Geometria e Algebra T - Tipologie di domande e risposte vere del test di teoria

Risposte vere geometria ed algebra

Chiusura rispetto alla somma e al prodotto per scalare

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi X di R sono chiusi rispetto alla somma.

• X= { (x,y) ∈ R | x+y=0}
• X= L({ (1/n, 1/n) |n ∈ N})
• X= { (x,y) ∈ R | y ≥ |x|}
• X= { (x,y) ∈ R | x,y ∈ Z}

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi X di R sono chiusi rispetto al prodotto per scalare (reale).

• X= { (x,y) ∈ R | x+y=0}
• X= L({ (1/n, 1/n) |n ∈ N})
• X= { (x,y) | y = x }
• X= { (x,y) ∈ R | xy=0}

Sottoinsiemi chiusi

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi X dello spazio vettoriale reale di tutte le funzioni da R a R sono chiusi rispetto al prodotto per scalare (reale).

• X= { f: R→R | ∀x∈ R f(x) = f(-x) }
• X= { f: R→R | ∀x∈ R f(x) = - f(-x) }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi X dello spazio vettoriale reale di tutte le funzioni da R a R sono chiusi rispetto alla somma (reale).

• X= { f: R→R | ∀x∈ R f(x) = f(-x) }
• X= { f: R→R | ∀x∈ R f(x) = - f(-x) }
• X= { f: R→R | ∃n∈N ∀x∈ R f(x)= nx }
• X= { f: R→R | ∀x∈ R f(x) ≥ |x| }

Si dica quali dei seguenti insiemi di funzioni sono chiusi rispetto all’usuale somma.

• X= { f: [0,1] → R}
• X= { f: R → R}

Si dica quali dei seguenti insiemi di funzioni sono chiusi rispetto al prodotto per scalare (in R).

• X= { f: [0,1] → R}
• X= { f: R → R}

Si dica quali dei seguenti insiemi di matrici sono chiusi rispetto all’usuale somma.

• L’insieme delle matrici A ∈ M (R) triangolare alte

Si dica quali dei seguenti insiemi di matrici sono chiusi rispetto al prodotto per scalare (in R).

• L’insieme delle matrici A ∈ M (R) triangolare
• L’insieme delle matrici A ∈ M (R) triangolare alte

Sottogruppo del gruppo (R[x], +)

Quali dei seguenti insiemi X formano sottogruppo del gruppo (R[x], +) dei polinomi di qualunque grado in x a coefficiente reali con l’usuale somma.

• X= { p∈ R[x] | p ha grado =5 e tutti i coefficienti uguali fra loro } U {polinomio nullo}
• X= { p∈ R[x] | p ha termine noto nullo }

Sottoinsiemi chiusi nello spazio vettoriale reale

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di X, dello spazio vettoriale reale delle funzioni polinomiali R→R sono chiusi rispetto alla somma.

• X = { funzioni polinomiali p: R→R tali che p(42)=0 }
• X = { funzioni polinomiali i cui coefficienti sono interi }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di X, dello spazio vettoriale reale delle funzioni polinomiali R→R sono chiusi rispetto al prodotto per scalare.

• X = { funzioni polinomiali p: R→R tali che p(42)=0 }
• X = { funzioni costanti } ∪ { αx | α ∈ R } ∪ { βx | β ∈ R }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale dei polinomi in x a coefficienti reali sono chiusi rispetto alla somma.

• L’insieme dei polinomi con il termine noto razionale
• L’insieme dei polinomi o nulli o invertibili rispetto al prodotto fra polinomi
• NO L’insieme dei polinomi con al più un coefficiente non nullo
• NO L’insieme dei polinomi i cui coefficienti hanno valore assoluto < 1

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale dei polinomi in x a coefficienti reali sono chiusi rispetto al prodotto per scalare.

• L’insieme dei polinomi con al più un coefficiente non nullo
• L’insieme dei polinomi o nulli o invertibili rispetto al prodotto fra polinomi
• NO L’insieme dei polinomi con il termine noto razionale
• NO L’insieme dei polinomi i cui coefficienti hanno valore assoluto < 1

Chiusura rispetto al prodotto per scalare

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di noti spazi vettoriali sono chiusi rispetto al prodotto per scalare.

• i 55- { A= (a ) ∈ M (R)| a = 0 }j n
• - { (x,y) ∈ R | |x| =|y| }
• - { A ∈ M (R)| almeno un elemento di A è nullo }
• 5- L'insieme delle successioni reali, in cui vi sono infiniti termini nulli.

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di noti spazi vettoriali sono chiusi rispetto alla somma.

• i 55- { A= (a ) ∈ M (R)| a = 0 }j n
• - L'insieme delle successioni reali, in cui tutti i termini sono numeri interi.
• - L'insieme delle successioni reali, in cui tutti i termini sono non negativi.2
• - { (x,y) ∈ R | y ≥ x }

Dimensioni

Esistono spazi vettoriali di dimensioni finita V e W e trasformazioni lineari T: V → W tali che

• dimKerT + dimImT = dimW
• dimKerT > dimW
• dimImT < dimW
• dimImT < dimV

Sia V uno spazio vettoriale reale. Se dimV=5, allora

• Ogni base di V è formata da 5 elementi
• Se un sottoinsieme di V linearmente indipendente è formato da k elementi, allora k ≤ 5
• Se un sistema di generatori di V è formato da h elementi, allora h ≥ 5

Sia dimV ≥ 2 e sia T: V→W una qualunque trasformazione lineare non iniettiva. Allora

• Per ogni coppia (v, v’) linearmente dipendente di elementi di V, la coppia (T(v),T(v’)) è linearmente dipendente
• Esiste almeno una coppia (v, v’) linearmente indipendente di elementi di V, tale che la coppia (T(v), T(v’)) è linearmente dipendente
• Esiste almeno una coppia (v, v’) linearmente dipendente di elementi di V, tale che la coppia (T(v), T(v’)) è linearmente dipendente

Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in t a coefficiente reali, di grado ≤ 3. Se X ⊂ V ha m elementi, con m<4, allora necessariamente

• X non è un sistema di generatori di V

Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in t a coefficiente reali, di grado ≤ 3. Se X ⊂ V ha m elementi, con m>4, allora necessariamente

• X è linearmente dipendente

In uno spazio vettoriale reale V di dimensione 7 esistono sottospazi U e W tali che

• dimU = 5 e dimW = 6
• dimU = 2, dimW = 3 e dim (U∩W) = 1
• dimU = 5, dimW = 6 e dim (U+W) = 6
• dimU = 2, dimW = 3
• dimU = 2, dimW = 3 e dim (U+W) = 5

Dati uno spazio vettoriale V di dimensione 7 e due suoi sottospazi qualunque U e W di dimensioni rispettivamente 4 e 2. Allora U∩W

• ha dimensione ≤ 2.

Dati uno spazio vettoriale V di dimensione 7 e due suoi sottospazi qualunque U e W di dimensioni rispettivamente 5 e 4. Allora U∩W

• ha dimensione ≥ 2.

Se uno spazio vettoriale V ha dimensione 7, allora

• ogni sistema di generatori di V ha un numero di elementi ≥ 7
• V è isomorfo allo spazio vettoriali dei polinomi in un’indeterminata, a coefficienti reali, di grado ≤ 6
• NO in V ci sono esattamente 7 basi
• NO ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V ha esattamente 7 elementi

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 4 e W di dimensione 3

• nessuna applicazione lineare da V a W è iniettiva

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 3 e W di dimensione 4

• nessuna applicazione lineare da V a W è suriettiva

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 5 e W di dimensione 2, sia T: V → W una qualunque applicazione lineare, eventualmente uguale a quella nulla (anche detta banale). Allora per d= dim(KerT) vale

• 3 ≤ d ≤ 5

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 5 e W di dimensione 3, sia T: V → W una qualunque applicazione lineare, diversa da quella nulla (anche detta banale). Allora per d= dim(KerT) vale

• 2 ≤ d ≤ 4

Se dimV=n ed X ⊂ V ha m elementi, con m<n, allora necessariamente

• X non è un sistema di generatori di V

Se dimV=n ed X ⊂ V ha m elementi, con m>n, allora necessariamente

• X è linearmente dipendente

La dimensione di uno spazio vettoriale reale finitamente generato V è definita come

• il numero di elementi di un qualunque sistema di generatori linearmente indipendente di V
• NO il numero di elementi di V
• NO il numero di elementi di un qualunque sottoinsieme di V
• NO il numero di sottospazi vettoriali di V
• NO il numero di elementi di un qualunque sistema di generatori di V
• NO il numero di elementi di un qualunque sottoinsieme linearmente indipendente di V

In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione 6, se l'insieme X è formato da 5 vettori linearmente indipendenti, allora X

• contiene infiniti vettori.

In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione 5, se l'insieme X è formato da 5 vettori linearmente indipendenti, allora X

• contiene solo il vettore nullo.

In uno spazio vettoriale euclideo (V,<,>) di dimensione 5, sia U un sottospazio vettoriale di dimensione 2 e sia U il suo completamento ortogonale. Allora

• dim U = 3

In uno spazio vettoriale euclideo (V,<,>) di dimensione 4, sia U un sottospazio vettoriale di dimensione 2 e sia U il suo completamento ortogonale. Allora

• dim U = 2

Rappresentazione cartesiana e parametrica

Dato, in uno spazio affine di dimensione 5, il sottospazio generato da 4 punti affinentemente indipendenti, il minimo numero

• di equazioni di una sua rappresentazione cartesiana è 2.
• di parametri di una sua rappresentazione parametrica è 3.

Dato, in uno spazio affine di dimensione 5, il sottospazio generato da 3 punti affinentemente indipendenti, il minimo numero

• di equazioni di una sua rappresentazione cartesiana è 3
• di parametri di una sua rappresentazione parametrica è 2.

Quali delle seguenti sono valide rappresentazioni parametriche di sottospazi vettoriali di dimensione e di R?

• {- (x = a + b) (x = 2a) (x = c ) (x = -a + b) (x = a + 3b)}
• NO (x = a + b) (x = 2a) (x =c)
• NO (x - x = 0) (x + x + x =0)
• NO (x - x = 0) (x - x = 0) (x + x + x =0)

Matrici

Se il prodotto di due matrici A,B ∈ M (R) è la matrice nulla, allora

• Almeno una delle due matrici ha determinante nullo

Se la somma di due matrici A,B ∈ M (R) è la matrice nulla, allora

• Ogni elemento di B è l’opposto dell’elemento di A avente gli stessi indici

Sia A= (a) ∈ M (R). La matrice inversa di A

• È quella matrice B ∈ M , qualora esista, per cui A*B= B*A e tale prodotto è la matrice I
• Esiste se e solo se detA≠ 0 e in tal caso il suo generico elemento di posizione (i,j) è Aⁱ_j / detA, dove Aⁱ_j è il completamento algebrico di a_j

È ben definito il prodotto riga per colonna come applicazione

• M (R) X M (R) → M (R)^{2X4 4X2 2X2}

Qualunque siano A ∈ M (R) e B ∈ M (R), il prodotto riga per colonna (A*B)

• Esiste ed è uguale a A * B
• Esiste ed è di tipo 5X5

Qualunque siano A ∈ M (R) e B ∈ M (R), il prodotto riga per colonna B * A

• esiste ed è di tipo 3X3

Nell’anello ({ A ∈ M (R) | A diagonale }, + , *) , le matrici divisori dello zero sono esattamente quelle per cui

• a = 0 oppure b = 0 ma a + b ≠ 0

Nell’anello ({ A ∈ M (R) | A diagonale }, + , *) , le matrici invertibili (rispetto al prodotto) sono esattamente quelle per cui

• a * b ≠ 0

È uguale a zero il determinante di una qualunque matrice A ∈ M (R) tale che

• A ha tutti gli elementi tranne tre uguali a 42
• A è triangolare e ha un elemento della diagonale principale uguale a 0

Il determinante di una qualunque matrice A ∈ M (R) è

• una particolare somma di prodotti di elementi di A moltiplicati per numeri ± 1.
• NO Un insieme di 5! numeri
• NO una particolare 5-pla di elementi di A

Quali delle seguenti asserzioni sono vere?

• Il determinante di ogni matrice di tipo 1X1 è uguale all’unico elemento della matrice
• Il determinante della matrice A ∈ M (R), i cui elementi sono tutti uguali a 1, è uguale a 0
• Il determinante di ogni matrice A ∈ M (R) triangolare alta è uguale al prodotto di tutti gli elementi della diagonale principale

Sia A ∈ M (R) la matrice che rappresenta canonicamente la trasformazione lineare T. Se il rango di A è

• 4 allora T è suriettiva ma non iniettiva
• 3 allora T è non suriettiva e non iniettiva

Sia A ∈ M (R) la matrice che rappresenta canonicamente la trasformazione lineare T. Se il rango di A è

• 4 allora T è iniettiva ma non suriettiva
• 3 allora T è non suriettiva e non iniettiva

In una matrice reale A di tipo 10X20, di rango 3,

• c’è almeno una terna di righe linearmente indipendenti ma non una quaterna.
• c’è almeno una terna di colonne linearmente indipendenti ma non una quaterna.
• ogni minore di ordine 4 estratto da A ha determinante = 0.

Una matrice A ∈ M (K), con K campo, ammette inversa se e solo sent

• A ammette inversa
• le sue righe sono linearmente indipendenti
• è canonicamente associato ad un endomorfismo suriettivo di K

Siano A,B ∈ M (R) qualsiasi. Allora

• det (-A) = - det (A)
• det (A*A) = (det(A))²

Siano A,B ∈ M (R) qualsiasi. Allora

• det (A*A) = (det(A))²
• det ( A) = det (A)

Il sottoanello di (M (R), +, *) costituito dalle matrici triangolari alte

• è unitario
• ammette divisori dello zero
• contiene elementi, diversi dalla matrice nulla, che non ammettono inverso moltiplicativo

Il sottoanello di (M (R), +, *) costituito dalle matrici αI , con α ∈ R,

• è unitario
• è commutativo

Sia A ∈ M (R); condizione sufficiente perché sia detA=0 è che

• esattamente 9 elementi di A siano non nulli e gli altri siano nulli
• novantadue elementi di A siano uguali a 42

Sia A= \(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\). Se detA=0, allora la matrice inversa A

• Non esiste

Sia A= \(\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\). Se detA≠0, allora la matrice inversa A

• È uguale a 1/detA \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

Nella somma di prodotti che definisce il determinante di A= \((a_{ij})\) ∈ M (K), il fattore a_j compare

• 5! volte

Nella somma di prodotti che definisce il determinante di A= \((a_{ij})\) ∈ M (K), il fattore a_j compare

• 4! volte

Il determinante di una matrice reale è un’applicazione

• Suriettiva da M_n ad R per ogni n ∈ N

Data una qualunque matrice A = (a_ij) con i,j ∈ N, detA=

• Σ a_ij A_ij

Data una qualunque matrice triangolare alta A = (a_ij) con i,j ∈ N, detA=

• a₁₁ A₁₁

Sia A ∈ M (R). Se tutti i minori di ordine 3 estratti da A hanno determinante = 0 allora

• detA=0
• il rango di A è ≤ 2
• le righe di A sono linearmente dipendenti

Sia A ∈ M (R) di rango 4. Allora

• detA = 0
• l'endomorfismo di R a cui A è canonicamente associata non è suriettivo.

Sia A ∈ M (R) di rango 5. Allora

• le colonne di A costituiscono una base di R⁵
• l'endomorfismo di R a cui A è canonicamente associata è iniettivo.

Per ogni matrice A ∈ M (R) vale che detA=0 se e solo se

• Le righe di A sono linearmente dipendenti
• Le colonne di A sono linearmente dipendenti
• Det A=0
• Non esiste la matrice inversa di A

Siano A= \((a_{ij})\) con i ∈ N, j ∈ N, ∈ M (R) e B= \((b_{hk})\) con h ∈ N, k ∈ N, ∈ M (R), allora il generico elemento c_rs del prodotto A*B vale

• c_rs = Σ_t=1 b_rt a_ts

Siano A= \((a_{ij})\) con i ∈ N, j ∈ N, ∈ M (R) e B= \((b_{hk})\) con h ∈ N, k ∈ N, ∈ M (R), allora il generico elemento c_rs del prodotto B*A vale

• c_rs = Σ_t=1 b_st a_tr

Ricordando che la diagonale secondaria di una matrice A= \((a_{ij})\) ∈ M (R) è a n-pla \((a_{n-i+1,i})\), sia A∈M (R) una qualunque matrice i cui elementi NON appartenenti alla diagonale secondaria sono nulli. Allora detA =

• Π_i∈Nn a_i,n-i+1

Ricordando che la diagonale secondaria di una matrice A= \((a_{ij})\) ∈ M (R) è a n-pla \((a_{n-i+1,i})\), sia A∈M (R) una qualunque matrice i cui elementi NON appartenenti alla diagonale secondaria sono nulli.