Idraulica: Campi di moto di fluidi reali

NUMERO DI FROUDE

Analizzeremo il fluido reale che in un brevissimo spazio subisce forti accelerazioni pur rimanendo in moto

permanente. Tratteremo il caso di una vena liquida che fuoriesce da un orifizio o uno sfioro, il cui moto è soggetto

principalmente alla forza di gravità e non risente delle forze dissipative, considereremo perciò il fluido come

perfetto e incomprimibile. La traiettoria della vena è influenzata dal

rapporto tra la forza di gravità e la forza di inerzia, in caso di efflusso

in un fluido più pesante si terrà conto della spinta di Archimede e

quindi tra le forze di gravità si deve considerare la differenza di pesi

specifici tra i fludi.

Considerando l’efflusso di acqua in aria possiamo trascurare la

differenza di pesi specifici e possiamo scrivere il rapporto tra le

forze di inerzia e le forze di gravità come: 2 2 2

. .

= = =

3

. . �

Si definisce così un numero adimensionale detto NUMERO DI FROUDE.

Vediamo come si comporta questo parametro nel caso del prototipo e del modello:

= = = � = √

� �

E questo ci dimostra che se è rispettata la similitudine di Eulero = � = allora è rispettata anche la

√

∆

similitudine di Freud rispetto alla scala geometrica

EFFLUSSO LIBERO DA LUCI IN PARETE SOTTILE SENZA GRAVITA’

L’efflusso da una luce in parete sottile è caratterizzato da un fenomeno di contrazione della vena per adattare

l’ambiente interno a pressione con l’ambiente esterno a pressione atmosferica. Si arriva alla cosiddetta sezione

di vena contratta dove cessa la curvatura delle linee di corrente e si ha distribuzione idrostatica delle pressioni. Il

rapporto fra la sezione contratta e la sezione del foro di uscita si definisce COEFFICIENTE DI CONTRAZIONE

che è stato dimostrato da Kirchhoff valere, per luce bidimensionale e foro molto piccolo rispetto al recipiente:

= = 0,611 → 0

+ 2

Se invece il rapporto è lontano dallo zero, l’andamento

�

del reticolato di flusso deve adattarsi alla presenza delle

pareti e questo andamento va a modificare il valore del

coefficiente di contrazione.

Vediamo i parametri che influenzano questo coefficiente:

�,

= , �

Una volta noto il coefficiente di contrazione si può passare a ricavare la portata effluente, servendoci del teorema

di Bernoulli e dell’equazione di continuità. Considerando la velocità all’interno del recipiente e la velocità

0

nella sezione di vena contratta potremmo scrivere:

02 2

. + = + . à =

0

2 2

2

2

2∆ 1

�1 �

∆ = − � � = �

2 2

�

�

1 − �

Si potrà quindi scrivere sapendo che ∆ = ∆ℎ

= �2∆ℎ = �2∆ℎ

2

�

�

1 − �

Introducendo il cosiddetto COEFFICIENTE DI PORTATA che dipende esclusivamente dalla configurazione

geometrica del sistema. VELOCITA’ TORRICELLIANA

Consideriamo un recipiente riempito di un liquido fino all’altezza ℎ e provvisto di

0

una luce circolare di sezione sul fondo orizzontale in parete sottile. La luce sia di

piccole dimensioni rispetto alla dimensione del recipiente. Sia sulla superficie libera

− sia in quella − è presenta pressione atmosferica e vale la distribuzione

idrostatica delle pressioni, inoltre la velocità all’interno del serbatoio si può

considerare nulla. Possiamo scrivere Bernoulli per le due sezioni ottenendo:

02 2 2

+ = − ℎ + ℎ = = �2ℎ

1 1 1

2 2 2

Conosciuta come VELOCITA’ TORRICELLIANA, derivante da un carico ℎ nell’efflusso di un fluido perfetto.

LUCE IN PARETE VERTICALE

Consideriamo ora il caso di una vena effluente liberamente da una luce praticata sulla

parete verticale di un recipiente. In caso di foro molto piccolo e velocità di uscita

molto veloce per far sì che la gravità non ne influenzi il moto, allora si potrà scrivere

ancora la relazione: = ≅ 0,61

�2ℎ

Ma nel caso più comune di luci di grandi dimensioni questa relazione è solo

approssimativa, infatti l’ipotesi che i punti della vena siano tutti alla stessa profondità

non è più valida. Consideriamo allora il caso più semplice di una luce rettangolare

verticale larga e suddividiamone l’altezza ℎ − ℎ in tratti elementari di altezza

2 1

ℎ si avrà la portata elementare: ℎ 2

�

= ℎ�2ℎ = ℎ

�2ℎ

ℎ 1

Secondo l’ipotesi di Poleni supponiamo che il coefficiente di

contrazione sia costante per ogni altezza e otteniamo:

2 3 3

� �

2 2

= 2 �ℎ − ℎ �

�

2 1

3

Il valore può assumersi pari a 0,61 per una luce molto

larga in confronto all’altezza.

Se però non si potesse trascurare la velocità all’interno del

0

recipiente allora secondo Bernoulli la relazione appena vista

si dovrebbe riscrivere come:

3 3

� �

02 02

2 2

2

= 2 ��ℎ + � − �ℎ + � �

�

2 1

3 2 2

Nel trovare questa relazione abbiamo però commesso almeno due errori abbastanza importanti che però si

compensano tra loro e sono:

- Le luci elementari sono attraversate da fluido con contorni curvilinei e non avrei potuto applicare la

velocità torricelliana poiché non c’è distribuzione idrostatica delle pressioni

- Assumendo ≅ 0,61 si è sottostimata la sezione di efflusso

Notiamo inoltre come sulla figura in prossimità della parete il pelo libero dell’acqua si innalzi leggermente di una

qu