Idraulica Cinematica dei campi fluidi

Metodi di indagine

Nello studio della meccanica dei fluidi si possono utilizzare due metodi di indagine: quello Lagrangiano e quello Euleriano. Il secondo consiste nell’osservazione puntuale o locale e conduce alla determinazione della distribuzione vettoriale della velocità, istante per istante, nei singoli punti del campo fluido.

Componenti della velocità

In generale la velocità ha tre componenti in quattro variabili ciascuna e sarà:

(, , , ) (, , , ) { = (, , , )

Tipi di moto di un fluido

• Vario: velocità varia nel tempo e nello spazio.
• Permanente: velocità varia solo nello spazio, ma non nel tempo.
• Uniforme: velocità varia nel tempo, ma non nello spazio.

Definizione di grandezze utili

• Linea di corrente: linea tangente, istante per istante, in ogni punto al vettore velocità.
• Traiettoria: linea che collega tutti i punti delle varie posizioni.
• Filetto di fumo: linea che collega le posizioni di tutte le particelle che in un determinato intervallo sono passate attraverso una determinata posizione.

Osserviamo che in un moto permanente queste tre linee coincidono.

Tubo di flusso

Se consideriamo una superficie e le infinite linee di corrente che si appoggiano ad essa, ricaviamo un involucro ideale che ha la caratteristica di non essere attraversato dal fluido in movimento, viene definito tubo di flusso.

Definizione di portata

Definiamo una nuova grandezza, la portata, che rappresenta la quantità di fluido che attraversa una determinata superficie. Da contributo solamente la componente normale alla superficie della velocità: ∫ = · = ·

Equazione di continuità

Considerando la velocità formata dalle componenti prima esposte, si può ricavare la seguente relazione:

= { → = = = =

Volumetto elementare di fluido

Consideriamo ora un volumetto elementare di fluido di lati , , e vediamo ad esempio la portata in entrata e in uscita relativa ai piani , :

= = ( + ) 1 2

Considerando ora la massa di fluido che attraversa il tubo in un intervallo, potremmo scrivere:

= = ( + ) 1 2 () − = − ( + ) = −1 2

E analogamente si potrà scrivere per le altre due direzioni, ma per il principio di conservazione della massa questa differenza di massa entrante e uscente dovrà sempre essere uguale alla massa inizialmente contenuta nel volumetto di fluido quindi:

()− () ()− = ()}−

Da cui si ricava la cosiddetta equazione di continuità del campo fluido che vale:

() () () ( )+ + + = 0 + = 0

Tubo di flusso e moto permanente

Prendiamo in esame un tubo di flusso e ipotizziamo un moto che avviene solo lungo la direzione e andiamo a scriverne l’equazione di continuità, sempre considerandone la massa entrante e la massa uscente senza dimenticare la conservazione della massa inizialmente presente nel tubo di flusso:

()] () () () − [ + = + = 0

Se il moto è permanente, le sezioni di un tubo di flusso e la densità sono invariabili nel tempo e pertanto si ottiene che la portata non varia lungo un tubo di flusso in regime di moto permanente.

= = … = = 1 1

Suddividendo quindi il tubo di flusso in infinitesimi tubi di flusso con portata per unità di lunghezza pari a ∆ si potrà scrivere la relazione.

∆ = ∆ = … = ∆ = 1 1

E si ricava subito che per una sezione più ristretta del tubo si ha un aumento della velocità e viceversa.

Accelerazione

Prendendo una terna cartesiana di riferimento possiamo calcolare l’accelerazione del fluido derivando la velocità, che sarà descritta da tre componenti dipendenti da quattro variabili, in funzione del tempo:

(, , , ) = = = ( + + + ) = ( + + + )

E analogamente per le altre due componenti, notiamo in verde la cosiddetta accelerazione locale o temporale, e in rosso accelerazione spaziale o convettiva.

Osserviamo che la scrittura precedente è valida dal momento che la terna cartesiana è fissa nello spazio e quindi (, ).

Le derivate parziali dei versori direzione sono nulle , () () (),

Terna intrinseca

Introduciamo ora la terna intrinseca formata dalla tangente, dalla normale e dalla binormale e andiamo a scrivere lo sviluppo dell’accelerazione in questo nuovo sistema di riferimento:

= = ( + + + ) = ( + )

Ecco l’accelerazione lungo la tangente, che ha naturalmente componenti di velocità lungo la normale e la binormale nulli. Andiamo ad esaminare il comportamento dell’accelerazione convettiva, ipotizzando un moto piano:

2( )· 2 = + = · + · 1/

Poiché la meccanica ci dice che la derivata di un versore è un vettore ortogonale allo stesso di modulo. Quindi, proiettando l’accelerazione nelle varie componenti, si ottiene la seguente semplificazione:

= + 2 = + = {

Da notare che se = 0 il moto è uniforme, se = = 0 il moto è rettilineo e se = = = 0 il moto è rettilineo uniforme.

Movimenti fluido

Esaminiamo ora i possibili movimenti di un parallelepipedo elementare di fluido, considerandone per semplicità solo la faccia le cui componenti di velocità sono: (, ):

• : ( + , + )
• : ( + + , + + )
• : ( + , + )

Esaminiamo ora il significato dei vari termini di derivate parziali.

Traslazione

Il contributo alla traslazione è dovuto a e in quanto tutti i punti della faccia si muoveranno di una stessa quantità, precisamente sull’asse di e sull’asse di .

Deformazione lineare

Le componenti e provocano una dilatazione o contrazione dei lati del rettangolo di fluido rispettivamente di , .

Deformazione angolare

È l’effetto provocato dalle variazioni e che danno luogo a modificazioni angolari, producendo angoli di ampiezza, tenendo conto della convenzione del segno di spaziatura dell’angolo:

= = −

La deformazione angolare del rettangolo è data dalla quantità − e la velocità di deformazione vale quindi: − 2 = = +

Rotazione

Se le variazioni delle componenti precedenti hanno verso discorde si parla di velocità di rotazione della bisettrice che assume il valore di:

+ 1 2 = = ( − ) 2 2

Tornando al solido si possono scrivere le varie componenti della velocità di rotazione e di deformazione angolare:

• 1 2 = + 2 = ( − ) 2
• 1 2 = + 2 = ( − ) 2