I Numeri Naturali

I NUMERI NATURALI

I numeri interi naturali, ovvero la sequenza dei numeri che usiamo per

contare,

0,1,2,3,4,5,…

Sono oggetti astratti con cui abbiamo una consuetudine che risale all’infanzia,

ma la cui origine e la cui natura è enigmatica. Fa parte delle convinzioni che

assimiliamo da bambini il fatto che tali numeri ci permettano di stabilire la

quantità di collezioni di oggetti e di confrontare le quantità tra di loro.

La procedura di rappresentazione prevede la combinazione dei simboli

numerici secondo una regola di interpretazione che non lascia spazio

all’ambiguità e che sfrutta le due operazioni dell’addizione e della

moltiplicazione.

Infatti, quando due o più cifre vengono affiancate, l’interpretazione di ogni

cifra è modificata dalla sua posizione: se scriviamo 23, il simbolo 2 non deve

essere interpretato come due ma come due decine, ovvero due volte dieci, e

quindi il simbolo composto da due cifre rappresenta il numero naturale

ottenuto dall’addizione di due volte dieci più tre, ossia il numero ventitrè.

L’insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera N, maiuscola e in

carattere grassetto.

Fin dall’antichità l’uomo si è trovato di fronte alla necessità di contare, di

ordinare e di classificare. La conoscenza e l’uso del numero hanno avuto

perciò una notevole importanza sociale, saper contare permetteva di

misurare il trascorrere del tempo, registrare il numero di abitanti di una tribù

ecc.

Dapprima si è sviluppata la primordiale capacità di rilevare una differenza

quantitativa, di comprendere se un insieme di oggetti fosse più o meno

numeroso di un altro.

L’aritmetica ha cominciato a svilupparsi solo quando si iniziò a parlare di

“numero tre” indipendentemente dal precisare “tre di che cosa”. Da allora il

numero divenne un “oggetto” autonomo, un concetto, e con i numeri si iniziò

ad operare.

1.

2

Gli aspetti ordinale e cardinale dei numeri naturali

I numeri naturali servono sia per ordinare, sia per contare.

Hanno perciò due aspetti, strettamente legati tra loro, ma distinti.

Quando si registra l’ordine di arrivo dei partecipanti a una corsa si considera

l’aspetto ordinale del numero naturale:

primo, secondo, terzo, quarto, quinto, …

Se invece ci si chiede quanti pennarelli ci siano in un astuccio, si considera

l’aspetto cardinale del numero naturale:

zero, uno, due, tre, quattro, cinque, …

L’insieme dei numero naturali si costruisce a partire da un primo elemento, lo

zero, e considerando via via i numeri successivi ottenuti aggiungendo 1 al

precedente:

0 0 1 1 2 2 3 3 4

   

1.

3

Rappresentare i numeri naturali sulla retta

Possiamo rappresentare i numeri naturali su una retta: scegliamo in modo

arbitrario un suo punto O (che rappresenta lo zero e che chiamiamo origine),

un verso di percorrenza (che indichiamo con una freccia) e un segmento OU

come unità di misura. Riportando più volte il segmento unitario OU nel verso

di percorrenza scelto, si ottiene una rappresentazione di questo tipo:

I numeri naturali rappresentati sulla retta risultano ordinati. Infatti,

percorrendo la retta nel verso indicato dalla freccia, si incontrano numeri via

via più grandi.

1.

4

Le operazioni possibili in N

Nell’insieme dei numeri naturali è sempre possibile effettuare l’addizione e la

moltiplicazione; la sottrazione, invece, è possibile soltanto se si sottrae un

numero da uno più grande.

Anche la divisione non è sempre possibile in N. Può darsi, infatti, che

dividendo due numeri naturali si ottenga un resto diverso da 0; in tali casi, per

ottenere una divisione esatta occorre considerare numeri con la virgola, che

non sono numeri naturali.

In N possiamo però effettuare la divisione intera, indicata con il simbolo div

(da non confondere con la divisione con parte decimale, che è indicata con i

simboli “:” oppure “/”), purchè il divisore sia diverso da 0.

La divisione intera tra due numeri naturali è quella che si ferma alle unità:

produce perciò un risultato (il quoziente intero) e un resto.

Ad esempio:

16 div 6=2 con resto 4

Questa scrittura significa che, se moltiplichiamo 6 per 2 e aggiungiamo 4,

otteniamo 16.

In generale, se a e b sono due numeri naturali qualunque (con b diverso da

0), le seguenti scritture sono equivalenti:

a div b=q con resto r a=b ∙ q + r

Nelle formule precedenti q, il quoziente intero, e r, il resto, sono anch’essi

numeri naturali.

1.

5

Multipli, sottomultipli, divisori

Se la divisione intera tra a e b ha resto uguale a 0, si dice indifferentemente

che:

∙ a è multiplo di b

∙ a è divisibile per b

∙ b è divisore di a

∙ b divide a

∙ b è sottomultiplo di a

Per esempio, poiché la divisione intera tra 20 e 5 ha resto uguale a zero

(essendo 20 div 5=4 con resto 0), si puù dire che:

∙ 20 è multiplo di 5

∙ 20 è divisibile per 5

∙ 5 è divisore di 20

∙ 5 divide 20

∙ 5 è sottomultiplo di 20

Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se a =

n*b, essendo n un numero

naturale.

es: 15 è multiplo di 3 perché 15 = 5*3

Si dice che un numero naturale b diverso da 0, è divisore di un numero

naturale a se a = n*b, essendo n un

numero naturale.

es: 4 è divisore di 20 perché 20 = 5*4; 20 è divisibile per 4 ovvero 20 è

multiplo di 4

Un numero si dice primo se è divisibile solo per uno e per se stesso

es: 5,11,23 sono numeri primi

Due o più numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni eccetto

l’unità

es: 5 e 16 sono primi tra loro

Alcuni criteri di divisibilità:

un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari

un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3

un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5

un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la

somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0,

11 o un multiplo di 11

Se un numero è divisibile per due numeri primi tra loro è divisibile anche per il

loro prodotto.

es: 24 è divisibile per 3 e per 4, allora è divisibile anche per 12 (il prodotto di

3 per 4)

Ogni numero naturale è divisibile per se stesso (dando come quoziente 1) e

per 1 (dando come quoziente se stesso). In generale possiamo scrivere:

a div a=1

a div 1=a

E’ talvolta necessario individuare i divisori o multipli comuni a due numeri

naturali. In particolare è spesso utile trovare il massimo comune divisore

(M.C.D) di due numeri, che è il più grande tra i loro divisori comuni, o il loro

minimo comune multiplo (m.c.m), cioè il più piccolo tra i loro multipli

(escludendo 0).

I numeri naturali non sono sufficienti per risolvere alcuni problemi di tipo

pratico: per esempio, per misurare la temperatura, si deve precisare se è

sopra o sotto lo zero, per stabilire la data di un avvenimento storico ecc.

Per indicare tali grandezze, scriviamo davanti un numero un segno: scriviamo

il segno −

« » per indicare i numeri minori di zero, denominati negativi; scriviamo il segno

+

« » per indicare i numeri maggiori di zero, denominati positivi.

1.

6

I numeri interi relativi: Z

I numeri interi relativi sono composto dai negativi, da 0 e dai positivi

0, +1, -1, +2, -2, …

L’insieme dei numeri interi relativi è indicato con la lettera Z, maiuscola in

carattere grassetto.

Possono essere definiti e costruiti a partire da N.

Infatti, a ogni numero naturale diverso da 0 si possono attribuire due segni, il

negativo e il positivo.

Possiamo presentare sulla retta i numeri interi relativi riportando l’unità di

misura sia a sinistra sia a destra di 0: