I limiti delle successioni monot ne

I limiti delle successioni monotòne

I limiti delle successioni monotòne

Per le successioni monotòne vale il seguente teorema.

TEOREMA

Limite di una successione monotòna

• Se una successione crescente è limitata superiormente, allora è convergente; se è illimitata superiormente, allora diverge positivamente.
• Se una successione decrescente è limitata inferiormente, allora è convergente; se è illimitata inferiormente, allora diverge negativamente.

Dal teorema si deduce che una successione monotòna non è mai indeterminata.

ESEMPIO

1. La successione \( a_n = \frac{n}{n + 1} \), ossia

0; \(\frac{1}{2}\) ; \(\frac{2}{3}\) ; \(\frac{3}{4}\) ; ...

• è crescente e limitata, quindi è convergente.

2. La successione dei numeri pari è crescente e illimitata, quindi è divergente.

Puoi verificare che ogni termine è minore del suo successivo e che ogni termine è minore di 1.