Geometria - procedure esercizi

Retta contenuta in π formante un angolo θ con retta incidente con π

Passo 1

Trovare il punto di incidente tra π e r.

Passo 2

Trovare i vettori di giacitura di π e r.

Passo 3

Imporre: cos θ = (vr•vs)/(|vr||vs|)

Assumendo che vs sia il vettore generico di giacitura (l,m,n)

Passo 4

Imporre le condizioni s ∈ π, ciò implica che:

vs ⊥ vr π = 0

Passo 5

Costruire il sistema tramite le condizioni (Passo 4/9), individuare i possibili vettori di giacitura di s e un loro rappresentante.

Passo 6

Trovare le equazioni parametriche (P0 -> vettore applicato vettore incidente π) piano passante per un punto ed ortogonale a una retta π

Essendo il piano ortogonale a π il vettore di giacitura di r sarà anche il vettore normale del π passante.

Metodo I

Stella di piani:

• ⇒ a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
• dove P(x0,y0,z0) => punto P(π)
• vr = vn = (a,b,c)

Metodo II

Fascio improprio di piani:

• ax0 + by0 + cz0 + oI = 0
• vr = rN = (a,b,c) P(x0,y0,z0) Trovo oI e il piano
• sarà: ⇒ ax + by + cz + oI = 0

Retta Contenuta in π Formante un Angolo θ con Retta Incidente con π

Passo 1

Trovare il punto di incidente tra π e r.

Passo 2

Trovare i vettori di giacitura di π e r.

Passo 3

Imporre: \( \cos \hat{\theta} = \frac{v_π \cdot v_s}{|v_π||v_s|} \)

Assumendo che v_s sia il vettore generico di giacitura (l, m, λ).

Passo 4

Imporre la condizione \( s \subset π \), cioè implica che:

v_s ∧ v_π = 0.

Passo 5

Costruire il sistema tramite le condizioni di passo 4/3, individuare i possibili vettori di giacitura di s e un loro rappresentante.

Passo 6

Trovare le equazioni parametriche (P₀ = vettore applicato vettore incidente su π) del piano passante per un punto ed ortogonale ad una retta π essendo il piano ortogonale a r il vettore di giacitura di r sarà anche il vettore normale di π passante.

Metodo I

Stella di Piani

\( a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0 \)

dove P(x₀,y₀,z₀) → punto P cont \( v_π = \bar{v_π} = (a, b, c) \)

Metodo II

Fascio Improprio di Piani

\( ax₀ + by₀ + cz₀ + o \lambda = 0 \)

v̂ = λṅ - ι(λ₁biċ), P(x₀,y₀,z₀) trovo qs e il piano

serie ⇒ \( ax + by + cz + o \lambda = 0 \)

VERIFICARE CHE DUE RETTE SONO COINCIDENTI

SIANO:

• M:

x = P_0x + λy = P_0y + λz = P_0z + λ

• S:

x = Q_0x + 2λy = Q_0y + 2λz = Q_0z + 2λ

S: verifica X emg sono paralleli. Ovvero i vettori di giacitura sono uguali, tra loro proporzionali. Successivamente si ricerca una relazione tra il punto P₀(P_0x,P_0y,P_0z) di m (o Q₀(Q_0x,Q_0y,Q_0z) con le rette S e che dipende dal punto).

P_0x = Q_0x + λ₁λP_0y = Q_0y + 2λP_0z = Q_0z + 2λ

Se riesci a trovare vettori uguali tra di loro allora P₀ si trova su S quindi m∥S e saranno COINCIDENTI.

RETTA PASSANTE PER 2 PUNTI

METODO 1

Siamo P₀ ⟶ punti di applicazione e P₁ ⟶ generico puntodobbiamo trovare le rette passanti per questi due punti.

1. Troviamo il vettore di giacitura→ ν = P₀P₁ = (x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z₀)
2. Scriviamo le parametriche

x = P_0x + λ ν_xy = P_0y + λ ν_yz = P_0z + λ ν_z

METODO 2

Definiamo: POX = (x-x₀, y-y₀, z-z₀)

Costruiamo matrice che deve avere rango = 1

x-x₀ y₁ z₁ ν₁y-y₀ y₂ z₂ ν₂z-z₀ y₃ z₃ ν₃

Risolviamo 2 minori di ordine 2 e li poniamos uguali

x-x₀ y₀ ν₁y-y₀ y₁ ν₂ = 0

Minima Distanza tra Due Rette Sghembe

Diviene fasi :

Fase 1

Trovare un piano che contenga le nostra rette r, che sia un piano parallelo alle rette s.Le situazioni :

Fase 2

Fascio proprio di piani : per individuare utilizzo una combinazione lineare delle equazioni delle rette. α ( x + y + z ) + β ( x + z + 1 ) = 0(ho considerato rette casuali)

Da qui individuo il vettore normale

Fase 3

Imporre la condizione Π // s → pertantoΞ ⊥ r ⇒ Ξ.v_Π = 0Trovando così un generico vettore di giacitura su Π

Fase 4

Dopo aver considerato un vettore di giacitura specifico, costrutisco l'equazione del piano

Π // s

d(P,Π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²) ⇒ base la minima distanza

Piano passante per due punti e ortogonale ad un piano

Imporre il sistema delle condizioni dato che :

• Ξ - P₀ = vettore giacitura sulla parallela al piano cercato

v_Π ⊥ v_Π ⇒ v_Π.Ξ = 0

Piano passante per due punti

Siano P₀ e P punti, in particolare procedura:

1. Trovo v = P₀P = vettore giacitura rette
2. Combinazione lineare con la retta tramite forze proprie

Vettori complanari

3 vettori sono sempre complanari tra loro. Per verificare se un quarto vettore lo è basta: addurre il piano ...

Piano basssa contenente due rette

Due casi:

• Rette incidenti: se sono date in forma parametrica e conosciamo i vettori giacitura e il punto d'intersezione:

{x = x_p + l v₄ + a v_5xy = y_p + l v_4y + a v_5yz = z_i + l v_4z + a v_5z}

P(punto d'incidutta)

• Se sono date in forma cartesiana: Il vettore direzione al piano sarà:

  (a, b, c) = v_4x x v_5x

  Gioco

  |v_4x v_5x| seguente: a x + b y + (c z + o) = 0 |x y z |

  Sono l’aputati del piano per trovare il punto di intersezione.

• Rette parallele: Otteniamo il vettore direzione unica per entrambe le rette, consideriamo un punto P appartenente ad una retta e un punto Q appartenente all'exothe.

• Utilizziamo due punti per trovare una oblazione da non oblate del vettore costante comune: W = P - Q

  Importante perché passaggio per P ci evamo il nostro piano.

TROVARE EQ. SFERA SAPENDO CHE PASSA PER P E Q E’ TANGENTE AD UN PIANO

Sia π il piano a tangente alla sfera e Q-P due punti di

tangenza. Per determinarne l’equazione procediamo:

PASO 1

Trovare piano retta normale per Q e perpendicolare a π

PASO 2

Troviamo un piano equidistante da P e Q trovando un

punto generico del piano: PA = QA P(x,y,z)

PASO 3

Intersechiamo la retta e il piano trovato, per inochiarci

così: il centro della sfera.

PASO 4

Troviamo il raggio con: = PC = R

PASO 5

Troviamo l’equazione della sfera con:

(x-xc)² + (y-yc)² + (z-zc)² = R²

STUDIARE CIRCONFERENZA OTTENUTA INTERSECANDO PIANO E SFERA

Siano π e Σ piano e sfera, procedura:

PASO 1

Trovo raggio e centro per la sfera

PASO 2

Trovo retta passante per Σ₁ e ⊥ π

PASO 3

Interseco retta trovata con il piano π, trovando il centro della

circonferenza

PASO 4

Trova le distanze tra C₁ tramite le disento ((Σ, π))

e poi Trova il raggio, come R=√R²-C²C₁²

Trovare sfera tangente ad una retta con centro contenuto in una retta

Sia r la retta tangente in P alla sfera e g la retta contenente il centro di S, procedure:

Passo 1

Troviamo il piano ortogonale e che passa per P, che contiene g ed r

Passo 2

Intersezione con S e piano trovato, trovando così il centro della sfera

Trovare piani che tagliano una sfera secondo una specifica circonferenza

Considerando un fascio generico di piani del tipo α x + β y + γ z = 0, si cerca dato il centro della circonferenza generata dall'intersezione con il piano

Passo 1

Trovare la distanza Tau il centro della sfera e il centro della circonferenza

Passo 2

Trovare la distanza d((S, π)) in maniera tale da riuscire a risolvere le relazioni tra i coefficienti del fascio di piani che assolvono le condizioni

Trovare punto di tangenza tra piano e sfera

S e S una sfera e π il piano tangente ad essa, si vogliono trovare i punti di tangenza conosciuto solo π e S.

Passo 1

Troviamo il raggio di S come d((C, π))

=\(\frac{|α x_0 + β y_0 + γ z_0 + d|}{\sqrt{α^2 + β^2 + γ^2}}\)

Passo 2

Troviamo la retta perpendicolare al centro e a π

Passo 3

Intersechiamo retta e piano, trovando così il punto di intersezione

Trovare eq. sfera sapendo che passa per P e Q e tangente ad un piano

Sia π il piano tangente alla sfera e Q il suo punto di

Tangenza. Per ottenerne l'equazione facciamo:

Passo 1

Trovare piano rita passante per Q e perpendicolare a π

Passo 2

Troviamo un piano equidistante da P e Q considerando un

punto generico: PA = QA (x_C, y_C, z_C)

Passo 3

Sosteniamo le rette e il piano trovato, individuando

così il centro della sfera

Passo 4

Troviamo il raggio con: PC = R

Passo 5

Troviamo l'equazione della sfera con:

(x-x_C)² + (y-y_C)² + (z-z_C)² = R²

Studiare circonferenza ottenuta intersecando piano e sfera

Siano π e σ piano e sfera, procedura:

Passo 1

Trovo raggi C e centro della sfera

Passo 2

Trovo retta passante per C_Σ e ⊥ π

Passo 3

Interseco retta trovata con il piano π, trovando il centro della

circonferenza

Passo 4

Trovo la distanza tra C_Σ e C' tramite le distanze di (σ, π)

e poi trovo il raggio, come R = √(R_Σ-CC'²)

Trovare sfera tangente ad una retta con centro contenuto in una retta

Sia r la retta tangente in P alla sfera e s la retta contenente il centro del Σ, procedura:

Passo 1

Trovare il piano ortogonale a r passante per P che appartiene anche alla retta S

Passo 2

Intersezione con S e piano trovato, trovando così il centro della sfera

Trovare piani che tagliano una sfera secondo una specifica circonferenza

Considerarlo un fascio generico di piani;

del tipo αx + βy + γz = 0 | r = r₀ dato il centro della circonferenza generato dall'intersezione con il piano.

Passo 1

Trovare la distanza tra il centro della sfera e il centro della circonferenza

Passo 2

Trovare la distanza d(ξ, π) in maniera tale da individuare la relazione tra i coefficienti dei fascio di piani che stabiliscono le condizioni.

Trovare punto di tangenza tra piano e sfera

Se Σ una sfera e π il piano tangente ad essa, si vuole trovare il punto di tangenza conosciuto solo π e Σ:

Passo 1

Trovare il raggio di Σ come d((c, π) = |αx₀+βy₀+γz₀| / √(α²+β²+γ²)

Passo 2

Trovare la retta passante per C e ⊥ a π

Passo 3

Intersezione retta e piano, trovando così il punto di intersezione

EQUAZIONE DI UN CONO

Si P₀ la curva γ e V il vertice del cono e si voglie individuare l'equazione di quest'ultimo:

PASSO 1

Individuo un punto P₀ (x₀, y₀, z₀) e impongo che esso appartenga alla curva

PASSO 2

Individuo il vettore direzione delle rette passante per il vertice V: VP= (x₀ - x_V, y₀ - y_V, z₀ - z_V) e scrivo l'equazione parametrica: P = V + λ VP

PASSO 3

Estrando dalle rel: i punti x₀, y₀, z₀ el'ipolo e sostitut e nell'equazione del piano di γ con P ∈ γ trovado cosi il valore di λ

PASSO 4

Infine sostituire x₀, y₀, z₀ e λ nella canonica di γ (P ∈ γ)

EQUAZIONE DEL CONO

Processo analogo al cono con un perpez: in mezzo in quadrio il vettore orizzione delle rette lo abbiamo già (ossia direzione delle direttrici: cilindro), e le rette passante per P₀ (x₀, y₀, z₀).

EQUAZIONE DI UN CONO CON V TI ∞ γ

Si &heart; ∪ il cono avente come vertice V, γ con rette interzate con il piano π cercando un angolo ø è l'equazione si trova nel seguente modo.

Si π ---> vettore direzione π

Si VP ---> VP - vettore direzione ---> cos ø = Vπ . VP/ (vπ) . ( VP )

DETERMINARE SE DUE RETTE SONO COMPLANARIciò si verifica se le due rette sono:

• incidenti
• coincidenti
• parallele

Pertanto basta individuare il vettore normale e porre come:

r_S • v_π = 0     o     r_R • v_π = 0

E se conosciamo un punto del piano possiamo scrivere:

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

RETTA DI MINIMA DISTANZA

Passi per individuare tale retta:

1. Determinare parametri direttori r_S e r_R
2. Individuiamo un vettore generico delle rette lo scriverecome v_R (l, m, n)
3. Sistemo equazione di ortogonalità ν₀ con r_S e r_R
4. Troviamo fascio proprio di piani ν₁: M   impiano contenente r ovvero r_X // v_π
5. Fascio proprio dei piani di S; sezionando ilpiano contenente r ovvero r_S // v_B
6. Intersezione dei due piani trovati, risolvendostelle determinare osservare [( t · π ⋂ δ )]

RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E INCIDENTE A DUE RETTE

Siano r_I le rette e R il gruppo

con cui prosegui. Procedura: [due x e z siano soluzione]

FASE 1: Costruire piano che contiene R e pass per Pπ ⊂ r → P

FASE 2: Costruire piano che contiene S e pass per Pδ ⊂ S → P

FASE 3: E sono le rette date, ALL’INTERSEZIONE TRA π ⋂ δ   T: π ⋂ δ

Equazione di cono circonscritto a una sfera

Fase 1:

• Individuare il piano che funge da spicatore della sfera, che contiene il centro della sfera e che esce come vettore direzione v - Cv

Fase 2:

• Trovato il piano possiamo procedere nell'individuare l'espressione del cono:
• equazione sfera
• equazione piano

Equazione cilindro circonscritto a una sfera

Fase 1:

• Individuare il piano che contiene il centro della sfera e uscirne come vettore normale il vettore della generatrice del cilindro

Fase 2:

• Trovato il piano possiamo procedere nell'individuare l'espressione del cilindro:
• eq. sfera
• eq. piano

Sfera tangente ad una retta in un punto

Fase 1:

• Individuare C_p e \( \sqrt{\pi} \)

Fase 2:

• Trovo il piano contenente il centro ed ortogonale alle rette

Fase 3:

• \( \pi \bigcap \mu \rightarrow \) Trovo punto di tangente

Fase 4:

• Disegno CP per trovare il raggio della sfera e trovare così le sue equazioni.

Piano contenente due rette parallele

Siano r e s due rette parallele e si voglia individuare il piano contenente entrambe le rette, fare:

Fase 1

Individuo un vettore di giacitura delle due rette _(v&sub1;)

Fase 2

Individuo due punti generici delle due rette e individuo P₀=M₀

Fase 3

Risolvo| x-x₀ μ_x v_x || y-y₀ μ_y v_y || z-z₀ μ_z v_z |Individuandosi così il piano.

Procedura alternativa:

Utilizzo 2 fascio di piani: (1) Piano contenente una delle due rette e passante per un punto dell'altra retta.

Distanza punto retta

Siano P₁ e P₂ due punti, uno sulla retta, l'altro non appartenente ad essa e sia v_α il vettore di giacitura della retta; ho distanza punto retta pari a:

Luogo dei punti equidistanti tra due rette

d(P₁,retta) = d(P₂) => ||P₂P x v_α2|| |v_α1|| = ||P₂P x v_α2|| ||v_α2||