Limiti, Analisi matematica I

Limiti di funzioni

f: D ⊆ ℝ → ℝ

Definizione topologica di limite

Obiettivo: definire lim_{x → c} f(x) = ℓ

Riassunto:

1. lim_{n → +∞} a_n ∈ ℝ
2. lim_{n → +∞} a_n = +∞ (-∞)

ℓ ∈ ℝ 0 < ℓ, n ℓ_ε ε ℓ ε ℓ

1. ∀ ε > 0, |ε_n - ℓ| < ε definitivamente per n → +∞
2. ∀ ε > 0, ε_n > M definitivamente per n → +∞

1) Se ∀ _a ∞

• definitivamente non +∞

Induzione di (c-a)

I_c-a = (-∞, c)

Definizione generale di limite di una successione

lim_{n → +∞} a_n = L (ℓ/ℝ ∞/ +∞ -∞

∀ I(L) a_n ∈ I(L) definitivamente per n → +∞

ℝ ∪ {±∞} ∪ {±∞} : ℝ esteso = ℝ ∗: ℝ ∗

Funzioni

lim_{x → c} f(x) = L

L ∈ ℝ ∗

c ∈ ℝ ∗

Definizione:

Si dice una proprietà è vera definitivamente per x → c

se è vera ogni x in un intorno di x = c, tranne eventualmente per x = c

Ossia

Se esiste I(c) tale che essa è neo ∀x ∈ I(c), x ≠ c

[se c ±∞) e per ogni ε con il x ≠ c (x)

definitamente per x → c

Ossia

Osservazione: Se f ≠ costante, x ≠ c la condizione x ≠ c è sempre vera

Se x si avvicina a 0, ma non dave essere 0 (x ≠ 0),

testo testo testo con dividendo grandi

ESEMPIO: lim sin x = π = π - sin π = 0

F continua in x = π

Posso fare questo passaggio grazie al fatto che la funzione è continua.

2) Somma differenza, prodotto/quotiente e composizione di funzioni continue sono funzioni continue laddove definite.

Esempio: f(x) = e^x cos x continua in ogni punto x≠0

Esempio: f(x) = 3√sin x continua in ogni punto di ℝ

Composizione di 2 funzioni, sin + 3√

Calcolo di limiti di funzioni

1. (1) c ∈ ℝ, f continua in x = c: lim f(x) = f(c) x→c
2. (2) Operazioni con i limiti (come le successioni) Esempio: lim x = a = 0 + 0 x→0
3. Non siamo nel caso di funzione continua! cosx/x² non è definita in x=0: scorporo un limite del numeratore e limite del denominatore lim cosx = ∞ + -1 continua x→0
4. lim x² = 0 x→0 quadratodiv quando sempre positivo
5. (3) Volgano a infinito di crescere è +∞ Log_a x: 0β x = 0