Esercizi di idraulica applicata

Applicando il metodo delle componenti risulta che la componente orizzontale S della risultante della spinta

0

corrisponde alla spinta che agisce sulla proiezione verticale della parete premuta, vale a dire, sulla superficie

rettangolare AC, mentre la componente verticale S corrisponde al peso dell'acqua contenuta nel volume ABCA:

v

+bsen(60°)

h

r bsen(60°) a= 145933.6

h N

+

= = 1 )[

(

S p A ]

1

0

0 2

r( +b�en(50°)

2h

s )abcos60 436067.76

=

= ° N

1

v

Si noti che i valori ottenuti corrispondono alla somma delle componenti verticali e orizzontali delle singole spinte

che agiscono sulle pareti AB e BC.

Esercizio 2

Determinare il valore della spinta idrostatica e la posI2Ione del centro di spinta sulla parete

°

b

rettangolare divisoria di larghezza = 2 m, fJ= 60 del serbatoio d'acqua rappresentato in figura

3, 3).

(y1 10000 N/m (y 10300 N/m

= =

2 ------------------------- ---------------·

p .c.i. Y; ----

SOLUZIONE rispetto alla retta di sponda

esercitata dal fluido a sinistra della parete e il suo braccio �

La spinta II 1

1

sono rispettivamente pari a: 21

Esercizio 3

Calcolare la spinta totale e il centro di spinta che agisce su una paratoia rettangolare di dimensioni

(b/2)

axb, incernierata nel suo baricentro sommersa come indicato nella figura. Indicare se nella

situazione illustrata nella figura la paratoia si trovi in condizioni di incipiente apertura, commentare il

risultato. s2

h Sl

h, y(h -h

1 2)

SOLUZIONE

La spinta II esercitata dal fluido a sinistra della paratoia e il suo braccio � rispetto alla retta di sponda sono:

1

1 + h

h

( a

a) =y-

=Ap =B ·y_,_____,__ 2h

II -a

(

0, )

b

- 2 2

1

1

b

1 1

1 ya

y

h1 [

pxdA

II = = yx dA = y x dx= h - h

·s - = 3h + -3h

[

J

J J ]

b b

3

2 2

2 2

)

3

3 3

b ]

( a a a

1 1 1 1 1 1

h1-a

ya

A A

[ +

3h: -3h -3h

+

2 3h 3h -

]

b 2

3 )+-

-

= = _

- _

h

=

2

2 (

s l

(

a a

- 1 a

a a

2h 2h

a

3 3

- -

1

1 1

2h a

Y _ )

(

1 1

� a a

1

1

a

1

Il modulo della spinta II esercitata dal fluido a destra della parete e il suo braccio ; * rispetto alla relativa

retta di sponda sono: 2 2

h -a)+h

-r =r

=a

=Ap 2h

II -

0, )

( 8b(

2 2

2

2

b a

2

2 2

Di conseguenza, il braccio della spinta II2 rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra � è:

2

3h

3h -

- 2

�

)+� )

h

h h -h

-h

h )

) -

- +

(

( )+

+ )

(

(

*

ç

ç (

( =

2h 2 a

= = a

3 3 h

-a -a

2 a

a 2

2

2

2 2 1 1

1 2 2 II

II > II

Essendo, il modulo della spinta risultante agente sulla paratoia sarà diretta come ,

1

1 2 23

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 2

IDROSTATICA- SPINTE SU SUPERFICI CURVE

METODO DELLE COMPONENTI

Nel serbatoio aperto all'atmosfera mostrato in Fig.1

a. si consideri il punto generico

"x" dell'elemento infinitesimo di superficie di area il cui versore fì, entrante, si

dA

mostra nella Fig. 1 b. Scelta la terna cartesiana di versori f,J, k siano e

Oxyz nx, ny nz

gli angoli che il versore fì forma con gli assi del sistema di riferimento.

h

dA ii

I

I

Fig. 1a Fig. 1

b Elemento generico di superficie curva

La spinta elementare che il fluido esercita sull'elemento di superficie è:

dA

dIT = pii dA

passano tutte per il punto "x" e hanno moduli:

le cui tre componenti dfi , dfi , dfi 2

x y = =

dn dIIcos(nx) pdAcos(nx)

x = =

dIIcos(ny) pdAcos(ny)

dTI Y = =

dll dIIcos(nz) pdAcos(nz)

2

Le componenti della spinta sull'intera superficie si ottengono dall'integrale di

A

queste espressioni: JJ

= ipcos(nx) dA

frx JJ

A

= }pcos(ny) dA

fr

Y JJ

A

= kpcos(nz) dA

fr 2 A

Si notti che il termine rappresenta la proiezione della superficie sul

dAcos(nx) dA

piano e il termine rappresenta la proiezione della superficie sul

yz dAcos(ny) dA

piano xz. Chiamando dA = e = possiamo scrivere:

dAcos(nx) dA dAcos(nx)

x y 1

JJ dAX

[p

fIX = JJ

A Jp dAY

fIY = A

Queste espressioni rappresentano un'uguaglianza vettoriale, che impone

l'uguaglianza dei vettori in modulo, in verso e in retta d'azione, quindi, il centro di

spinta della componente passerà dal centro di spinta C dell'area A , un discorso

fix x

x

analogo si può fare per la componente Ily.

In base a questi risultati si può affermare che le componenti orizzontali della spinta

idrostatica su una superficie di forma qualsiasi sono uguali alla spinta che agirebbe

su la proiezione della superficie su un piano verticale ortogonale alla componente

stessa.

Nel calcolo della componente è opportuno esprimere il valore della pressione che

fiz

agisce sull'elemento infinitesimo in funzione dell'affondamento come segue,

JJ kyhcos(nz) dA

=

fiz A dAcos(nz)

Considerando che anche il termine rappresenta la proiezione della

dA yhdAcos(nz)

superficie elementare sul piano risulta che il termine misura il

xy,

volume del prismetto di base dA e altezza h come mostrato in Fig. 2. L'integrale,

z

ovvero, la componente verticale della spinta idrostatica sull'intera superficie sarà

uguale al peso del volume fluido contenuto fra la superficie premuta, il piano dei

carichi idrostatici e un numero infinito di segmenti verticali passanti per il contorno

della superficie premuta. dA' I

I

\

\

Fig. 2 Componente verticale della spinta idrostatica su una superficie curva

In sintesi, il calcolo della spinta su una superficie di forma qualsiasi mediante il

metodo delle componenti è riconducibile al calcolo di due spinte su superfici piane

verticali più il calcolo del peso del fluido contenuto nel volume limitato dal piano dei

carichi idrostatici, dalla superficie premuta e da un numero infinito di segmenti

passanti per il contorno della superficie d'interesse. 2

Sulla parte B C la componente verticale è pari al peso di volume cilindrico di

rri

c

sezione retta CBB'C'C, e dunque è uguale a:

c

rr� y ( WBCO

WBB'C'H +

= =

- WOCH) ]-[

-r{ [ R·( ]+[ : JRcosaRsinaL ]}

R-Rcosa )L nR'L

2

-rR'L[1-cosa+ ;-Jcosasina]

essa è diretta verso l'alto e la sua linea di azione passa per il baricentro del volume.

La componente verticale della spinta è dunque pari a:

Esercizio 3

Sapendo che y = 10300 N/m3 calcolare la componente orizzontale e quella verticale

,

della spinta che agisce sulla paratoia cilindrica della Figura (e i rispettivi centri di

spinta), il cui raggio è pari a 1.96 m e la lunghezza L pari a 3.28 m.

R I

s b

y T] X

SOLUZIONE (metodo delle componenti)

La componente orizzontale della spinta Il è data dalla spinta diretta verso destra

0

sulla proiezione della superficie a-b su un piano verticale di modulo:

1.96 m

R = 64892.3 N

= 1.96 m-3.28 m-10300 N/m

Il =Ap = RL-r 3

2 2

0

2

distanza della linea di azione di questa forza rispetto alla retta di sponda è:

La componente verticale della spinta Il è pari al peso, cambiato di segno, del

v

volume liquido che sarebbe compresso fra la paratoia a-b, il piano dei carichi

5

G+Il=O

+fi = o

+fi

G+fi 2

1

0

La spinta richiesta è quella subita dalla paratoia, ovvero la spinta S esercitata dalle

particelle che bagnano la superficie