I numeri complessi

I numeri complessi

Unità immaginaria

i² = -1

i⁰=1   i¹=i   i²=-1   i³=-i   i⁴=1   i⁵=i   i⁶=-1   i⁷=-i

Modulo

|z| = (z · ż)ᶦᶦ = √a² + b²

Numero complesso coniugato

ż = a - ib

Forma trigonometrica

a + ib = ρ(cos θ + i sen θ)

a = ρ cos θ      b = ρ sen θ

ρ = √a² + b²

Dalla (1) si ricava cos θ = a/ρ e sen θ = b/ρ

Ossia cos θ = a/√a² + b²      sen θ = b/√a² + b²

Per a ≠ 0 si deduce che tan θ = b/a

θ = arctan b/a se a > 0

θ = π + arctan b/a se a < 0

I numeri reali

(b=0) hanno argomento 0 o π secondo che essi siano positivi o negativi; invece i numeri immaginari (a=0) hanno per argomento π/2 oppure 3π/2 secondo che il coefficiente dell'unità immaginaria i sia positivo o negativo.

Argomento di z

arg(z) = arctan (y/x)    se x > 0

arctan (y/x) + π    se x < 0, e y ≥ 0

arctan (y/x) - π    se x < 0 e y < 0

π/2    se x = 0 e y > 0

-π/2    se x = 0 e y < 0

Indeterminata    se x = 0 e y = 0