Guida completa per l'esame di Analisi 2 e Fisica 2 e per il II anno della Triennale di Fisica

INSIEMI: CONTINUITA':

Dato un insieme , si ha che esso è: è continua in se il limite in quel punto vale

A f (x, y) (x , y )

0 0

LIMITATO: Se ha una sezione nita, ovvero se

• lim f (x, y) = f (x , y )

0 0

. ∃ ∀P ∈ |P |

R > 0; A < R (x,y)→(x ,y )

0 0

Vericare se il limite in un punto esiste:

CONNESSO: Se non è l'unione di 2 insiemi separati tra loro,

• . ovvero se 6 ∃ ∩ ∅ ∪

A , A ; A A = A A = A 1. Fai la restrizione per rette ( )

1 2 1 2 1 2 − − ∈

y y = m(x x ) m R

0 0

e risolvi il limite in una sola variabile. Se il limite dipende

Se ogni punto è un punto interno;

APERTO:

• da , il limite non esiste. Se non dipende da (viene un

m m

CHIUSO: Se ha anche punti di frontiera.

• numero ), procedere al passo 2.

`

COMPATTO: Se è chiuso e limitato.

• 2. Il limite potrebbe esistere: maggiora la funzione |f −

(x, y) `|

con una funzione che, se va a 0, costringe ad arrivare a .

f `

CURVE: Se e se

|f −

(x, y) `| < h(x, y) lim h(x, y) = 0

→P

P 0

Una curva è una gura unidimensionale

r(t) = x(t), y(t)

denita in di lunghezza : ⇒ lim f (x, y) = `

∈

t [a, b] ` →P

P 0

Oppure usa le coordinate polari e falla diventare :

b f (ρ, θ)

Z Z p

0 0 0

2 2

||r dovrai sempre maggiorare con una funzione che

x (t) + y (t) dt

` = (t)||dt = |f −

(ρ, θ) `|

a dipenda solo dal raggio .

h(ρ)

b

Z (se è un graco di funzione )

p 0 2

` = 1 + [f (x)] dx r f (x) Se e se

|f −

(ρ, θ) `| < h(ρ) lim h(ρ) = 0

a ρ→0

θ

Z 2 (se è della forma )

p 02

2

ρ (θ) + ρ (θ) dθ r ρ = f (θ)

` = ⇒ lim f (x, y) = `

θ 1 →P

P 0

Data una curva , si ha che essa è:

r(t) Relazioni utili:

REGOLARE: Se ;

1

• ∈

r C 2

x

2 2

Se ;

CHIUSA: ≤ ≤

sin θ + ρ cos θ = ρ sin θ, cos θ 1 1

Bρ B B

• r(a) = r(b) 2 2

x + y

SEMPLICE: Se ;

• ⇐⇒

r(t ) = r(t ) t = t Maggiora in modo tale da avere il numeratore più grande

1 2 1 2 possibile e il denominatore più piccolo possibile:

RETTIFICABILE: Se

• ∞

sup `(r) <

t∈[a,b] 2

2 2

−y x

x 2 2 − −

− − − e 1 0

e 1 (x y ) ≤ ·

cos x 1

ES.

DOMINIO IN 2 VARIABILI: 2 2 2 2 2

− −

x + y sin(x + y ) x + 0 1

Se devo disegnare il dominio di , sarà l'area di una gura se la restrizione per rette è tediosa,

f (x, y) ATTENZIONE:

geometrica o di una conica nel piano cartesiano x-y. sfrutta la restrizione per gli assi ( o ), rendendo

x = 0 y = 0

il limite a una variabile sola.

1. se 2

{(x, ∈

f = ln(g(x, y)) D := y) ; g(x, y) > 0}

R

2. se DERIVABILITA':

p 2

{(x, ∈ ≥

f = g(x, y) D := y) ; g(x, y) 0}

R Parziale: si ottiene derivando in una sola delle variabili di ,

1 • f

3. se 2

{(x, ∈ 6

f = D := y) ; g(x, y) = 0}

R trattando le altre come costanti.

g(x, y)

Se le condizioni del dominio portano a scrivere y > h(x) −

∂f f (x + h, y ) f (x , y )

0 0 0 0

o , dovrò disegnare la funzione e prendere l'area = lim

y < h(x) h ∂x h

h→0

sopra o sotto ad .

h

Se le condizioni del dominio portano a scrivere −

∂f f (x , y + h) f (x , y )

0 0 0 0

= lim

conica o conica dovrò disegnare la gura

> 0 < 0 ∂y h

h→0

(circonferenza, ellisse, ecc..) e prendere l'area esterna o interna Direzionale: si ottiene derivando lungo una direzione indica-

•

alla gura. ta dal vettore :

~v = (v , v )

normalizzato 1 2

−

∂f f (x + hv , y + hv ) f (x , y )

0 1 0 2 0 0

= lim

∂~v h

h→0

Proprietà: ~v

1. Normalizza sempre , usando poi il vettore

~v û = ||~v ||

2. Le derivate parziali sono derivate direzionali lungo le

direzioni (1,0) e (0,1)

3. Se è dierenziabile, allora la derivata direzionata vale:

f

la curva (frontiera del dominio) va

ATTENZIONE:

disegnata continua se le disequazioni sono o (insieme ∂f

≤ ≥ ~

∇f ·

= ~v = f v + f v

chiuso). Se c'è o va disegnata tratteggiata (aperto). x 1 y 2

∂~v

> < Il Dominio di è l'intersezione dei Dominii di .

~

DIFFERENZIABILITA': • F F , F , F

1 2 3

Un campo Vettoriale è conservativo se esiste una funzione

è dierenziabile in se esistono le derivate . scalare , detta potenziale

potenziale, le cui derivate parziali

∀~v

f (x, y) (x , y ) U (x, y, z)

0 0

Per vericare se è dierenziabile ci sono due modi: sono le componenti di .

~

F

1. Verica che e esistono in e sono continue (devi

f f (x , y ) ∂U ∂U

∂U

x y 0 0 ~ ~

∇U ⇒

fare i limiti e vedere che valgono e ) = F = F = F

F = 1 2 3

f (x , y ) f (x , y ) ∂x ∂y ∂z

x 0 0 y 0 0

2. Verica che e esistono, che valgono e e che: Vedere se un campo è conservativo:

f f a b

x y 1. il Dominio è semplicemente connesso (senza buchi);

− − −

f (x + h, y + k) f (x , y ) ah bk

0 0 0 0

√ =0

lim 2 2 2. il campo è irrotazionale ( ), ovvero:

h + k

(h,k)→(0,0) ~ ~ ~

∇ × F = 0

Se è dierenziabile, è possibile scrivere l'equazione del

f ∂F

∂F j

i ∀ 6

piano tangente a in : = i = j

f (x , y ) ∂x ∂x

0 0 j i

− −

z = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 TROVARE IL POTENZIALE:

TAYLOR IN DUE VARIABILI: 2 variabili: dato un campo ~

• F = (F , F )

1 2

Una qualsiasi funzione continua in può Z

f (x, y) (x , y ) 1. integra una delle variabili:

0 0 F dx = U (x, y) + c(y)

essere scritta, nell'intorno di quel punto, come un polinomio. 1

Lo sviluppo di Taylor no al secondo ordine è: Z )

(oppure F dy = U (x, y) + c(x)

2

2. trova sfruttando l'irrotazionalità:

− −

f (x, y) = f (x , y ) + f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y ) c(x)/c(y)

0 0 x 0 0 0 y 0 0 0

1 2 2

− −

f (x , y )(x x ) + f (x , y )(y y )

+ d(U + c) U (x, y)

xx 0 0 0 yy 0 0 0 0

⇒ −

= F c (y) = F (x, y)

2 2 2

dy dy

− −

+2f (x , y )(x x )(y y )

xy 0 0 0 0 Z 0

⇒ c(y) = c (y)dy

2 2

− −

+o (x x ) + (y y )

o 0 3. Unisci i pezzi e trovi :

U

In forma più compatta: Z

1 U (x, y) = F (x, y)dx + c(y) + k

~ T

≈ ∇f · − − − 1

f (~r ) f (~r ) + (~r ) (~r ~r ) + (~r ~r ) H (~r ~r )

2

0 0 0 0 0

R

2 3 variabili: dato un campo ~

TEOREMA DI DINI: • F = (F , F , F )

1 2 3

2 variabili: Data una funzione , continua in un punto Z

• f (x, y) 1. integra una delle variabili: F dx = U (x, y, z) + c(y, z)

, se si verica che e che , 1

6

(x , y ) f (x , y ) = 0 f (x , y ) = 0

0 0 0 0 y 0 0

allora è possibile scrivere, nell'intorno di , una fun- Z

(x , y ) (oppure )

0 0 F dy = U (x, y, z) + c(x, z)

zione di una sola variabile . 2

y(x)

Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, ma Z

(oppure )

F dz = U (x, y, z) + c(x, y)

3

sappiamo che: 2. trova sfruttando l'irrotazionalità:

f (x , y ) c(x)/c(y)/c(z)

x 0 0

0 −

y(x ) = y y (x ) =

B B

0 0 0 f (x , y )

y 0 0 ∂c(y, z) dU (x, y, z)

d(U + c) ⇒ −

= F = F (x, y, z)

Applicazioni: 2 2

dy ∂y dy

2

2 − 2f f f + f f

f f Z ∂c(y, z)

a xx xy x y yy

1. Derivata : x

y

00 −

2 y (x ) = ⇒ c(y) = dy + c(x)

0 3

f ∂y

y

1 3. trova sfruttando l'irrotazionalità:

2. Taylor: 0 00 2 c(x, y)/c(y, z)/c(x, z)

≈ − −

y(x) y + y (x )(x x ) + y (x )(x x )

0 0

0 0 0 2 d(U + c + k)

3. Retta tangente a : = F

0

− −

y y y = y (x )(x x ) 1

0 0 0 dx

3 variabili: Data una funzione , continua in un pun-

• f (x, y, z) d(U (x, y, z) + c(x, y))

0

to , se si verica che e che ⇒ −

k (x) = F (x, y, z)

(x , y , z ) f (x , y , z ) = 0 1

0 0 0 0 0 0 dx

, allora è possibile scrivere, nell'intorno di

6

f (x , y , z ) = 0

z 0 0 0 Z

, una funzione di 2 variabili . 0

(x , y , z ) z(x, y) ⇒ k(x) = k (x)dx

0 0 0

Di questa funzione non sappiamo la formula esplicita, ma

sappiamo che: 4. Unisci i pezzi e trovi :

U

, y ) = z

Bz(x 0 0 0 Z

f (x , y , y ) f (x , y , y ) U (x, y) = F (x, y)dx + c(y) + k(x) + h

x 0 0 0 y 0 0 0 1

− −

(x , y ) = (x , y ) =

Bz Bz

x 0 0 y 0 0

f (x , y ) f (x , y )

z 0 0 z 0 0 INTEGRALI CURVILINEI:

CAMPI VETTORIALI:

Un campo vettoriale è un vettore le cui componenti sono Sono integrali svolti lungo una curva regolare ,

• n 2

∈

r R

funzioni di variabili. parametrizzata nella variabile .

n t

Prima Specie: per funzioni

~ ~ •

≡ F (x, y, z), F (x, y, z), F (x, y, z)

F F (x, y, z) = 1 2 3

b

Z Z p 02 02

x (t) + y (t) dt

f d~s = f (x(t), y(t)) Se , il metodo dell'Hessiano è inconcludente e si

γ a • det(H) = 0

prosegue col seguente metodo:

1. Trova l'equazione della curva ;

r = (x(t), y(t), z(t)) 1. Calcolo di ≡

f (x , y ) c

0 0

2. Calcola le derivate parziali; 2. Studio del segno di e disegno in un

¯ ≡ −

f (x, y) f (x, y) c

3. Calcola la norma del vettore dato dalle derivate. graco x-y

3. Se è totalmente in una regione in cui è positiva, è

Seconda Specie (detto lavoro ): per campi vettoriali ¯

(x , y ) f

• L 0 0

ab un punto di . Se è negativa, è un punto di .

minimo massimo

Se è esattamente sulla frontiera, a metà tra area positiva e

b

Z Z

~ 0 0

·

F d~s = F (x(t), y(t))x (t) + F (x(t), y(t))y (t) dt negativa, è un punto di .

1 2 sella

γ a

Se il campo è conservativo:

Z

1. denita in

~ · − ∀γ

L = F d~s = U (a) U (b) [a, b]

ab γ

I chiusa

2. ~

~ · ∀γ

F d~s = 0

Γ(

F ) = γ

Se non è conservativo ma è chiusa, ovvero è frontiera

F γ ∂D

di un dominio , usa Gauss-Green:

D

Z Z ZZ ∂F ∂F

2 1

~ · ≡ −

F d~s F dx + F dy = dxdy

1 2 ∂x ∂y

∂D ∂D D OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA:

la curva deve essere percorsa in verso

γ

ATTENZIONE: Data una funzione , per calcolarne i massimi e minimi

f

antiorario. Se è percorsa in verso orario, metti il segno .

− vincolati (cioè lungo un dominio ) si procede con

2

⊂

D R

questi 2 passaggi (in ordine):

OTTIMIZZAZIONE LIBERA: 1. Calcola gli estremi liberi di e vedi quali .

Data una funzione , per calcolarne i massimi e minimi liberi ∈

f D

• f

(cioè lungo tutto il suo dominio) si procede con 2 passaggi: 2. Studia gli estremi lungo la frontiera . Puoi farlo con:

∂D

.

1. Trova gli estremi ponendo ~

∇f = 0

Svolgi il sistema e trovi i punti (x , y ), (x , y )...

0 0 1 1 Parametrizzazione:

•

2. Classica gli estremi calcolando . Se il Dominio ricorda una forma geometrica semplice, posso

det(H)

Gli elementi della matrice H (Hessiano) sono derivate calco- rendere la funzione dipendente da un sola variabile o da un

late nei punti trovati in 1. Per ogni punto trovato, quindi, parametro.

va calcolato il suo Hessiano.

2 variabili: 3 variabili:

 f = 0

( x



f = 0 

Gradiente x

~ ~

∇f ∇f

= = f = 0

y

f = 0

y  f = 0

 z

 

f f f

xx xy xz

f f

Hessiano xx xy f f f

H = H =

2 3 yx yy yz

 

R R

f f

yx yy f f f

zx zy zz

minimo f > 0, H > 0 f > 0, H > 0, H > 0

2 2 3

xx xx

R R R

massimo f < 0, H > 0 f < 0, H > 0, H < 0

2 2 3

xx xx

R R R

sella tutti gli altri casi

H < 0

2

R

Grazie al teorema di Schwarz, ,

f = f

ATTENZIONE: x x x x

i j j i

quindi basta calcolare le derivate miste una sola volta.

1. Rettangolo: Se (

{x ∈ ∈

∂D := (x , x ) ; y (y , y )} ∈ ∞)

x = x + aρ cos θ ρ [0,

1 2 1 2 Coordinate Ellittiche: 0

• ∈

y = y + bρ sin θ θ [0, 2π]

0

, studi e ottieni gli

0

→ ≥

f (x, y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y )

1 i 1

, studi e ottieni gli

0

→ ≥

f (x, y) f (x, y ) f (x) 0 (x , y ) θ

ρ

2 i 2 ZZ Z

Z 2

2

, studi e ottieni gli

0 ·

abρ f (ρ, θ)dρdθ

f (x, y)dxdy =

→ ≥

f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y )

1 1 i

, studi e ottieni gli

0 θ

E(x ,y ) ρ

→ ≥

f (x, y) f (x , y) f (y) 0 (x , y ) 1

0 0 1

2 2 i Per qualsiasi altro cambio di coordinate , scri-

• →

(x, y) (u, v)

Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da vi le vecchie variabili in funzione delle nuove e poi calcola lo

il valore più basso è il , chi ti da il più

minimo assoluto Jacobiano.

grande è il .

massimo assoluto

2. Triangolo: Se 

 ∂x ∂x

{x ∈

∂D := (x , x ) ; y = mx + q}

1 2

(e se i lati sono obliqui rispetto agli assi x-y) ( ∂u ∂v

x = x(u, v)  

|det(J)| det

= 



 

y = y(u, v) ∂y ∂y

, studi e ottieni gli  

0

→ ≥

f (x, y) f (x) f (x) 0 (x , y )

i i ∂u ∂v

Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da v

u

Z Z

Z 2

2

il valore più basso è il , chi ti da il più |det(J)| · f (u, v)dudv

f dΩ =

minimo assoluto

grande è il . v

Ω u

massimo assoluto 1

1

3. Circonferenza: Se 2 2 2 INTEGRALI TRIPLI:

{(x − − }

∂D := x ) + (y y ) = R

0 0

( ZZZ

x = x + R cos θ

Cambio variabili: 0 f (x, y, z)dxdydz

∈

θ [0, 2π]

y = y + R sin θ Ω

0 Integrazione per Fili:

, studi e ottieni i •

0

→ ≥ ⇒

f (x, y) f (θ) f (θ) 0 θ (x , y )

i i i Se svolgi

2

{g ≤ ≤ ∈ ⊂ }

Ω := (x, y) z g (x, y) , (x, y) D R

1 2

prima l'integrale in e poi fai l'integrale doppio in .

Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da dz D

il valore più basso è il , chi ti da il più

minimo assoluto !

g (x,y)

ZZZ ZZ Z

grande è il . 2

massimo assoluto f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdy

Ω D g (x,y)

Moltiplicatori di Lagrange: 1

• Se {g ≤ ≤ ≤

D := (x, y, z) 0 ; g (x, y, z) 0 ; . . . g (x, y, z) 0} Integrazione per Strati:

1 2 n •

.

Costruisco la funzione Lagrangiana e pongo

L ~ Se svolgi prima

∇L = 0 2

{a ≤ ≤ ∈ ⊂ }

Ω := z b , (x, y) D(z) R

l'integrale doppio in e poi l'integrale semplice in .

D(z) z

L − − · · · −

(x, y, z, λ , ..., λ ) = f λ g λ g

1 n 1 1 n n !

b

 L ZZZ Z ZZ

≡ − − · · · −

f λ g λ g

x x 1 1x n nx f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdy dz



 L

 ≡ − − · · · −

f λ g λ g

 Ω D(z)

a

y y 1 1y n ny





 L

 ≡ − − · · · −

f λ g λ g

 z z 1 1z n nz



~

∇L = 

L ≡ ∈ ∞)

g = 0 x = x + ρ cos θ cos φ ρ [0,

λ 1 0

1 

.. .. ..

 

Coordinate Sferiche:

 •

 ∈

y = y + ρ sin θ cos φ θ [0, 2π]

. . .

 0





  ∈

 z = z + ρ sin φ φ [0, π]



L

 0

≡ g = 0

 λ n

n

Svolgi il sistema e trovi i punti .

(x , y , z , λ , . . . , λ ) ρ θ φ

Z Z Z Z

2 2 2

i i i 1i ni 2

Gli estremi sono i punti senza le coordinate . ·

f dΩ = ρ sin φ f (ρ, θ, φ)dρdθdφ

λ Ω ρ θ φ

1 1 1

Calcola la funzione nei punti trovati . Il punto

f (x , y , z ) 

i i i ∈ ∞)

x = x + ρ cos θ ρ [0,

che ti da il valore più basso è il , chi ti da 0

minimo assoluto 



Coordinate Cilindriche:

• ∈

il più grande è il . y = y + ρ sin θ θ [0, 2π]

massimo assoluto 0

 ∈

z = z z (−∞, +∞)



INTEGRALI DOPPI: ρ θ z

Z Z Z Z

2 2 2

ZZ ·

f dΩ = ρ f (ρ, θ, z)dρdθdz