Idraulica Cinematica dei campi fluidi

DEFORMAZIONE ANGOLARE

È l’effetto provocato dalle variazioni e che danno luogo a modificazioni

angolari, producendo angoli di ampiezza, tenendo conto della convenzione del

segno di spaziatura dell’angolo:

= = −

La deformazione angolare del rettangolo è data dalla quantità − e la velocità di deformazione vale quindi:

−

2 = = +

ROTAZIONE

Se le variazioni delle componenti precedenti hanno verso discorde si parla

di velocità di rotazione della bisettrice che assume il valore di:

+ 1

2 = = ( − )

2 2

Tornando al solido si possono scrivere le varie componenti della velocità di rotazione e di deformazione angolare

1

2 = + 2 = ( − )

2

1

2 = + 2 = ( − )

2

1

2 = + 2 = ( − )

{ { 2

Notiamo ora che le componenti della rotazione altro non sono che il rotore del vettore velocità e ciò ci permette

di dividere l’insieme dei fluidi in due grandi insiemi: fluidi IRROTAZIONALI e fluidi ROTAZIONALI:

= 0

( ) {

⃗ = ≠ 0

Andiamo a riscrivere l’espressione dell’accelerazione in forma leggermente diversa, aggiungendo e sottraendo i

1 1

2 2

( ) ( )

termini = e

2 2

1 1 1

2 2 2

( ) ( ) ( )

= + + + = + + + + − + −

2 2 2

1 1

2 2 2 2 2 2

( ) ( )

= + + + − ( − ) + ( − )= + + + − 2 + 2

2 2

Abbiamo così evidenziato la presenza del rotore sulle varie componenti dell’accelerazione, così da poter

semplificare in caso di moti irrotazionali tutte le componenti che saranno: ⃗⃗⃗⃗

2

1

= +

2

⃗⃗⃗⃗

2

1

= +

2

⃗⃗⃗⃗

2

1

= +

{ 2

CIRCOLAZIONE E ROTAZIONE

Riprendendo dall’analisi i concetti di integrali di linea definiamolo come:

′ ⃗ ⃗

∫ ∮

∙ Γ = ∙

Dove l’integrale lungo una linea chiusa prende il nome di CIRCOLAZIONE o

CIRCUITAZIONE.

Dal famoso teorema di Stokes che permette di calcolare la circuitazione lungo una linea chiusa attraverso un

integrale di superficie che rappresenta il flusso del rotore attraverso la superficie stessa, se il campo fluido è

quindi semplicemente connesso si può scrivere: ⃗

∮

Γ = ( ) ∙

Che sotto l’ipotesi di fluido irrotazionale permette di ricavare Γ = 0

Per rappresentare un moto circolare del campo fluido si usa per convenzione

rappresentare nella parte più interna un moto rotazionale quale = , che

nel caso di → 0 è fisicamente accettabile, mentre per il moto a distanza dal

centro si ipotizza un moto irrotazionale del tipo = , che per distanze

⁄

molto grandi → ∞ è fisicamente possibile.

La circonferenza di separazione tra i due moti è facilmente calcolabile

imponendo che le due velocità in quel punto siano uguali:

=√

=

Dimostriamo ad esempio che il fluido in moto nella parte esterna è

irrotazionale, prendiamo la linea chiusa e andiamo a calcolarne la circuitazione:

Γ= − = 0

2 1

2 1

Analogamente si trova che un fluido in movimento verso il centro, con moto quindi = non ha mai

circuitazione nulla. TEORIA DEI VORTICI

Cominciamo col dare alcune definizioni sull’argomento:

LINEA VORTICALE: linea tale che la sua direzione in ogni punto sia quella dell’istantaneo asse di rotazione per quel

punto, essa è rappresentata dalla relazione e vale la continuità:

= =

⃗ = 0 à

Una linea vorticale non può avere né inizio né fine se non in corrispondenza di una superficie di separazione con

un altro mezzo.

FILAMENTO VORTICOSO: filamento formato da tutte le linee vorticali che si appoggiano ad una linea chiusa che

racchiude un’area . Come per il tubo di flusso si definiva la grandezza caratteristica portata qui si definisce:

⃗

∫

Γ = ∙

Filamenti vorticosi isolati inducono un moto irrotazionale nel restante campo fluido e

i campi di moto dei diversi filamenti si influenzano vicendevolmente come ad esempio

il caso di due vortici aventi verso di rotazione discorde come in figura. Il risultato

dell’interazione reciproca sarà una traslazione verso il basso.

SCHIERE DI VORTICI: possono realizzarsi in un fluido irrotazionale in corrispondenza di una discontinuità della

velocità, come accade quando si incontrano velocità di intensità diversa a valle di un ostacolo.

Si dimostra che la variazione di velocità è legata alla circolazione di ciascuno dei vortici attraverso la relazione:

⃗

dΓ = ∆V ∙

Questa schiera è tendenzialmente instabile e tende a generare vortici isolati che possono acquistare una

configurazione stabile, è il caso della SCIA VORTICOSA DI VON KARMAN dove i singoli vortici si staccano come in

figura

Nel caso di un corpo cilindrico sono stati calcolati sperimentalmente da B. Steinman le seguenti relazioni>

≅ 1,3 ≅ 0,3 ≅ 4,3 ≅ 0,86

0

Si noti che la schiera di vortici rimane indietro rispetto alla corrente dal momento che < e quindi si può

0

definire la frequenza del distacco: 0,86

0 0

= ≅ = 0,20

4,3

Al rapporto adimensionale si dà il nome di NUMERO DI STROUHAL, che è il parametro fondamentale per i

fenomeni di vibrazione connessi con il moto fluido.

=

0

DINAMICA DEI FLUIDI

Restringiamo la nostra analisi al caso dei fluidi perfetti, cioè in assenza di sforzi viscosi, e andiamo ad analizzare

il prisma elementare di fluido scrivendone il secondo principio della dinamica nella direzione

− ( + ) + cos =

ℎ

− − =

ℎ

− − = ( + + + )

ℎ

+ = −

Analogamente si potranno trovare le altre equazioni di Eulero lungo gli altri assi coordinati.

TEOREMA DI BERNOULLI

Le equazioni di Eulero appena viste possono essere scritte anche rispetto alla terna intrinseca ricavando, e poi

scrivendole sotto l’ipotesi di moto permanente: ℎ

ℎ

+ = − ( )

+ = −

2

ℎ

ℎ

+ = − ( )

+ = −

ℎ ℎ

+ = − + =0

{ {

Andiamo ad analizzare il comportamento del fluido lungo la tangente alla traiettoria:

2 2

ℎ

|

+ + ( )= 0 + ℎ + =

2 2

Meglio conosciuta come TEOREMA DI BERNOULLI e scritta nel seguente modo:

2

|

+ℎ+ =

2

Il teorema qui esposto è una somma di energie e rappresenta quindi

l’ENERGIA MECCANICA SPECIFICA:

energia legata al lavoro delle forze di pressione sul campo fluido

ℎ energia potenziale di un peso unitario rispetto al piano di riferimento

2

′

energia cinetica dell unitàdi peso

2

Dal momento che queste energie sono commisurate ad altezze possiamo

rappresentarle in un grafico, indicando la LINEA DELL’ENERGIA che

congiunge gli estremi di la quale è orizzontale in caso di moto permanente, la LINEA PIEZOMETRICA formata

dalla somma del contributo di pressione e quota, costante in condizioni statiche.

MOTI IRROTAZIONALI DI FLUIDI INCOMPRIMIBILI

Fin qui abbiamo considerato la validità di Bernoulli lungo la traiettoria del fluido perfetto, ma conclusioni

importanti si possono ricavare supponendo il fluido irrotazionale. Come abbiamo già visto le accelerazioni di un

fluido irrotazionale possiamo ricavare le tre equazioni di Eulero: 2

⃗⃗⃗⃗

2

1 ( + ℎ + ) = −

= + 2

2

⃗⃗⃗⃗ 2

2

1 ( + ℎ + ) = −

= + 2

2 2

⃗⃗⃗⃗

2

1 ( + ℎ + ) = −

= + 2

{ {

2

E in caso di moto permanente è immediato verificare che l&