Gli infinitesimi

Gli infinitesimi

Definizione

Infinitesimo per x → α

Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo per x → α quando il limite di f(x) per x → α è uguale a 0.

Esempio

1. La funzione f(x) = x - 1 è un infinitesimo per x → 1 perché lim_x→1 (x - 1) = 0.
2. La funzione f(x) = ¹⁄_{x + 2} è un infinitesimo per x → +∞, perché lim_x→+∞ ¹⁄_{x + 2} = 0, e per x → -∞, perché lim_x→-∞ ¹⁄_{x + 2} = 0.

Funzioni del tipo ¹⁄_x, ¹⁄_x², ¹⁄_x³ … e ¹⁄_√x, ¹⁄_√³√x … sono tutte infinitesimi per x → +∞ e per x → −∞ (da quest’ultimo caso sono esclusi i reciproci delle radici di indice pari).

α può essere finito o +∞ o −∞.

▲ Figura 3 La funzione y = x − 1 è un infinitesimo per x che tende a 1. Nel punto di ascissa 1 la funzione interseca l’asse delle x.

Infinitesimi simultanei

Se f(x) e g(x) sono entrambi degli infinitesimi per x → α, si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi simultanei.

In questo caso è interessante vedere quale dei due infinitesimi tende a 0 «più rapidamente»; possiamo stabilire ciò determinando il limite (se esiste) del loro rapporto per x → α.

Siano dunque f(x) e g(x) due infinitesimi simultanei per x → α e supponiamo che esista un intorno I di α tale che g(x) ≠ 0 per ogni x ∈ I, con x ≠ α.

• Se lim_x→α f(x)/g(x) = l ≠ 0 (l finito), si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine (essenzialmente questo vuol dire che tendono a 0 con la stessa rapidità).
• Se lim_x→α f(x)/g(x) = 0, si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore a g(x) (cioè f tende a 0 più rapidamente di g).
• Se lim_x→α f(x)/g(x) = ±∞, si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore a g(x) (cioè f tende a 0 meno rapidamente di g).
• Se non esiste il lim_x→α f(x)/g(x), si dice che gli infinitesimi f(x) e g(x) non sono confrontabili.