I limiti sintesi

I limiti-sintesi

1. LA TOPOLOGIA DELLA RETTA

• Intorni
  • Intorno completo di x₀: I(x₀) = ]x₀ - δ₁, x₀ + δ₂[, δ₁, δ₂ ∈ R⁺.
  • Intorno circolare di x₀: I_δ(x₀) = ]x₀ - δ, x₀ + δ[, δ ∈ R⁺.
  • Intorno destro di x₀: I^δ(x₀) = ]x₀, x₀ + δ[, δ ∈ R⁺.
  • Intorno sinistro di x₀: I̅_δ(x₀) = ]x₀ - δ, x₀[, δ ∈ R⁺.
  • Intorno di -∞: I(-∞) = ]-∞, a[, a ∈ ℝ.
  • Intorno di +∞: I(+∞) = ]b, +∞[, b ∈ ℝ.

Sia A un sottoinsieme di ℝ e sia x₀ è un punto di A: x₀ è un punto di accumulazione per A se ogni intorno di x₀ contiene infiniti punti di A.

5. LA DEFINIZIONE DI _{limx→∞ f(x) = ∞}

• _{limx→+∞ f(x) = +∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di +∞ tale che f(x) > M per ogni x ∈ I.}
• _{limx→−∞ f(x) = +∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di −∞ tale che f(x) > M per ogni x ∈ I.}

In entrambi i casi si dice che la funzione f diverge positivamente (per x che tende a +∞ o a −∞).

• _{limx→+∞ f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di +∞ tale che f(x) < −M per ogni x ∈ I.}
• _{limx→−∞ f(x) = −∞ se per ogni M > 0 esiste un intorno I di −∞ tale che f(x) < −M per ogni x ∈ I.}