Idraulica (formule)

Idraulica (Formule)

Densità: β = ^m/_V

Peso specifico: γ = ^p/_V

Pressione: p = ^ds/_dA

Spesso: f = ^dS/_dA

Spinta: infinitesima: dS = ∮_A Φ dA finita: S = ∫_A ∮_A Φ dA

E.g. di stato: (liquidi): β = cost (gas): ^P/_β = R T

E.g. indenticità dell’isostatica: f = ∫ grad^p

In campo gravitazionale: F = -g grad z ⇒ z = quota geodetica

Se il fluido è incomprimibile grad x + f grad φ = 0

Legge di Stevino: z + f = cost

Piano dei carichi isostatici (contenitore chiuso)

(relativo): sup. orizzontale in cui la pressione equivale a quella atmosferica. La sua quota geodetica e:

(assoluto): sup. orizzontale in cui la pressione è nulla. La sua quota geodetica e:

Se si collega un piezometro al contenitore chiuso, il liquido nel piezometro arriva fino all’altezza del p.c.i. relativo, in quanto sulla superficie libera vi è la pressione atmosferica.

In un contenitore aperto i due p.c.i. coincidono.

Pressione relativa: p = p^** - p^atm

P. relative: γ (z_A - z_A)

P. assoluto: γ (z₀ - z_A) + γ h_a

In un contenitore con più liquidi essi si dispongono a strati orizzontali di peso specifico crescente.

Idraulica (Formule)

Densità: ρ = m/V

Peso specifico: γ = ρ∙g = d

Pressione: P = dS/ dA

Sforzo: F = dS/dA

Spinta: infinitesima: dS = Φ dA finita: S = ∫_A Φ dA

Eq di stato: (liquidi): β = cost (gas): p/δ = RT

Eq indefinita dell'idrostatica

ρ F = grad

∫∫ρ F = foza di massa∫∫ grad p: foze di superficie

In campo gravitazionale: F = − grad z

Se il fluido è incomprimibile grad x + f + grad ρ = 0

Legge di Stevino: z + f = cost

"In tutti i punti di un fluido incomprimibile in quiete la quota piezometrica è costante".

Piano dei carichi idrostatici (contenitore chiuso)

(relativo): sup. orizzontale in cui la pressione equivale a quella atmosferica. La sua quota geodetica è: z_A = z_A + p_A /γ

(assoluto): sup. orizzontale in cui la pressione è nulla. La sua quota geodetica è: z₀ = z_A + p_A /γ

Se si collega un piezometro al contenitore chiuso, il liquido nel piezometro arriva fino all'altezza del p.c.i. relativo, in quanto sulla superficie libera vi è la pressione atmosferica.

In un contenitore aperto i due p.c.i. coincidono.

Pressione relativa: p = p^* — p_atm

P relativo: p_A = γ(z₀ — z_A)

P assoluto: p^* = γ(z₀ — z_A) = γ(d_m)

In un contenitore con più liquidi essi si dispongono a strati orizzontali di peso specifico crescente.

• γ₁ < γ₂ < γ₃

Manometro semplice

ρ_B = 0p_B = γh Δ = ρ_C = ρ_C = γh Δ = ρ_C = γh

Se c̅ sta ad una p̅R A̅ maggiore di f:

h_u = -Δ

Manometro differenziale

ρ_P = ρ₀ = (ρ₀ - Δ)P_A = ρ_P P₀ = ρ (ρ - Δ) = γ Δ

Spinta

S

S_n = χh

La spinta viene applicata nel punto e dato centro di spinta

Se abbiamo una superficie avere, considerando un volume di controllo W

La vetta di applicazione è inclinata di β c;ce…

Corpo immerso

In questo caso S = Ti quindi S = Г ο nο.to.rice-veràun'altra spinta verticale verso l'estorica f.ari il pe³o di un volumen ú. plasmico egguale a quello del puma.

1. S upúVr
2. p Sρ ¹v

3. ρ Χv_yxv_yym

Approccio euleriano

studia il moto di tutto il fluido nelle componenti del movimento. Lagrangiano studia il moto prendendo in esame ogni singola particella.

Regola di derivazione euleriana

A = ∂v/∂t + (u ∂v/∂x + v ∂v/∂y + w ∂v/∂z)

derivata locale derivata convettiva

accelerazione

Equazione di Eulero

3 famiglie di linee:

• traiettoria: è la posizione assunta nel tempo da singola particella
• linea di corrente: individuano le velocità istantanee nei differenti punti del campo di moto
• linea di fumo: unisce le posizioni occupate da particelle di fluido precedentemente passate per un prefissato punto del campo di moto

tubo di flusso

superficie che delimita la superficie tubolare formata dalle linee di corrente.

Portata:

Q = ∫v dA = vS A

Q = m H / ρ vp

(H: quantità di moto)

Equazione globale di continuità:

In un fluido incomprimibile per una qualsiasi superficie chiusa, la portata entrante è uguale a quella uscente. Qe = Qa

Equazione globale dell'equilibrio dinamico:

G + Π + M1 - M2 + I = 0

• G = forza di massa: ρfdx dy dz
• Π = spinte esercitate dell'esterno sulla superficie di contorno
• M1: quantità di moto della massa entrante in W
• M2: quantità di moto della massa uscente da W
• I: risultante delle forze locali

Quando la traiettoria è rettilinea la quota piezometrica (z + p/γ) è costante lungo n e la binormale, ovvero lungo n e b, e la pressione risulta distribuita secondo la legge idrostatica. Invece in una condotta curva, se si considera una sezione trasversale, nel punto appartente alla parte convessa con il momento segna una quota piezometrica maggiore rispetto a quelle sulla parte convessa ed i diagrammi delle pressioni è parabolico.

Quota geodetica:

z

Altezza piezometrica:

p/γ

Quota piezometrica: z + p/γ

Altezza cinetica:

v²/2g

Carico totale:

H = z + p/γ + v²/2g

Teorema di Bernoulli:

nel moto permanente di un fluido perfetto incomprimibile il carico totale si mantiene costante lungo ogni traiettoria.

Formula di Torricelli (velocità di efflusso):

ve = √2gh

Tubo di Pitot

A = area contratta

A₀ = area libera

vA = √2gΔ

Δp = p₀ - p

Venturimetro

Q = _{A1 A2}/^{√(A₁2 - A₂2)} √2gΔ(λ_m - λ)

Fluidi reali

La differenza dai fluidi perfetti, nei fluidi reali: la linea dei carichi totali non si mantiene costante ma si abbassa nella direzione del moto. Anche la linea piezometrica si abbassa nel senso del moto.

Gradiente (J)

abbassamento della L.C.T.:

J = -ΔH_f per unità di percorso

Quindi d'istabilità Y tra L.C.T. e L.P. risulta

Y = V²/2g Y - JL

La velocità di un fluido reale:

V = √2g(Y - JL)

Tale velocità si rapporta a quella dei fluidi perfetti e diminuisce all'aumentare delle dissipazioni dette "perdita di carico".

Potenza

energia che la corrente fa passare attraverso una sezione nell'unità di tempo:

dP = dQ·H

Da cui:

P = ∫[H·dQ = ∮H·A

Esendo, per il teorema di Bernoulli, H e da costanti

P = cost

per un fluido perfetto ed incomprimibile.

Macchine motrici (turbine) - Ricevono energia dalla corrente

Macchine operative (pompe) - Cedono energia alla corrente

Per I fluidi reali il teorema di Bernoulli si può scrivere:

H = z + p/_ + α V²/2g = cost

Perdita di carico:

continua = fenomeni dissipativi in una condotta

localizzata: fenomeni dissipativi in un punto

H(s) = H₀ - ∫^s_s0(∫(s)ds - ΣP_i)

Turbina (macchina motrice)

acquista energia dalla corrente (abbassamento L.E.T.)

Salto disponibile: \(Y = H_A - H_B\) (differenza di en. potenziale)

Per far funzionare bene l'impianto si cerca di diminuire al minimo le perdite localizzate:

\(H_t < H_A\) (tanto minore quanto maggiore "la cadente")

Se l'esercizio totale della sezione an.celle è:

\(H_V = H_B + \frac{V^2}{2g} + \Sigma I_H\)

La macchina funziona effettivamente come turbina se \( \Delta H = H_h - H_V > 0 \) e si deve fare in modo che \( \Delta H \) differisca meno possibile da \( Y \)

Salto utile: \( \Delta H = H_h - H_V\) (differenza di en. meccanica prima e dopo la turbina) quindi si dà l'energia ceduta alla macchina per unità di peso.

Moltiplicando per la portata in peso (g/s) si ha energia ceduta dalla corrente (potenza):

\(P_e = \gamma QAH\)

Questa va sempre inferiore alla potenza disponibile, la potenza effettiva utilizza il rendimento \(\eta\):

\(P_e = \eta \gamma QAH\) [W]

Pompa (macchina operatrice)

cede energia alla corrente (innalzamento L.E.T.)

\(H_V = H_B + \frac{V^2}{2g} + \Sigma I_2^2\)

\(H_h = H_A - J_{l_1}\)

Prevalenza totale: \( \Delta H = H_V - H_h \) (energia per unità di peso ceduta dalla pompa al fluido)

Moltiplicando per la portata in peso si ha la potenza:

\(P_e = \gamma QAH\)

La potenza, per superare alle inevitabili perdite deve essere maggiore di quest'ultimo valore, quindi:

la potenza effettiva è:

\(P_e = \frac{\eta \theta \Delta H}{\eta} \gamma\)

Prevalenza: dislivello fra le quote piezometriche dei 2 serbatoi manometrica

Prevalenza geodetica:

Dislivello \(Y = H_B - H_A\)

Moto uniforme: quel moto il cui vettore velocità si mantiene costante lungo ogni tracciato.

Moto laminare

Moto regolare con velocità puntuale pari a: u = δJ/(4μ) (D²/4 - z²)La velocità è nulla al contorno della condotta perché z = ± D/2ed è massima lungo l’asse. Integrando u su tutta l’area della sezionesi ottiene la portata Q = Ω: Ω = ∫u 2πz dz =Q = (πJD⁴)/(2μ 64)² (per z=0)

Diametro idraulico [Da] :

Raggio idraulico: R = A/P {P: perimetro bagnato}

per sezioni cilindriche R = D/4 {Non è influenzato dalla scabrezza delle pareti}

Moto turbolento:

Moto caratterizzato da due componenti: una di agitazione ed una di trasporto. Velocità media componente di trasporto: = t/T ∫₀^T v dtVelocità media totale: = a + v_a = componente di trasporto = componente di agitazioneLa componente di agitazione ha valori sempre variabili nel tempo e non da contributoal trasporto di massaFormula di Darcy:J = λV²/2gD

Numero di Reynolds (indice di turbolenza):

Re = (ρVD/μ) = VD/γρ = densità μ = viscosità{γ = acqua = 10^-6 m³}Valore critico di Reynolds | Re = 2000

• Se Re<Re_c siamo nel moto laminare
• Se Re > Re_c si ha prima condizione di tubi lisci

Nel moto di transizione (tra 1 e 2):1/√J = -2 log (ε/3.7D ) + C / (Re D)^(1/4) (formula di Blasius):Formula di Darcy:J = V²/D (a + b/D)(a,b)= coefficienti che variano nel tempo conusura dei tubi nei tubi vecchi:a_TV = 2ab_TV = 2b

Formula di Chezy:

J = ^V2/_C²R

C = ^√g/_λ

Formula di Bazin:

C = ⁸⁷/_{1 + ^m/√R}

f: indice di scabrezza

Formula di Kutter:

C = ¹⁰⁰/_{1 + ^m/VD + ¹/√R}

m: indice di scabrezza

Formula di Strickler:

C = K R^1/6

J = ^V2/_K²R^4/3

Formule di Contesini:

J = 0,0012 ^Q2/_D^5,26

• per tubi in acciaio nuovi
• J = 0,002 ^Q2/_D^5,54
• per tubi in acciaio vecchi

PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE

Brusco allargamento

ΔH = ^{(V₁ - V₂)2}/_2g

Brusco restringimento o imbocco a spigolo vivo

ΔH = 0,5 ^V2/_2g

Sblocco

ΔH = ^V2/_2g