Guida completa per l'esame di Analisi 2 e Fisica 2 e per il II anno della Triennale di Fisica

Formattazione del testo

Z ZZ 22il valore più basso è il , chi ti da il più |det(J)| · f (u, v)dudvf dΩ =minimo assolutogrande è il . vΩ umassimo assoluto 113. Circonferenza: Se 2 2 2 INTEGRALI TRIPLI:{(x − − }∂D := x ) + (y y ) = R0 0( ZZZx = x + R cos θCambio variabili: 0 f (x, y, z)dxdydz∈θ [0, 2π]y = y + R sin θ Ω0 Integrazione per Fili:, studi e ottieni i •0→ ≥ ⇒f (x, y) f (θ) f (θ) 0 θ (x , y )i i i Se svolgi2{g ≤ ≤ ∈ ⊂ }Ω := (x, y) z g (x, y) , (x, y) D R1 2prima l'integrale in e poi fai l'integrale doppio in .Calcola la funzione nei punti trovati. Il punto che ti da dz Dil valore più basso è il , chi ti da il piùminimo assoluto !g (x,y)ZZZ ZZ Zgrande è il . 2massimo assoluto f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dxdyΩ D g (x,y)Moltiplicatori di Lagrange: 1• Se {g ≤ ≤ ≤D := (x, y, z) 0 ; g (x, y, z) 0 ; . . . g (x, y,

1. Integrazione per Strati:
2. Costruisco la funzione Lagrangiana e pongo
3. L ~ Se svolgi prima
4. ∇L = 0
5. 2{a ≤ ≤ ∈ ⊂ }Ω := z b , (x, y) D(z) Rl'integrale doppio in e poi l'integrale semplice in .D(z) z
6. L − − · · · −(x, y, z, λ , ..., λ ) = f λ g λ g1 n 1 1 n n !b
7. L ZZZ Z ZZ≡ − − · · · −f λ g λ gx x 1 1x n nx f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dxdy dz
8. L ≡ − − · · · −f λ g λ g Ω D(z)ay y 1 1y n ny
9. L ≡ − − · · · −f λ g λ g z z 1 1z n nz
10. ~∇L = L ≡ ∈ ∞)g = 0 x = x + ρ cos θ cos φ ρ [0,λ 1 01
11. .. .. ..
12. Coordinate Sferiche:
13. •
14. ∈y = y + ρ sin θ cos φ θ [0, 2π]. . .
15. 0

serie di potenze è una somma (finita o infinita) di polinomi S parametrizzata nelle variabili u e v della forma: u, v ∈ X^n−S = Σ a_n(x₁)ⁿ(x₂)ⁿ...(x_n)ⁿ con coefficienti dipendenti da a_n

Calcolare il Raggio di convergenza:

• R_a = 1/√(lim_n→∞ |a_n+1|/a_n|R_n|)

Relazioni utili:

• (n+1)! = (n + 1)n!
• (n + 1)ⁿ = (n + 1)(n + 1)
• B(n) = B_Z∩S = ∫∫...∫f(S(u, v)) dS
• nⁿ∫∫...∫f(x, y, z)dS = ∫∫...∫f(S(u, v)) dudv

Per calcolare l'integrale hai bisogno di:

1. Discutere convergenza della serie:
• Trovare l'equazione di S = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) converge puntualmente solo in:
• z → 0
• Calcolare il prodotto vettoriale tra le derivate parziali:
• conv. punt. unif. in R = ∞ → ∀x ∈ [-z_k, z_k], k > 0
• conv. punt. in unif. in |z - |

• • _∂f _∂f _∂fGradiente: ~_∇f = , , ∞_∂x _∂y _∂z 1Geometrica: X n ⇐⇒ ₋1x = < x < 1₋1 x_∂F _∂F _∂FDivergenza: 2 31~ ~ n=0_∇ · F = + +_∂x _∂y _∂z ∞Telescopica: X ₋f (x) f (x) = f (x) + f (x) + ... + f (x)  n+k n 0 1 kî ĵ k̂ n=0_{∂ ∂∂}Rotore: ~ ~  _∇ × F = det = ∞ ∞  n nx x_∂x _∂y _∂z Esponenziale: Logaritmica: XX  x= e = ln xF F F n! n1 2 3 n=0 n=1Tutte le altre serie date dallo sviluppo di Taylor _∂F _∂F _∂F _∂F _∂F _∂F3 2 1 3 1 2− − −î + ĵ + k̂_∂y _∂z _∂z _∂x _∂y _∂x Applica la sostituzione degli indici per le serie note:•Teorema della Divergenza:• 21 xX Xn+2 p − −= x 1=ES. x = xZZ ZZZ − −1 x 1 x~ ~ ~ ~ ~≡ · _∇
  1. ·Φ(F ) F dS = F dxdydz n=0 p=2∂Ω Ω | {z }n+2=p
  2. Teorema di Stokes:
  • • ZdS, e hanno lo stesso raggio di convergenza: se
  • • S SdxI ZZ dx~ ~ ~ ~ ~≡ · ∇ × ·Γ(F ) F d~s = F d S riconosci la serie come derivata o primitiva di una serie nota,
  • γ S studia quella se è più facile.
  • Inoltre, la somma della serie sarà la derivata/primitiva della
  3. Teorema di Gauss-Green:
  • • somma della serie nota. I ZZ ∂g(x, y) ∂f (x, y)− dxdyf (x, y)dx + g(x, y)dy = ∞ ∞ ∞ d∂x ∂y X X Xn+1 n n+1∂D D ES. (n + 1)x = x (n + 1)x = x xdxn=0 n=0 n=0∞la curva deve essere percorsa in verso d d 1 x∂D
  • ATTENZIONE: X p −= x x = x 1 =antiorario. Se è percorsa in verso orario, metti il segno .− 2− −dx dx 1 x (1 x)p=1.
  4. GRANDEZZE TERMODINAMICHE:
  • Primo principio:
  • • −∆U = Q L
  • Energia Interna: ( per Isoterme)
  • • ∆U = nc ∆T ∆U = 0vgas si

  espande macchina termica (L> 0 L > 0Lavoro: macchina• gas si comprime macchina frigoriferaL< 0 L < 0macchinagas assorbe calore macchina termica( (Q> 0 Q > 0Calore: macchina• gas cede calore macchina frigoriferaQ< 0 Q < 0macchinatrasformazioni irreversibili(> 0Secondo principio:• ∆S trasformazioni reversibiliuni = 0 Entropia: V T PT −• + nR ln = nc ln nR ln ∆S = ∆S + ∆S∆S = nc ln b bb bb p uni gas ambv T V T Pa a a aMACCHINE TERMICHE:Per macchina termica:• |Q |Q = L +ass cedPer macchina frigorifera/pompa di calore:• |Q | −Q = Lass cedEcienza:• L QRendimento: (macchina termica)ced≡ −η =1Q Qass ass (frigorifero)( Q≡COP assCoeciente di prestazione: f L COP = COP + 1(pompa di calore) p fQ≡ cedCOP p LUna pompa di calore trasferisce calore dall'ambiente (freddo) all'interno (ca