considerazioni.

Se invece di eseguire la somma precedentemente indicata, prendessimo in esame i possibili valori della

  n (N )

x x x

 

variabile aleatoria, organizzati nella sequenza crescente , e indicassimo con il numero di

i

i 1 i i 1

x all’interno del campione disponibile, potremmo riscrivere l’operazione di media

osservazioni del valore i

come: 1

M

 

m x

n

(

N

)

X i i

N

i 1

dove abbiamo indicato con M il numero dei possibili valori di X. Si noti che devono essere presi in

considerazione tutti i possibili valori di X, nella sommatoria, anche quelli che non compaiono nel campione

1

1

lungo N; semplicemente, sarà nulla la loro frequenza assoluta n (N). Riscriviamo ora la sommatoria e vediamo

i

che essa, a differenza della media introdotta per prima, assume una forma ben precisa al tendere di N a infinito.

Risulta infatti:  n

(

N

)

1

N M M

  

  

i

lim

x

lim

x x

p

(

x

)

X t i i

X

i

 

N N

  

N N

t

1 i

1 i

1

Nell’espressione precedente abbiamo fatto uso di una delle possibili definizioni di probabilità, intesa come

con cui un evento si manifesta. E’ importante notare

limite per N tendente a infinito della frequenza relativa

come un’ operazione di sommatoria su un numero di valori sostituisca un’operazione, chiaramente

M

impossibile, da svolgere su un campione di lunghezza infinita. Traduciamo il risultato acquisito dicendo che

la conoscenza della funzione probabilità di massa, nel caso di una variabile aleatoria discreta, consente il

calcolo a priori del valor medio di un campione costituito da un numero molto elevato di osservazioni (in

teoria: da un numero infinito). Usando una terminologia molto diffusa parleremo del valore medio come di un

valore atteso, Expected value in inglese, e useremo il simbolo E(X) per indicare la media .

X

E’ immediato notare che agli stessi risultati saremmo arrivati se avessimo voluto esprimere la media di una

funzione della variabile aleatoria X. Usando il formalismo precedentemente introdotto potremo scrivere:

1

N M

 

 

E

[

g

(

X

)]

lim

g

(

x

) g

(

x

)

p

(

x

)

t i X

i

N

 

N t

1 i

1

Esempio: calcolare la media della variabile aleatoria rappresentata dal numero prodotto dal getto di un dado.

Immaginando il dado senza imperfezioni, e quindi con i valori da 1 a 6 equiprobabili, avremo

 

 

p

(

1

) p

(

2

) ...

p

(

6

) 1

/

6

X X X

da cui 1

6

 

E

(

X

) i 3

.

5

6

i 1

Passiamo ora ad esaminare i Momenti di una VA continua. Una parte dei ragionamenti fatti

precedentemente non potrà essere ripetuta. In particolare, non troveremo nel campione disponibile la

in modo tale da rendere possibile l’attribuzione, a ciascuno dei valori

ripetizione di alcuni valori, almeno

possibili, del numero delle loro osservazioni campionarie. Possiamo però ricondurci a qualcosa di simile ad un

campione di variabile discreta dividendo il campo dei possibili valori della variabile X in M intervalli; il modo

più semplice è quello di dividere in M parti il segmento, compreso tra 0 ed 1, che rappresenta il campo dei

possibili valori della CDF, ed andando a calcolare i corrispondenti valori della X; a due a due questi valori

individueranno gli estremi di M intervalli. Andando a sostituire, nel campione disponibile, tutti i valori

compresi in uno degli M intervalli con il valore centrale dell’intervallo stesso, ci ridurremmo in condizioni

le variabili discrete. Tenendo conto della approssimazione introdotta con l’uso

simili a quelle già studiate per

degli M valori centrali, al posto degli originari valori di X, potremo scrivere:

1

M M

  

 

E

(

X

) lim

x

n

(

N

) x

F

i i i

N

 

N i

1 i

1 F  0

Per ottenere il valore corretto dovremo annullare gli effetti della approssimazione, facendo tendere .

F

In conseguenza di questo passaggio al limite il numero M degli addendi (pari a 1/ ) tenderà ad infinito,

mentre ciascun addendo diventerà infinitesimo. Il risultato sarà:

  

dF

(

x

)

1

  

X

  

E

(

X

)

xdF

(

x

) x dx

xf

(

x

)

dx

X X X

dx

 

0

E’ facile dimostrare che, indicata con g(x) una generica funzione della variabile aleatoria, risulta

1

2 

E

[

g

(

x

)] g

(

x

)

f (

x

)

dx

X

E’ possibile quindi dare la forma corretta ai cosiddetti Momenti rispetto all’origine

 

' r r

E

[

x

] x

f (

x

)

dx

r X

ed ai Momenti rispetto alla media

  

   

' ' r ' r

E

[(

x )

] (

x )

f

(

x

)

dx

r 1 1 X

Tra i momenti di particolare rilevanza troviamo:

  

  

' E

[

x

] xf

(

x

)

dx

la media 1 x X

 

 

 

2 2 2

E

[(

x

)

] (

x

)

f

(

x

)

dx

la varianza 2 x x x X

 x

il coefficiente di variazione CDV = x

(o di asimmetria), γ

il coefficiente di skewness , ottenuto adimensionalizzando il momento di terzo ordine

x  2

media con la deviazione standard σ

rispetto alla =

x x

 

1

  3

 (

x )

f (

x

)

dx

skewness x x X

3

x

E’ possibile riconoscere nella media il baricentro della (x), nella varianza il suo momento d’inerzia

pdf f

x

baricentrico. Il coefficiente di skewness è nullo (come tutti i momenti con r dispari) per distribuzioni

simmetriche; è positivo per le distribuzioni asimmetriche con la coda verso destra (valori positivi della x), e

negativo per distribuzioni con la coda verso sinistra.

Distribuzioni derivate:

L’analisi delle V.A. è finalizzata, come visto, alla determinazione delle loro leggi di distribuzione. In questa

prospettiva è sicuramente utile disporre della procedura che consente di ricavare le leggi di probabilità di una

VA, note quelle di un’altra a cui la prima è legata da un legame di tipo funzionale (deterministico). Sia quindi:

y g (x )

il legame funzionale citato, ed  

F (

x

) P

(

X x

)

X

1

3

la CDF nota per la variabile X. Ricordando la definizione della CDF per la variabile Y, non sarà difficile

ricavare, per ogni valore di y, in quale campo dell’asse reale deve cadere il valore di X perchè si producano per

Y valori minori o uguali della y generica (vedi figura).

Y y

R R R

i i+1 i+2 X

Se noi indichiamo con R il campo dei possibili valori di X che producono valori di Y minori od uguali a y,

y

potremo scrivere:   

F

(

y

) P

(

Y

y

) f (

x

)

dx

Y X

R

y

Le cose si semplificano se y=g(x) è rappresentata da una funzione monotòna (non decrescente o non

crescente). In questo caso il campo R è semplicemente rappresentato da un semiasse reale, limitato

y

superiormente o inferiormente (a seconda che g(x) sia crescente o decrescente). Avremo, nel caso di funzione

l’espressione:

monotona crescente, x

(

y

)

 

F

(

y

) f (

x

)

dx

F

(

x

(

y

))

Y X X

da cui, derivando rispetto a y, otteniamo la pdf

dF

(

y

)

d dx dx

  

Y

f

(

y

) F

(

x

(

y

))

f

(

x

(

y

))

Y X X

dy

dx dy dy

Ragionamenti analoghi fatti nel caso di funzione y=g(x) monotona decrescente portano ai seguenti risultati:

 

F

(

y

) f (

x

)

dx

1

F

(

x

(

y

))

Y X X

x

(

y

)

da cui, derivando rispetto a y, otteniamo la pdf

dF

(

y

) d dx dx

 

 

Y

f

(

y

) F

(

x

(

y

)) f

(

x

(

y

))

Y X X

dy

dx

dy dy

1

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Muaty91

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DETTAGLI
Esame: Idrologia
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile e ambientale
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Muaty91 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Idrologia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Bartolini Paolo.

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