Guida alle dimostrazioni, Fisica con elementi di matematica

Energia cinetica

Si consideri un corpo che si muove con velocità v₀. Quando x=0, una forza contraria agisce su di esso, abbiamo quindi un'accelerazione a.

• x = v₀t - 1/2 at²
• x = v²/2a
• x = 1/2 v²/a

Calcoliamo ora il lavoro della forza:

L = F.s = ma . d = 1/2 m v² - 1/2 mv²

Moto rettilineo: spazi eguali in tempi uguali

Introduciamo la velocità:

• v' = d x/d t
• d x = v d t = v ( x t - x₀ )
• t = x t - x₀
• v_f-v₀/t-t₀ d t = d v

Posso quindi calcolare una velocità media:

• 1/2(v₀ + v) = v_m
• v = d t
• t = x - x₀
• v = 1/2 (v₀ + v)

Energia cinetica

Si consideri un corpo che si muove con velocità v₀. Quando x=0, una forza contraria agisce su di esso, abbiamo quindi un'accelerazione a.

• {0 = v + at}
• x = v₀t - 1/2 at²}
• {t = v/a}
• x = v·v₀/2 - 1/2·(v/a)²}

k = 1/2 v²/a calcoliamo ora il lavoro della forza:

L = F · s = ma · 1/2 v² - 1/2 mv²

Moto rettilineo: spazi uguali in tempi uguali

Introduciamo la velocità:

• v = Δx/Δt
• Δx = vΔt = v₀xεv = x - x₀

Assumendo intervenga una forza, e che il punto materiale subisca un'accelerazione:

• a = v_f - v₀
• aΔt = Δv
• Δv: variazione velocità

Posso quindi calcolare una velocità media:

• 1/2(v₀+v) = v_m
• {v = aεεv = v₀ - v₀}
• v̅ = 1/2 (v₀ + v)

Appunti di Raffaele De Rosa

Conservazione energia

Sapendo che L = -ΔU e L = ΔK - ΔU, si ha:

• ΔK = K₂ - K₁ = U₁ - U₂
• E = U + K => E₁ = E₂

Solo forze conservative.

Energia potenziale

G.c.a.d.e s.o.t.t.o.p.o.s.t.e alle forze gravitazionali di un tratto AB:

• L: - ΔU = -mg (Y_A - Y₀)
• U_A - U_B = mg (Y_A - Y₀)
• U_A - U_B = mgY_A - mgY₀
• U_A + mgY₀ = mgY_A + U₀
• Y₀ = 0 U₀ = 0
• U_A = mgY_A = mgh

Energia potenziale elastica

• F_E = -kx
• L = -ΔU = L = F.s
• L_e = -kΔsx
• {integral symbol}_x1^x₂-kx{integral symbol} x ^1/2 kx₁² - ^1/2 kx₂²
• ^1/2kx₂² - ^1/2kx₁² = U_A - U_B
• ^1/2kx₁² + U_B = ^1/2kx₂² + U₀
• U_B = ^1/2kx_B²

Forza elastica e moto armonico

Sono dette forze elastiche, quelle che si oppongono alle deformazioni di un corpo.

• F_- - kx

Possiamo dire che un punto materiale che si muove di moto armonico, lo si può rappresentare proiettando un punto P che si muove di moto circolare, sul diametro della circonferenza. Esso tenderà a decadere verso gli estremi del diametro.

Appunti di Raffaele De Rosa

Con a_c=-ω²r

Che è la proiezione dell'accelerazione centripeta:

Da qui:

• F=m∙a_c=-mω²r
• F=-k^.r
• r=spostamento

Un corpo sottoposto a una forza elastica, si muove di moto armonico con ω angolare e periodo T uguale a:

• ω=√^k/_m
• T=2π√^m/_k

Quantità di moto

Vettore p=mv

2° Newton:

• dp/dt=F_ris
• tantdp=(dmv)/(dt)=m(dv/dt)=m∙a

Impulso e Q. moto

Se:

• dp/dt=m∙a

Moltiplico tutto per dt:

• dp=m∙a∙dt
• mv₂-mv₁=F∙dt[mΔv=FΔt]
• FΔt=impulso=IM. INERZIA

Un corpo rigido ruota attorno a un asse

Ogni sua particella avrà E_c pari a:

• E_c=½m₁v₁²; v=ωr ⇒ ½m₁r₁²ω²

Il corpo quindi ha ½(^{∑m_ir_i2)ω2}ω² uguale per tutte le particelle, I=inerzia=(^∑m_ir_i2)E_c=½Iω²

Il momento di inerzia è la misura dell'opposizione del sistema alla variazione della velocità angolare ω.

Momento di una forza

Quando un corpo rigido imperniato a un asse è sottoposto a una forza la cui retta d’azione non passa per il perno, esso tende a ruotare. La tendenza di una forza a far ruotare un corpo attorno a un asse si misura con una grandezza vettoriale chiamata momento di una forza.

Questa forza generalmente, agisce formando un angolo θ rispetto al vettore posizione r che localizza il punto di applicazione della forza rispetto al polo (asse).

• τ= rFsinαrᵢ = F(sinα)d = braccio della forza

La somma di tutti i momenti di una forza di un corpo è uguale a Ia con I = momento di inerzia α = v. angolare

Infatti consideriamo le componenti tangenziali di ogni forza applicata a punti materiali:

• F₁ = m₁a₁
• moltiplichiamo per i rispettivi bracci:
• r₁F₁ = m₁r₁a₁
• τ₂ = m₂r₂a₂
• τₙ = mₙrₙaₙ
• τᴨ = I₁a₁

Il momento risultante di tutte le forze agenti su un corpo rigido, è proporzionale alla sua accelerazione angolare (a) e I è la costante di proporzionalità.

Momento angolare

Considerando una particella che si muove attorno a un perno con r vettore posizione e p quantità di moto, si definisce "momento angolare" L, il prodotto tra i 2 vettori.

• L = r x p
• L = mvrsmθ

Se ogni punto si muove di moto circolare r, ogni punto avrà un momento angolare L, il momento angolare totale sarà:

• L = Σ m_i v_i r_i
• sostituendo a v la velocità angolare v = wr:
• L: Σ mr_i v_i => L: (Σ mr²) w = Iw

Se il momento delle forze esterne agenti su un sistema risulta nullo, il momento angolare risulta costante.

• I = dL/dt = 0

Energia cinetica di un corpo che ruota

Combinazione dell'energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa, più l'energia cinetica di traslazione del centro di massa.

• K = 1/2 I_CM w² + 1/2 m v² _CM

Fluidi = Stevino

Un corpo immerso in un fluido subisce una pressione data dalla somma della pressione atmosferica e da quella della colonna d'acqua sovrastante.

Es. cilindro immerso. Profondità=h; superficie di base=S

Pressione colonna d'acqua:

• P = _m/^S; m=dV=dS·h ⇒P= ^dS·g·h / _S [dgh]

Poi si somma la pressione atmosferica siccome il recipiente è aperto.

• P = p_o + dgh

Legge di Pascal

Essa afferma che in assenza di forze di volume, la pressione esercitata in un qualsiasi punto del fluido, si trasmette con la stessa intensità in tutte le direzioni.

Vasi comunicanti riempiti con dei liquidi non miscibili.

• S: piano superficie di separazione
• p_og_h1 = p_og_h2

Equazione di continuità

In condizioni stazionarie, le velocità del fluido in 2 punti è inversamente proporzionale alla sezione nei 2 punti.

• v₁ s₁ = v₂ s₂ = ^V₁/_V2 = ^S₂/_S1

Teorema di Bernoulli

Ad un certo istante osservo il fluido tra S₁ e S₂. Dopo un certo tempo questo si muove e occupa il volume compreso tra S₁ e S₂. Siccome il liquido è incomprimibile:

• m = ρV₁ = ρS₁Δx = ρV₂ = ρS₂Δx₂

Il fluido poi, passa da h₁ a h₂ variando la sua energia potenziale U₁ = mgh₁, a U₂ = mgh₂. Le forze responsabili di questi moti sono le 2 forze di pressione F₁ e F₂ applicate ai lati delle sezioni analizzate, e la forza peso. Applico il teorema della variazione dell'energia cinetica e conservazione.

• L (F₁ + F_L + F_p) = L_f + L_f + 2(ρv₂v) Vf - kiL
• F₁ = ρS₁Δx
• F₂ = ρS₂Δx₂
• P_z = mgh₁ - mgh₂ = m_g(h₁ - h₂)
• P₁S₁Δx - P₂S₂Δx₂ + mgh₁ - mgh₂ = LX₁

Per un fluido stazionario vale che S₁V₁ = S₂V₂V₁ = Δx₁/Δt V₂ = Δx₂/Δt S₁ Δx₁/Δξ = S₂ Δx₂/Δξ - S₁ Δx₁ × S₂ Δx₂ V₁ = V₂ : m/ρ sostituendo e :

• P₁ m/ρ - P₂ m/ρ + mgh₁ - mgh₂ = 1/2 mV₂ Δm₁ V_L²

[P₁ + ρgh₁ + 1/2 ρV_L² = P₂ + ρgh₂ + 1/2 ρV_L²]

Venturi

Venturi mette in correlazione l'equazione di Bernoulli con un condotto in S, verificando ma rimane invariata. Siccome l'altezza è costante, il termine ρgh è costante e la si riduce a:

• p + 1/2 ρv² = costante

Ovvero la velocità aumenta se la pressione diminuisce e viceversa.

Momento di dipolo c. elettrico

• E_p : E_e
• Ep : E_e E₁ : E E₂

E^{. :} E^{. :} 1/4πε₀ q/d² + X_q E

La somma dei contributi vista la similitudine di-q e q si ha che:

• q/d = 1/4πε + 1/(4πε₀ l)

E : E = 1/4πε₀(1/x-q)(1/x-q)2pd = momento di dipolo

EP - E_e : E_e

Flusso campo elettrico (legge di Gauss)

Il flusso del campo è il prodotto del campo elettrico per la superficie. Se una carica puntiforme è racchiusa in una sfera, le linee del campo saranno sempre ortogonali a elementi infinitesimi di superficie ds, quindi:

• ∮_SE₀ = dS_E

Tutti i componenti ds formano l'area della sfera, ∮_Sc_e = 4πr²

E= ¹/_4πε * ^q/_r² ⇒ Q = ^q/_ε0

Lavoro campo elettrico e potenziale

Il lavoro non dipende dal percorso quindi lo calcolo lungo la traiettoria più comoda.

• L_A→B = FΔr = qEΔr (quindi la differenza di potenziale elettrico ΔV_AB = EΔr L_A→B = -ΔV_AB = EΔr

Conquistatori e caratteristiche

Si definisce condensatore, un dispositivo costituito da 2 conduttori, detti armature, tra i quali esiste induzione elettrostatica completa. Un piano carico presenta il seguente campo:

Il flusso è dato dal flusso attraverso le basi Φ_c0 = 2SE₀

Per la legge di Gauss, il flusso è proporzionato cariche presente su S₀ q₀ = ĠA Φ_i(ε) = ^q/_ε0 → 2^σA/_ε0 → E = ^σ/_2ε0

Di conseguenza considerando la direzione delle linee di forza dei campi generati dalle 2 armature, la loro somma tra le armature è E = ^σ/_ε0, il campo all'esterno invece è nullo.

La d.d.p. tra le 2 armature è espressa dalla seguente relazione:

• V = Ed dove d è la distanza tra le 2 armature.

Si osservi che: Q = σA = ε0E *A = ^ε0A/_d V

La quantità cerchiata è una costante di proporzionalità, e prende il nome di CAPACITÀ.

Per caricare un condensatore, è necessario un lavoro esterno che rimane come energia potenziale.

• W = ^q²/_2C = ¹/₂ qV = ¹/₂ CV²

Facilmente dimostrabile perché:

• dL = Vdq
• W = ∫^q₀ Vdq
• dE = ∫^q₀ ^q/_C dq
• ¹/_C ∫^q₀ qdq = ¹/_C [^q²/₂] = ^q²/_2C

Dove l'energia utile, viene immagazzinata prendendo il nome di densità di energia elettrica ed è:

• U = ¹/₂ ε E²

Inserendo DIELETTRICO un dielettrico tra le armature, si verrà a creare una separazione di carica all'interno dello stesso e quindi il materiale inserito produrrà a sua volta un campo elettrico caratterizzato da un fattore εr.

• E = ^E0/_εr

Nel caso del vuoto, εr = 1 altrimenti verrà comunque sia la d.d.p. verrà aumentata essa di un fattore εr con relativo aumento di C.

Generatori di tensione e f.e.m.

Il circuito è attraversato da una corrente i data dalla 1^a legge di Ohm:

• i = V/R

Determiniamo ora la f.e.m. che è un lavoro sull'unità di carica, necessario quindi a portare una carica sull'unità di tempo, nel filo del circuito.

• L'energia fornita dal generatore per far scorrere questa corrente è: Δq = i Δt ΔL = VΔq

Da queste espressioni calcoliamo la potenza del generatore:

• p = dL/dt = v dq/dt = Vi

Questo è per i generatori ideali, tuttavia sappiamo che essi contengono una resistenza R_g solitamente non trascurabile. Quindi la potenza generata dal generatore e che viene dissipata poi dal circuito è:

• ζc = Ri + R_gi

Dove R_g è la resistenza interna alla pila. Da questa equazione ricavo la corrente i:

• i = ζ/(R + R_g)

Che è la corrente che circola nel circuito, in particolare in R. Ora tramite la 1^a legge di Ohm posso calcolare la d.d.p. ai capi di R:

• V = Ri = (^R/_{R + Rg}) ζ

Resistenze in serie

Esse sono percorse dalla medesima corrente:

• V = V_AB + V_AC
• V = Ri_C + Ri_C
• V = Ri_C + R₂i_C
• R_TOT = R₁ + R₂ + R_N
• i₁ = ^V/_R1
• i₂ = ^V/_R2
• i_C = i₁ + i₂ = V(¹/_R1 + ¹/_R2)
• ¹/_R = ¹/_R1 + ¹/_R2
• R = ^R₁R₂/_{R1 + R2}

In parallelo

• V = V_AB

Due resistenze che hanno stessa d.d.p si dicono collegate in parallelo.

Campo magnetico

Il campo magnetico è un campo vettoriale generato nello spazio dal moto di una carica (corrente), da un magnete.

Il campo magnetico agisce su un corpo elettricamente carico tramite la forza di Lorentz:

• F = qvΛB

q = carica

v = velocità

B = campo magnetico

Il lavoro della forza di Lorentz è sempre nullo essendo la forza sempre perpendicolare alle velocità.

• ∠_F•Δs = (qv∠B)•(vΔt⋅∊) = 0

La forza quindi varia solo la direzione della velocità non il modulo. Una carica con v ⊥ B, descrive nello stesso un moto circolare uniforme.

• _F⊥_v
• _FL=_FC
• qvB = _mv/_r
• V = 2πr/v = 2πr/qB

Se v non è ⊥ con B, il moto sarà elicoidale. Si scompone v e v∥ smaltza il moto circolare causa quello rettilineo uniforme.

d = 2ππvii/qBd=c passo _d’onda.

Seconda legge elementare di Laplace

Un filo risente della forte di Lorentz per:

• _F=B_i∊L ove B∠L_i∊sm

_{aB = F}

Legge di Ampere

La circolazione del campo magnetico lungo una qualsiasi curva chiusa orientata Γ e proporzionale alle corrente concatenata Γ(Γ(_B))=_μoi

Legge di Gauss per il campo magnetico

Il flusso del campo magnetico _B attraverso qualsiasi superficie _s è nullo.

• ∅_⊂(_B) = 0

Legge Biot e Savart

Data una generica corrente i che scorre in un dato circuito, il campo magnetico infinitesimo prodotto dall'elemento de del circuito nel punto P individuato da r, è data da:

• dB = (μ₀ / 4π) * (i * dℓ ∧ r / r²)
• B = (μ₀ / 4π) * (i * ℓ / r²) * sinθ

Filo percorso da corrente

Per la legge di Ampere, la circolazione di B lungo ℓ è μ₀i.

Siccome il campo generato in q è uguale in ogni punto si ha che:

• 2πrB = μ₀i
• B = μ₀i / 2πr

2 fili percorsi da corrente

Legge di Faraday Neumann, Blatywell

La variazione di flusso magnetico attraverso una superficie S, genera un campo elettrico la cui circolazione è opposta alla derivata rispetto al tempo del flusso magnetico rispetto S.

• |ε(t)| = -dФB(t) / dt

Una variazione di flusso, genera una corrente tale da opporsi alle cause generanti.

Analizziamo una sbarretta in un campo magnetico

Si genera una f.e.m. cinetica perché la sbarretta si muove. Forza elettrica e magnetica si bilanciano. La forza elettrica è: qE, dove E è il campo dovuto alla separazione di carica (F. Lorentz). Il campo è uguale alla ΔV/_pietra, lunghezza della sbarretta. Quindi la forza elettrica è: Eq = ΔV/q. La forza di Lorentz è: F = qvB cosθ:

• ΔV = vBL

Ora se analizziamo una sbarretta che si muove di x₁ in un tempo t, e successivamente x₁ in t₂

• v = _{x1 - x}/_t2-t

Sostituisco in ΔV = vBL:

• ΔV = _{x1 - x}/_t2-t B L =ΔV = _SB-SB/_Δt

SB = Φ^{⊖}*: Lenz-Law

Le legge di Lenz chiarisce il verso della fem indotta. Una corrente genera un campo magnetico tale da opporsi a quello che ha generato le corrente stessa.

• xL Lx x₁