Limiti, Analisi matematica I

Limiti di funzioni

Definizione topologica di limite

Non discreto

Obiettivo: Definire lim_x→c F(x)=l

1. lim_n→+∞ a_n = l ∈ ℝ
2. lim_n→+∞ e_n ≠ (+∞)

l ∈ ℝ∈-e || ∈+e ∀ ε > 0; |a_n- l| 0; a_n ≥ M definitivamente per n → +∞

3. Si può riscrivere come a_n ∈ I(ε) definitivamente per n → +∞

∀ I(ε) : a_n ∈ I(ε) definitivamente per n → +∞

Intorno di +∞ I(η) = [n₀ + 1, +∞) n ≥ n₀

4. Si può riscrivere come a_n ∈ I(∈) definitivamente per n → +∞

∀ I(∈) : a_n ∈ I(∈) definitivamente per n → +∞

Intorno di (-∞) I(γ) = (-∞, M] Neo M

Definizione generale di limite di una successione

lim_n→+∞ a_n = L ∈ ℝ ⇒ ∀ I(L) a_n ∈ I(L) definitivamente per n → +∞

ℝ ∪ {∞O3} ∪ ≡ ∞ ≣ ℝ esteso = ℝ ∴ &ith; ∞

Funzioni

lim_x→c F(x)= L | L ∈ ℝ

Ce ∈ ℝ Definizione: Si dice una proprietà è vero definitivamente per x →c È vero per ogni H in un intorno di x=c, tranne eventualmente per x≠c

Limiti di Funzioni

f: D ⊆ ℝ → ℝ

1. lim a_n = l ∈ ℝ
2. lim a_n = +∞

l ∈ I(l)9|∀ε>0 : |a_n - l|<ε lim a_n = l ∈ &reals;∀I(l): a_n ∈ I(l) lim a_n = L ∈ &reals;

1. lim F(x) = L

OSSIA Se esiste I(c) tale che essa è vera ∀x∈I(c), x≠c

Definizione (Topologia di Limite)

Siano c∈ℝ e L∈ℝ ∗ f: I(c)n{c}⊂ℝ↦ℝ

Si dice che lim x→c f(x)=L se ∀I(L) f(x)∈I(L) definitivamente per x→c

OSSIA ∀I(L) ∃I(c) ∀x ∈ I(c): f(x) ∈ I(L) (x ≠ c)

Osservazione

Se f+ o la condizione x≠c è sempre vera

Esempio (caso particolare =0, L=+∞)

lim x→0 f(x)=+∞ x (variabile indipendente si avvicina a 0) COSA SIGNIFICA? INTUITIVAMENTE: Se x si avvicina a 0, f(x) si avvicinano e così diventano grandi

GRAFICO ESEMPIO 1/x²

Definizione matematica:

∀I(+∞) ∃ I(o): ∀x ∈I(o), x≠0: f(x) ∈ I(+∞) 1/x²

Osservazione 2

Per parlare di un f(x), f deve essere definito in un intorno di c, f può essere definita o meno in x=c.

Caso particolare

c ∈ R, L ∈ R lim_x→c f(x) = L

I(c) := (c-R; c+R) I(L) := (L-ε; L+ε)

La definizione diventa:∀ ε > 0 ∃ R > 0 : c-R < x < c+R, x ≠ c ⇒ L-ε < f(x) < L+ε

oppure ∀ ε > 0 ∃ R > 0 : |x-c| < R, x ≠ c ⇒ |f(x)-L| < ε f(x)

Esempi

1. f(x) = x³/|x|, c=0

dom f: R-{0} cioè f non è definita in x=0.

lim_x→0 x³/|x| = 0 (nuova giustificazione)

Grafico: |x| = { x se x > 0 -x se x < 0 } ⇒ f(x) = { x² se x > 0 -x² se x < 0 }

f(x) = { 2 se -1<x<1, x≠0 x² altrimenti in ℝ GRAFICO:

lim_x→0 f(x) = 2

x si avvicina a 0 ma non è 0, perché x≠0 quindi 0 non si guarda. f(0) = 0

lim_x→1 f(x) NON ESISTE perché da sinistra→2 da destra→1 quindi non esiste il lim. mi avvicino da destra vado verso quota 1 mi avvicino da sinistra vado verso quota 2 mi avvicino da destra vado sempre a quota 2

In questo caso esistono diversi tra loro LIMITE DESTRO lim_x→0⁺ f(x) = 1

LIMITE DESTRO e LIMITE SINISTRO lim_x→0^- f(x) = 2 f(0) = 0 NON HANNO LO STESSO RISULTATO

lim_x→3 f(x) = 9 f(3) = 9 IN QUESTO CASO HANNO LO STESSO VALORE

Osservazione ①

La lim non richiede che esista f(c) [Vedere esempio 1] Va a vedere quando f(x) si avvicina a c e x ≠ c.

② Supponiamo che esista anche f(c)_{x ➝ c} lim f(x) ≠ f(c) → in generale questi valori sono diversi

Se lim f(x) = f(c) allora si dice che f è continua in x = c.

Definizione

Siano c ∈ ℝ e f: I(c) ➝ ℝ (f è definita anche in x = c)

f si dice continua in x = c se _{x ➝ c} lim f(x) = f(c)

Nell'esempio ② f continua in tutti i punti tranne x = 0, x = ±1

Punti di discontinuità x = 0: _{x ➝ 0} lim f(x) ≠ f(0) x = ±1: _{x ➝ ±1} lim f(x) non esiste

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Importanza delle funzioni continue

Calcolo di un limite:

F(c) è facile, basta prendere x = c e sostituire x con c nell'espressione della funzione

_{x ➝ c} lim f(x) non è semplice, richiede di studiare i valori di f(x) per x vicino a c.

Se funzioni continue consentono di effettuare il calcolo di _{x ➝ c} lim f(x) calcolando semplicemente f(c), perché _{x ➝ c} lim f(x) = f(c)

Quali sono le funzioni continue?

① Tutte le funzioni elementari sono continue in ogni punto del loro dominio:

• Funzioni potenza
• Funzioni esponenziali
• Logaritmiche
• Funzioni trigonometriche e loro inverse
• Valore assoluto

sin x, cos x, tan x, arcsin x, arccos x, arctan x

Esempio: _x→π lim ^{sin x}/_x = f(π) = sin π = 0 f è continua in x = π

Posso fare questo passaggio grazie al fatto che la funzione è continua.

1. Somma, differenza, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue sono funzioni continue laddove definite.

Esempio: f(x) = e^xcos x/_x Continua in ogni punto x ≠ 0

Esempio: f(x) = (1+¹/_x)^x Continua in ogni punto di IR. Composizione di 3 funzioni, somma + produttoria.

1. Calcolo di limiti di funzioni

1. c ∈ IR, f continua in x = c lim _x→c f(x) = f(c)
2. Operazioni con i limiti (come le successioni)

Esempio: _x→0 lim ^{cos x}/_x ±∞ NON riesco nel caso di funzioni continue. ^{cos x}/_x non è definita x = 0: scorporo in limite del numeratore e limite del denominatore

_x→0 lim cos x = 1 continua _x→0 lim x² = 0 continua → sempre positivo

Vengono i comporti di crescere e ±∞

log _{a x} V ^{0 +} ∀_a, x>0 y≥0 ∀_a, x>0 x^(1/_p) V ^{0 +} ∀ ^{p 0} z 0 ∀_q

4. Vale il principio di eliminazione dei termini trascurabili.

5. Teorema sul limite della composta (vale anche per le successioni)

Teorema

Sia c ∈ IR ⁺ f: I ⟶ C ⁺ IR lim _x→c f(x) = L ∈ IR ⁺

Se g : I(L₂) ⊆ L₃ → ℝ ed esiste lim g (y) y → L x→limf(x))

Se: 1) g è definito anche in L e continuo in L oppure 2) L = ±∞ o L = ∞ allora lim g (f(x)) = lim g (y) x → c y → L

Operativamente:

1. lim g (f(x)) = lim g(y)
2. f = (fx) x → c y → L

1) γ : (fx) 2) f_x → c c1 → cos tende y = f(x) ?

Funzione esterna lim x → +∞ limx → -∞

Funzione interna limx → ±∞

Esercizio

lim log lim x → ∞ y → 22x² + 1 ------------------ x² + x + 3 Y = 2x² + 1 ------------------ x² + x + 3

SOSTITUISCO CON Y lim Y = lim x → +∞ x → +∞ CON IL TEOREMA QUESTI DUE LIMITI SONO UGUALI

lim log lim log Y = x → +∞ x → 2 = log 2 perché log è continuo in y = 2.

Definizione di limite

lim f(x) = L L c ℝ x → c L ε ℝ*ℝ* = ℝ ∪ {±∞} ∪ {0} S ∪ 0.

*∀ I: f(x) ε I(L) indefinito app. x → c ∀ I: f(c) ε I(c) x ε I(c) x f(c) → (f(x) ε I(L)

Caso particolare: F successione

F: IN→Rc = ±∞ lim a_n→+∞ f(n) = L, L∈R Calcolo di limiti: non si usa la definizione. Si usano alcune tecniche.

Alcuni risultati tecnici sui limiti

Teorema Della Permanenza Del Segno (1° E 2° Forza) Teorema Del Confronto (1° E 2° Caso)

Valgono nel caso di funzioni, ma li chiariremo nel caso particolare delle successioni.

Teorema della permanenza del segno 1° forza

Sia a_n: IN→R tale che lim a_n = L∈R

Se L > 0 allora a_n > 0 definitivamente per n +∞

Se L < 0 allora a_n < 0 definitivamente per n +∞

a) L b) L Segno del limite → segno della successione (definitivamente per n +∞)

(L) (L) (L)>0

Osservazione

Se L=0 non si può dire nulla in generale sul segno di a_n.

Esempio

a_n= L=0 e a_n>0 a_n=L=0 e a_n<0

Idee della dimostrazione

lim_n→+∞ a_n = L

I valori di a_n sono definitivamente vicini a L, se L ≠ 0 allora a_n e L hanno definitivamente lo stesso segno.

Sappiamo che ∀ I(L) a_n ∈ I(L) definitivamente per n → +∞

∀ ε > 0 L-ε n Scelgiamo ε>0 in modo tale che sia L-ε>0 cioè ε più piccolo di L (ε∈L)

Con questo ε si ha a_n > L-ε > 0 definitivamente per n → +∞

a_n > 0 definitivamente per n → +∞

Scelgiamo ε>0 in modo tale che sia L+ε>0 cioè ε più piccolo di L (ε∈L)

Con questo ε si ha a_n n ^{1° Forza}: Segno di L → Segno di a_n

^{2° Forza}: Segno di L ≠ Segno di a_n

Teorema della permanenza del segno (2° forza)

Sia a: IN → IR tale che lim_n→+∞ a_n = L, L ∈ IR

Se α > 0 definitivamente per n → +∞

Allora L > 0 [L ≥ 0 || si esclude]

L = 0 L < 0

Se a_n Allora L < 0 || L ≤ 0

Siano b: IN → IR c: IN → IR tali che lim_n→+∞ b_n = L₁, lim_n→+∞ c_n = L₂ con L₁, L₂ ∈ IR

Se b_n > c_n definitivamente per n → +∞

(2) allora L ≥ L2

Se b_n < c_n definitivamente per n → +∞

(2) allora L ≤ L2

Osservazione

Perché compare l ≥ 0 e non l > 0 nella tesi? Esistono successioni di numeri positivi aventi limite 0, ad esempio a_n = 1/n

Dimostrazione (1A)

Si ragiona per assurdo e si usa il teorema della permanenza del segno (1^a forma)

Ipotesi: lim a_n = Ln → +∞

Tesi: L > 0

Per assurdo supponiamo che la tesi non valga, cioè L ≤ 0 Per il teorema della permanenza del segno (1^a forma) a_n < 0 definitivamente per n → +∞. Questo contraddice l'ipotesi: ⇒ La Tesi è Vera

Dimostrazione (2A)

Ipotesi: b_n > c_n def. per n → +∞

Tesi: L₁ ≥ L₂

a_n = b_n - L₂

a_n = c_n - L₂

Ci si riconduce al caso (1A) considerando a_n = b_n - c_n definitivamente positivo perché b_n > c_n

Se b_n > 0 definitivamente per n → +∞

a_n = L₂ = L₂ L₂ ≥ L₂ ≥ 0

Teorema Del Confronto (1^a Caso)

Siano a_n, b_n, c_n ∈ R tali che

• a_n ≤ b_n ≤ c_n def. per n → +∞
• a_n → l, n → +∞
• c_n → l, n → +∞

con l ∈ R