Riassunti idrologia statistica

Riassunto Idrologia Statistica

Rappresentazioni Grafiche

• Diagramma a Linee (v.a. discreta)
• Diagramma a Punti (v.a. continua m_zs)
• Istogrammi (v.a. continua m_zs)
• Poligono di Frequenza
• Diagramma di Frequenza Cumulata: adino dati campione in senso crescente, e ogni osservazione avrà la propria frequenza relativa
• Boxplot

Indici

• di Tendenza Centrale
  • Media:
  • Mediana:
  • Moda
• di Dispersione
  • Deviazione Assoluta Media:
  • Varianza:
  • Coefficiente di Variazione
  • Deviazione Standard:
• Asimmetria
  • Coefficiente di Asimmetria
• Altri
  • Coefficiente di Kurtosis

Momento Statistico di Ordine τ

COVARIANZA

S_xy = ¹⁄_n Σ_i=1ⁿ (x_i - x̄)(y_i - ȳ)

• COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE LINEARE T_xy = ^S_xy⁄_SnSy

L₁ TH: SE elementi _{(xi, yi)} allineati su una retta, allora T_xy = ±1

PROBABILITÀ

→ EVENTO = sottoinsieme risultati dell'ESPERIMENTO es. Diga - altezza raggiunta

• → SPAZIO CAMPIONARIO = insieme di tutti i possibili RISULTATI dell'ESPERIMENTO (insieme degli eventi)

es. Diga Σ = {A₁, A₂, A₃, A₄} quindi Σ = [0, H_max]

DEFINIZIONI

• EVENTO COMPLEMENTARE: A^c = tutti i risultati di Σ non inclusi in A
• EVENTO NULLO: se A_i = Σ, allora A_i^c = ∅
• EVENTO INTERSEZIONE: AB = A ∩ B = evento che contiene elementi comuni ai 2 insiemi A ∗ B
• EVENTO UNIONE: A + B = A ∪ B = evento che contiene risultati sia di A che di B

→ SPAZIO DEGLI EVENTI = insieme che contiene RISULTATI dell’esperimento + tutte le possibili combinazioni ottenibili con UNIONE e INTERSEZIONE es. Diga A = {A₁, A₁+A₂, A₃, A₄, A₂+A₂, A₂+A₃+A₁, A₁+A₃, A₁+A₄, A₂+A₄, A₁+A₃+A₁, A₄+A₁}

PROPRIETÀ:

• 1. ∅ ⊂ A
• 2. se A ⊂ A, allora A^c ⊂ A^c
• 3. se A₁, A₂ ⊂ A, allora A₁+A₂ ⊂ A

METODO MASSIMA VEROSIMIGLIANZA (MV)

ln L(θ) = ln Π_i=1ⁿ f_X(x_i; θ)

ln L(θ) = Σ ln f_X(x_i; θ)

∂ ln L(θ) / ∂θ = 0

Esempio distribuzione esponenziale X^eλ

F_X(x | μ) = 1 - e^-λx

f_X(x | μ) = λe^-λx

ln L(θ) = ln Π_i=1ⁿ λe^-λx_i

∑ ln λ + λ ∑ e^-λx_i = n ln λ - λ Σ x_i

∂ ln L(θ) / ∂λ = 0 → λ = 1 / x̄

N.B. per V.A. discrete uso f_X(x|μ) Σ!

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ DI V.A. DISCRETE

BERNOULLI 2 valori: 0, 1

F_X(x | μ) = P[x = 0] = 1 - P

P[x = 1] = P

Var[X] = E[X²] - E[X]² = P - P² = P(1 - P)

BINOMIALE descrive numero successi (μ) in N esperimenti Bernoulliani

E[X] = Σ_k=0^N k P[x = k] … con (cambio variabile …)

Distribuzione normale troncata

Dopo la troncatura, area deve essere sempre = 1!!

Distribuzione lognormale

Data v.a. X~N(μ, σ_x) con si ha v.a.

4 considerazioni:

1. ho, per l'espressione usata, che
2. non ho più simmetria rispetto a μ_x!!

Distribuzione derivata

Se X è v.a. continua,

Risolvere analiticamente!!

ricavo quantile,

Proprietà degli stimatori

_θ-parametro (non è v.a.)

_θ̂ stimatore = funzione che associa ad ogni possibile campione un valore del parametro da stimare

_θ̂ stima = il valore che lo stimatore assume nello specifico campione estratto

Esempio: stimatore media

_X̄ = 1/N ∑_i=1^N X_i - i.i.d. = H.P. essendo che N-oss. = campione N v.a. i.i.d.

E[_X̄] = E[1/N ∑_i=1^N X_i] = 1/N ∑_i=1^N E[X_i] = Nμμ = μ

Indistorione dello stimatore

Uno stimatore puntuale _θ̂ è stimatore indistorso del parametro della popolazione _θ se E[_θ̂] = _θ

X̄ è uno stimatore indistorso della media μ

Se E[_θ̂] ≠ _θ ?

chiama BIAS = E[_θ̂] - _θ

Esempio: stimatore varianza

Ŝ_N² = 1/(N-1) ∑_i=1^N (X_i - X̄)²

E[Ŝ²] = E[1/(N-1) ∑_i=1^N (X_i - X̄)²] = 1/(N-1) E[(∑_i=1^N ((X_i - μ) + (μ - X̄))²]

E[∑_i=1^N ((X_i - μ) - (μ - X̄))²)]

E[∑_i=1^N (X_i - μ)² - 2∑_i=1^N (X_i - μ)(μ - X̄) + N(μ - X̄)²)]

a: E[∑_i=1^N (X_i - μ)²] i.i.d. = ∑_i=1^N E[(X_i - μ)²] = ∑_i=1^N σ_ε² = Nσ_ε²

b: -2 E[∑_i=1^N (X_i - μ)(μ - X̄)] = -2 E[∑_i=1^N (X_i - μ)(∑_i=1^N (X_i - μ)/N)]

= -2 E[∑_i=1^N ∑_j=1^N (X_i - μ)(X_j - μ)]/N =

= -2 E[∑_i=1^N (X_i - μ)(X_i - μ) + ... c.s.t ...

= N = i.i.d. la covarianza è nulla ∑_i≠j (X_i - μ)(X_j - μ) = 0 poiché i≠j

= -2/N E[Nσ_ε²] = -2σ_ε²

E[∑_i=1^N (μ - X̄)²] = Nσ_ε²