Geometria e Algebra - teorema fondamentale sulle applicazioni lineari

Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari

Teorema

Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K. Fissati un riferimento R = (e₁, e₂, ..., e_n) di V e un sistema S = [w₁, w₂, ..., w_n] di vettori di W, esiste un’unica applicazione lineare f : V → W tale che f(e_i) = w_i, per i = 1, 2, ..., n.

Dimostrazione

Proviamo l’esistenza. Sia v un arbitrario vettore di V, tale vettore è esprimibile come combinazione lineare dei vettori di R, ovvero:

v = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n.

Sia f l’applicazione che al vettore v ∈ V associa il vettore f(v) = x₁w₁ + x₂w₂ + ... + x_nw_n ∈ W.

Proviamo che f è lineare. Siano v₁ e v₂ due vettori di V, allora si ha v₁ = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n e v₂ = x₁'e₁ + x₂'e₂ + ... + x_n'e_n. Sommando membro a membro si ottiene v₁ + v₂ = (x₁ + x₁')e₁ + (x₂ + x₂')e₂ + ... + (x_n + x_n')e_n.

Ne segue, per definizione di f, che f(v₁ + v₂) = (x₁ + x₁')w₁ + (x₂ + x₂')w₂ + ... + (x_n + x_n')w_n = (x₁w₁ + x₂w₂ + ... + x_nw_n) + (x₁'w₁ + x₂'w₂ + ... + x_n'w_n) = f(v₁) + f(v₂).

Sia k ∈ K e sia v ∈ V. Si ha v = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n, e dunque kv = (kx₁)e₁ + (kx₂)e₂ + ... + (kx_n)e_n. Ne segue, per definizione di f, che f(kv) = (kx₁)w₁ + (kx₂)w₂ + ... + (kx_n)w_n = k(x₁w₁ + x₂w₂ + ... + x_nw_n) = kf(v).

Inoltre, essendo e_i = 0e₁ + ... + 0e_i-1 + 1e_i + 0e_i+1 + ... + 0e_n, si ottiene, per definizione di f, che f(e_i) = w_i.

Dimostrazione dell'unicità

Proviamo l’unicità. Siano g : V → W e h : V → W, due applicazioni lineari tali che g(e_i) = h(e_i) = w_i. Sia v un arbitrario vettore di V, dunque v = x₁e₁ + ... + x_ne_n. Allora si ha g(v) = g(x₁e₁ + ... + x_ne_n) = x₁g(e₁) + ... + x_ng(e_n) = x₁h(e₁) + ... + x_nh(e_n) = h(x₁e₁ + ... + x_ne_n) = h(v).

Le applicazioni lineari g e h dunque coincidono.