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I limiti delle progressioni

Il limite di una progressione aritmetica

Poiché il termine generico an di una progressione aritmetica di ragione d è dato dall'espressione

an = a1 + (n - 1) · d, vediamo che:

  1. Se d = 0, cioè an = a1, ∀n > 1, allora la successione è costante e lim n→+∞ an = a1;
  2. Se d ≠ 0, allora:

lim n→+∞ an = lim n→+∞ [a1 + (n - 1) · d] = {+∞, se d > 0; −∞, se d < 0}

Pertanto vale la seguente proprietà.

Proprietà

Una progressione aritmetica di ragione d ≠ 0 è sempre divergente.

Il limite di una progressione geometrica

Poiché il termine generico an di una progressione geometrica di ragione q è dato da

an = a1 qn-1, vediamo che:

  • Se q ≤ -1, allora an cambia alternativamente segno al crescere di n e il suo valore assoluto tende a +∞ per n tendente a +∞; quindi non esiste il limite limn→+∞ an;
  • Se -1 < q < 1, cioè |q| < 1, allora limn→+∞ qn = 0 e quindi:
  • limn→+∞ an = limn→+∞ a1 qn-1 = 0;
  • Se q = 1, allora la progressione geometrica è costante e quindi limn→+∞ an = a1;
  • Se q > 1, allora:
  • limn→+∞ an = limn→+∞ a1 qn-1 = {+∞, se a1 > 0; −∞, se a1 < 0}
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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
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