Idraulica applicata

IDROSTATICA

Riferimenti di analisi

• scalare (numero)
• campo vettoriale (modulo, direzione, verso)

Versore normale: n_i⁺ (positivo entrante)

Prodotto scalare: b_xn_x + b_yn_y + b_zn_z (proiezione di b lungo n)

Operatore nabla ∇

• scalare: divergenza di scalare ∇α = ∂α/∂x + ∂α/∂y + ∂α/∂z
• vettoriale: divergenza di vettore ∇b = ∂b_x/∂x + ∂b_y/∂y + ∂b_z/∂z
• vettoriale: gradiente di scalare ∇α = ∂α/∂x i + ∂α/∂y j + ∂α/∂z k

Proprietà fluidi

4 approcci del continuo

Equilibrio: ΣF_u + ΣF_s = 0flussi di massa su superficie

Sforzo unitario: Φ_n = lim (Δf/ΔA) [N/m²]

Sintesi elementare: i⃗ = ∫ Φ_t dAagente su interna superficie di separazione

Densità: peso specifico (ρ = r)[massa per unità di volume] → [peso nel vuoto: unità di volume]

Eq. di stato fluido: ρ - P (P, θ)

se P ↓ θ ↑ (innumere l’acqua) tra 0°, 4° c ρ ↑ θ ↓

Comprimibilità

ε: indice di modificare il volume ad un variare di p

Liquido:

• dW = -W dp/ε

cus masso

pW = uscio = costantepdW + dpW = 0

dW = - dp/p

dp/p ε_c

modulo di elasticità/compressione cubica

Eq. di stato liquido:

ρ = ρ_oe^(p-p⁰)

Gas

pWⁿ = costante

dpWⁿ + p n W^n-1 dW = 0

dw = - dΦ_e W

(se Φ_e non influisce su W)

Viscosità

(intersuono + attriti, coesione) legame tra sforzi tangenziali e velocita di deformazione

Legame tra sforzi tangenziali e deformazioni angolari

tan α = tg βz

δo’ - δΨ tg ½

δo’ - δΨ tg ½ δt = δy δΨ δt

dvx/dt = - δy dΨ

Tipi di fluidi

• newtoniani -> Legge di Newton
• alto Bingham -> sforzo soglia
• pseudoplastici
• dilatanti

Teorema _tensore di Cauchy

Lo sforzo agente in un punto su un elemento di generico giacenza è una funzione lineare e omogenea degli sforzi agenti su 3 superfici giacenti ortogonali fra loro.

Φ = |Φxx Φxy Φxz|

       |Φyx Φyy Φyz| n tensore degli sforzi

       |Φzx Φzy Φzz|

(se ambiente è equilibrio alle rotazione è simmetrico)

Φxx, Φyy, Φηη = sforzi normali

Se il fluido è in equilibrio no sforzi tangenziali

dx = Gx δx + δΓ + δh0 = P (def di pressione)

isotropia, coincidente di p alla isotazione

Eq. indefinita di equilibrio statico

Hp: fluido fluido

dinamica locale (ordini infinitesimi)

sforzi di mossa = ρ(dv hod) F

sforzi di superfici (equilibrio)

p dχ dy = - (ρωϑ dy dz) dx

ρF = grad P

Tubo di flusso = regione di spazio identificata da un fascio di linee di flusso

no componente normale al contorno → esse giacenti curva

v_n = 0

Corrente fluida = campo di moto definito da linee d'azione parallele (superficie imposta, tubo)

• AB → sezione trasversale (t-q)
• v normale

Teorema del trasporto di Reynolds

Calcolo dei volumi di controllo (w)

• a-b → s
• b → volume fluido in w

B proprietà estensive

b proprietà intensiva

massa fluido in w

dB_w/dt = d>

∫_s pb v · n dS

∫_s pb v · n dS = quantità estensiva

Leggi di conservazione

massa

quantità di moto energia

Equazione di continuità / di conservazione della massa

Forma globale

• importo volume di controllo di dimensione finita
• importante per il teorema del trasporto di Reynolds = B = u
• per unità di massa

∂b_w/dt + ∂∫_w pb v · n ∂t conservazione

dV_w

u = costante

∂∫_u^w dV = ∂∫_w ∂u/dt + ∂→ termine di accumulo_w sottovariabile nel tempo

∂∫_w = chiusura

∂dV = massa contenuta in w

∂b_w/dt = massa conservata in w

Hp: p costante → fluido incomprimibile → termine di accumulo = 0

(volume in: neutro e di moto pulsante)

• ∫_t p v · n dS = 0
• ∫_tin p v · n dS = ∂∂ −

• Q_sc massima quantità
• Q_s minima massa uscente
• Q_s quantità massima
• Q_s minima massa uscente

• Q_sc = Q_usc = 0 → Q_me = Q_mu
• ∂→ supposto positivo

Scansionato con CamScanner

Q: Al numero c:

A_c = cV₀

• coefficiente continuo delle velocità
• tp di fluido vacente quasi ometto

A_c: (contrazione verso boccame)

A_c < A₀ o T² < T₀₂

A_c = coefficiente di cavanaque (dipende da geometria del foro)

lavoro a sviluppo vuoto (efficiente se a boccame curvature)

Q_c = C_V V₀ = C₀ A₂ = A₀ V₂ = 1/2gH ^VE₂ "pressione di efflusso sul fondo del serbatoio

deflusso di efflusso existing ad apertura (adiaba)ogica)

EFFLUSSO SOTTO PARATIA

V _2g

A + sezione carotica (1^o seconda dopo to paratola con riduzione vertical iche)

R = costante = nuovo premiamuove

tip teore Bernoulli accenturto

V = fassambile

R₀ = a + V_f²g = a (avscience vantiare delta serie caranvate)

∑ enough + p - zf ) = 0 no avvenara

t = lz - costorrina t = a pπ

V_c = a C_p C₂ = M_c

coefficiente di caranrahe

V_c = 2g (B^c - c_pq)

Q_c Vegetoria = A_c.

V_c = &Decor or ^2_g ( L-c_pq )re(new_q,pg)

da μ A 2g (L - c_pq )

proprieta = μ = 96 (pressione a sviluppo vuoto)

(numericio) del sinura

coefficiente decontium delle velocita

( = 0.93)

• lungo cusium nataroria (liben to convente) posso giáplicare il tenprio dc Bernoulli,
• uso maxiva a proiriotio e tenoraite al casom detto conven

POTENZA DI UNA CORRENTE FLUQUEA

energia lavorato di (* °*)

t ₃. * Ámü&b;

y: 2H CA-QH² inducut) = prupra de hvutta annerso di

dA - A integragione t uovo MCBneure

rt sma - V₁ da

t funssizato + _DA =   *vôt t soïne nursavale)

r o overlap

da t = _pπ =

option to comsive reste vuma'limodez²Ω

- ∫ &fn; ( * = well of enerclemens ubove or):da

- 2_o1ⁿ

[∫ (1 + E) V³ co +ú] V³ 2&sup>μ :da

!