Esercizi di idraulica applicata

SOLUZIONE

La spinta II esercitata dal fluido a sinistra della paratoia e il suo braccio rispetto alla retta di sponda sono: 11 + hh( aa) =y-=Ap =B ·y_,_____,__ 2hII -a(0, )b- 2 211b1 11 yayh1 [pxdAII = = yx dA = y x dx= h - h·s - = 3h + -3h[JJ J ]b b32 22 2)33 3b ]( a a a1 1 1 1 1 1h1-ayaA A[ +3h: -3h -3h+2 3h 3h -]b 23 )+--= = _- _h=22 (s l(a a- 1 aa a2h 2ha3 3- -11 12h aY _ )(1 1à a a11a1 Il modulo della spinta II esercitata dal fluido a destra della parete e il suo braccio ; * rispetto alla relativaretta di sponda sono: 2 2h -a)+h-r =r=a=Ap 2hII -0, )( 8b(2 222b a22 2 Di conseguenza, il braccio della spinta II2 rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra è è: 23h3h -- 2à)+à )hh h -h-hh )) -- +(( )++ )((*çç =2h 2 a= = a3 3 h-a -a2 aa 2222 2 1 11 2 2 IIII > II Essendo, il modulo della spinta risultante agente sulla paratoia sarà diretta come ,11 2 23 Corso di Idraulica ESERCITAZIONE 2 IDROSTATICA- SPINTE SU SUPERFICICURVEMETODO DELLE COMPONENTI

Nel serbatoio aperto all'atmosfera mostrato in Fig.1a, si consideri il punto generico "x" dell'elemento infinitesimo di superficie di area il cui versore è f, entrante, si mostra nella Fig. 1b. Scelta la terna cartesiana di versori f, J, k siano eOxyz nx, ny, nz gli angoli che il versore f forma con gli assi del sistema di riferimento.

Elemento generico di superficie curva

La spinta elementare che il fluido esercita sull'elemento di superficie è:

dAdIT = pii dA

passano tutte per il punto "x" e hanno moduli:

le cui tre componenti dfi , dfi , dfi 2x y = =dn dIIcos(nx) pdAcos(nx)x = =dIIcos(ny) pdAcos(ny)dTI Y = =dll dIIcos(nz) pdAcos(nz)2

Le componenti della spinta sull'intera superficie si ottengono dall'integrale di queste espressioni:

JJ= ipcos(nx) dAfrx

JJA= pcos(ny) dAfrY

JJA= kpcos(nz) dAfr 2 A

Si notti che il termine rappresenta la proiezione della superficie sul dAcos(nx)

dApiano e il termine rappresenta la proiezione della superficie sulyz dAcos(ny) dApiano xz. Chiamando dA = e = possiamo scrivere:

dAcos(nx) dA dAcos(nx)x y 1JJ dAX[pfIX = JJA Jp dAYfIY = A

Queste espressioni rappresentano un'uguaglianza vettoriale, che imponel'uguaglianza dei vettori in modulo, in verso e in retta d'azione, quindi, il centro dispinta della componente passerà dal centro di spinta C dell'area A , un discorsofix xxanalogo si può fare per la componente Ily.

In base a questi risultati si può affermare che le componenti orizzontali della spintaidrostatica su una superficie di forma qualsiasi sono uguali alla spinta che agirebbesu la proiezione della superficie su un piano verticale ortogonale alla componentestessa.

Nel calcolo della componente è opportuno esprimere il valore della pressione chefizagisce sull'elemento infinitesimo in funzione dell'affondamento come segue,JJ kyhcos(nz) dA=fiz A dAcos(nz)Considerando che

Anche il termine rappresenta la proiezione della superficie elementare sul piano. Risulta che il termine misura il volume del prismetto di base dA e altezza h come mostrato in Fig. 2.

L'integrale, ovvero la componente verticale della spinta idrostatica sull'intera superficie, sarà uguale al peso del volume fluido contenuto fra la superficie premuta, il piano dei carichi idrostatici e un numero infinito di segmenti verticali passanti per il contorno della superficie premuta.

In sintesi, il calcolo della spinta su una superficie di forma qualsiasi mediante il metodo delle componenti è riconducibile al calcolo di due spinte su superfici piane verticali più il calcolo del peso del fluido contenuto nel volume limitato dal piano dei carichi idrostatici, dalla superficie premuta e da un numero infinito di segmenti passanti per il contorno della superficie d'interesse.

Sulla parte B C la componente verticale è pari al peso di volume cilindrico di sezione retta CBB'C'C, e dunque è uguale a: crr� y ( WBCOWBB'C'H += =- WOCH) ]-[-r{ [ R·( ]+[ : JRcosaRsinaL ]}R-Rcosa )L nR'L2-rR'L[1-cosa+ ;-Jcosasina]essa è diretta verso l'alto e la sua linea di azione passa per il baricentro del volume. La componente verticale della spinta è dunque pari a:

Esercizio 3

Sapendo che y = 10300 N/m3 calcolare la componente orizzontale e quella verticale, della spinta che agisce sulla paratoia cilindrica della Figura (e i rispettivi centri di spinta), il cui raggio è pari a 1.96 m e la lunghezza L pari a 3.28 m.

R Is by T] XSOLUZIONE (metodo delle componenti)

La componente orizzontale della spinta Il è data dalla spinta diretta verso destra sulla proiezione della superficie a-b su un piano verticale di modulo:

1.96 mR = 64892.3 N= 1.96 m-3.28 m-10300 N/mIl =Ap = RL-r 32 202distanza della linea

di azione di questa forza rispetto alla retta di sponda è: La componente verticale della spinta Il è pari al peso, cambiato di segno, del volume liquido che sarebbe compresso fra la paratoia a-b, il piano dei carichi 5G+Il=O+fi = o+fiG+fi 210 La spinta richiesta è quella subita dalla paratoia, ovvero la spinta S esercitata dalle particelle che bagnano la superficie curva della paratoia. Dato che le particelle che esercitano la spinta S sono le stesse che esercitano la spinta II sul volume di controllo, si ha: 0 S=fi oS=-G-fi -fi1 2 Il modulo delle forze presenti nell'equazione vettoriale sono: RL è= ·O=Op= AII la pressione atmosferica, quindi nulla nella scala delle pressioni relative){p111 0o 1.96 mR 3 --=64892.3=RL·y-=1.96 m-3.28 m-10300 N/mp=A NII 222 2 20 (1 1 )22 3G=y .n-R n 1.96 m 3.28 m = 101932.6L = 10300 N/m N4 4e G corrispondono alle componenti della spinta calcolate in Si noti che i moduli di II 2precedenza. Il modulo el'inclinazione della risultante sono: I/ 2 G2 a=arctg.,/ +IIS =-)JG 2 II/_,,,,_L___ -II 2/ 2- °57.5N aS-120835.7 =-GSi ricordi che il versore normale di ogni porzione elementare di superficie curvapassa necessariamente dal proprio centro di curvatura. Si noti che in questo caso ilcentro di curvatura è lo stesso per tutta la superficie, quindi la linea di azione dellarisultante passerà dal vertice "o"Esercizio 4 (Tema d'esame A.A. 2008-2009)Noti D , , h , determinare il peso specifico del cono affinché esso rimanga in equilibrio con la base sulla superficie di interfaccia tra il fluido e aria (come in Figura), nei due casi n > e n < 72P v(2) H=Z+-+—2gyLa rappresentazione geometrica di questo enunciato si ottiene come in Fig.1, riportando uno dopo l'altro sulla verticale condotta per ciascun punto della traiettoria i tre segmenti misurati rispettivamente dalla quota geometrica z (ovviamente contata a partire da un

prefissato piano2orizzontale di riferimento), dell'altezza piezometrica p/y e dell'altezza cinetica V /2g.

linea dei carichi totali::L�=_ -------------piezometrica1 zZ=O Fig.1

Le caratteristiche del moto lungo la traiettoria riesce così rappresentato da tre linee:

• la traiettoria medesima, luogo dei punti di quota z ;
• la linea piezometrica, luogo dei punti di quota (z+p/y);
• la linea dei carichi totali, luogo dei punti di quota H.

Per la (1 ), la linea dei carichi totali è sempre orizzontale, mentre la linea piezometrica può alzarsi o abbassarsi lungo il percorso, disponendosi più alta dove la velocità è minore, più bassa dove la velocità è maggiore; l'altezza piezometrica (e con essa la pressione) risultano minori dove la linea piezometrica si avvicina alla traiettoria, maggiori dove se ne allontana. Si nota che la costanza del carico totale H lungo la singola traiettoria non implica affatto che il

suovalore sia lo stesso per tutte le traiettorie, anzi spesso è vero il contrario

Nel caso di corrente lineare la quota piezometrica è la stessa per tutte le traiettorie che attraversano una generica sezione, per cui la linea piezometrica è unica per tutta la corrente; lo stesso accade alla linea dei carichi totali soltanto se la velocità di tutte le traiettorie che attraversano la sezione sia la medesima.

La linea piezometrica di una corrente lineare che fluisce in una condotta si può materializzare applicando dei piezometri in varie sezioni e collegandone idealmente i menischi, come mostra la Fig.2.

Anche la linea dei carichi totali può materializzarsi analogamente, ricorrendo all'uso di particolari piezometri ricurvi, denominati Tubi di Pitot, inseriti in varie sezioni della corrente con l'estremità immersa rivolta contro corrente: infatti, la quota che raggiunge il liquido dentro un tubo di Pitot è quella del carico totale nel

punto di misurazione.Tubo di Pitot ___ f l.c.t.piezometrica 2Fig.2

INTERPRETAZIONE ENERGETICA v2

La legge del moto libero di un grave nel vuoto (-y -) si può leggere come un caso particolare del principio di conservazione dell'energia meccanica, interpretando il termine -y2 come energia posizionale e il termine V come energia cinetica, ambedue di un grave di peso 2g unitario (mg 1 N). Rivolgendo l'asse ver