I limiti sintesi

I limiti-sintesi

La topologia della retta

Intorni

Intorno completo di _x0: I(_x0) = ]_x0 - δ₁; _x0 + δ₂[, δ₁, δ₂ ∈ ℝ⁺.

Intorno circolare di _x0: I_δ(_x0) = ]_x0 - δ; _x0 + δ[, δ ∈ ℝ⁺.

Intorno destro di _x0: I⁺_δ(_x0) = ]_x0; _x0 + δ[, δ ∈ ℝ⁺.

Intorno sinistro di _x0: I^-_δ(_x0) = ]_x0 - δ; _x0[, δ ∈ ℝ⁺.

Intorno di -∞: I(− ∞) = ] − ∞; a [, a ∈ ℝ.

Intorno di +∞: I(+ ∞) = ]b; + ∞ [, b ∈ ℝ.

Sia A un sottoinsieme di ℝ e sia _x0 è un punto di A:

_x0 è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di _x0 contiene infiniti punti di A.

La definizione di _x→x0 f(x) = ℓ

lim_x→x0 f(x) = ℓ se per ogni ε > 0 esiste un intorno I di x₀ tale che:

|f(x) − ℓ| < ε per ogni x ∈ I, x ≠ x₀.

Una funzione si dice continua in un punto x₀ del suo dominio se:

_x→x0 f(x) = f(x₀).

Una funzione è continua nel suo dominio quando è continua in ogni punto del suo dominio.

Sono continue nel loro dominio: le funzioni polinomiali, le funzioni potenza, le funzioni goniometriche, la funzione esponenziale, la funzione logaritmica.

Limiti per eccesso e difetto

Limite per eccesso: lim_x→x0⁺ f(x) = l⁺ se

lim_x→x0 f(x) = l,f(x) > l in un intorno di x₀ (con al più x ≠ x₀).

Limite per difetto: lim_x→x0⁻ f(x) = l⁻ se

lim_x→x0 f(x) = l,f(x) < l in un intorno di x₀ (con al più x ≠ x₀).

Limiti destro e sinistro

Limite destro: lim_x→x0⁺ f(x) = l se per ogni ε > 0 esiste un intorno destro di x₀, I⁺(x₀), tale che |f(x) − l| < ε per ogni x ∈ I⁺(x₀).

Limite sinistro: lim_x→x0⁻ f(x) = l se per ogni ε > 0 esiste un intorno sinistro di x₀, I⁻(x₀), tale che |f(x) − l| < ε per ogni x ∈ I⁻(x₀).

Esiste lim_x→x0 f(x) = l se e solo se esistono entrambi lim_x→x0⁺ f(x) e lim_x→x0⁻ f(x) e sono entrambi uguali a l.

La definizione di lim_x→x0 f(x) = ∞

lim_x→x0 f(x) = +∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di x₀ tale che f(x) > M per ogni x ∈ I, x ≠ x₀.

lim_x→x0 f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di x₀ tale che f(x) < −M per ogni x ∈ I, x ≠ x₀.

lim_x→x0^-f(x) = ∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di x₀ tale che f(x) > M per ogni x ∈ I, x ≠ x₀.

Le definizioni si possono enunciare anche per limite destro e sinistro, ossia per x→x₀⁺ o x→x₀^-.

Asintoto del grafico di una funzione: è una retta tale che la distanza di un generico punto P del grafico dalla retta tende a 0 quando l'ascissa o l'ordinata di P tendono a ∞.

Data y = f(x), se lim_x→x0 f(x) = ∞, la retta x = c è asintoto verticale per il grafico di f.

La definizione di _x→∞ f(x) = ℓ

_x→+∞ f(x) = ℓ se per ogni ε > 0 esiste un intorno I di +∞ tale che |f(x) - ℓ|

_x→-∞ f(x) = ℓ se per ogni ε > 0 esiste un intorno I di -∞ tale che |f(x) - ℓ|

_x→∞ f(x) = ℓ se per ogni ε > 0 esiste un intorno I di ∞ tale che |f(x) - ℓ|

Data y = f(x), se _x→+∞ f(x) = q o _x→-∞ f(x) = q o _x→∞ f(x) = q, la retta y = q è asintoto orizzontale per il grafico di f.

• Asintoto orizzontale soltanto per x→-∞.
• Asintoto orizzontale soltanto per x→+∞.
• Asintoto orizzontale unico per x→+∞ e x→-∞.
• Due asintoti orizzontali diversi per x→+∞ e x→-∞.