Geometria e Algebra T - Tipologie di domande e risposte vere del test di teoria

Quali dei seguenti insiemi X formano sottogruppo del gruppo ( R[x], + ) dei polinomi di

qualunque grado in x a coefficiente reali con l’usuale somma?

- X= { p∈ R[x] | p ha grado =5 e tutti i coefficienti uguali fra loro } U {polinomio

nullo}

- X= { p∈ R[x] | p ha termine noto nullo }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di X, dello spazio vettoriale reale delle funzioni

polinomiali RR sono chiusi rispetto alla somma

- X = { funzioni polinomiali p: RR tali che p(42)=0 }

- X = { funzioni polinomiali i cui coefficienti sono interi }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di X, dello spazio vettoriale reale delle funzioni

polinomiali RR sono chiusi rispetto al prodotto per scalare

- X = { funzioni polinomiali p: RR tali che p(42)=0 }

2

- X = { funzioni costanti } ∪ { αx | α ∈ R } ∪ { β x | β ∈ R }

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale dei polinomi in x a

coefficienti reali sono chiusi rispetto alla somma

- L’insieme dei polinomi con il termine noto razionale

- L’insieme dei polinomi o nulli o invertibili rispetto al prodotto fra polinomi

- NO L’insieme dei polinomi con al più un coefficiente non nullo

- NO L’insieme dei polinomi i cui coefficienti hanno valore assoluto < 1

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi dello spazio vettoriale dei polinomi in x a

coefficienti reali sono chiusi rispetto al prodotto per scalare

- L’insieme dei polinomi con al più un coefficiente non nullo

- L’insieme dei polinomi o nulli o invertibili rispetto al prodotto fra polinomi

- NO l’insieme dei polinomi con il termine noto razionale

- NO L’insieme dei polinomi i cui coefficienti hanno valore assoluto < 1

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di noti spazi vettoriali sono chiusi rispetto al

prodotto per scalare.

i 55

- { A= (a ) ∈ M (R)| a = 0 }

j n

2

- { (x,y) ∈ R | |x| =|y| }

- { A ∈ M (R)| almeno un elemento di A è nullo }

5

- L'insieme delle successioni reali, in cui vi sono infiniti termini nulli.

Si dica quali dei seguenti sottoinsiemi di noti spazi vettoriali sono chiusi rispetto alla

somma. i 55

- { A= (a ) ∈ M (R)| a = 0 }

j n

- L'insieme delle successioni reali, in cui tutti i termini sono numeri interi.

- L'insieme delle successioni reali, in cui tutti i termini sono non negativi.

2

- { (x,y) ∈ R | y ≥ x } Dimensioni

Esistono spazi vettoriali di dimensioni finita V e W e trasformazioni lineari T: V  W tali

che

- dimKerT + dimImT = dimW

- dimKerT > dimW

- dimImT < dimW

- dimImT < dimV

Sia V uno spazio vettoriale reale. Se dimV=5, allora

- Ogni base di V è formata da 5 elementi

- Se un sottoinsieme di V linearmente indipendente è formato da k elementi,

allora k ≤ 5

- Se un sistema di generatori di V è formato da h elementi, allora h ≥ 5

Sia dimV ≥ 2 e sia T: VW una qualunque trasformazione lineare non iniettiva. Allora

- Per ogni coppia (v, v’) linearmente dipendente di elementi di V, la coppia (T(v),

T(v’)) è linearmente dipendente

- Esiste almeno una coppia (v, v’) linearmente indipendente di elementi di

elementi di V, tale che la coppia (T(v), T(v’)) è linearmente dipendente

- Esiste almeno una coppia (v, v’) linearmente dipendente di elementi di

elementi di V, tale che la coppia (T(v), T(v’)) è linearmente dipendente

Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in t a coefficiente reali, di grado ≤ 3. Se X ⊂ V

ha m elementi, con m<4, allora necessariamente

- X non è un sistema di generatori di V

Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in t a coefficiente reali, di grado ≤ 3. Se X ⊂ V

ha m elementi, con m>4, allora necessariamente

- X è linearmente dipendente

In uno spazio vettoriale reale V di dimensione 7 esistono sottospazi U e W tali che

- dimU = 5 e dimW = 6

- dimU = 2, dimW = 3 e dim (U∩W) = 1

- dimU = 5, dimW = 6 e dim (U+W) = 6

- dimU = 2, dimW = 3

- dimU = 2, dimW = 3 e dim (U+W) = 5

Dati uno spazio vettoriale V di dimensione 7 e due suoi sottospazi qualunque U e W

di dimensioni rispettivamente 4 e 2. Allora U∩W

- ha dimensione ≤ 2.

Dati uno spazio vettoriale V di dimensione 7 e due suoi sottospazi qualunque U e W

di dimensioni rispettivamente 5 e 4. Allora U∩W

- ha dimensione ≥ 2.

Se uno spazio vettoriale V ha dimensione 7,allora

- ogni sistema di generatori di V ha un numero di elementi ≥ 7

- V è isomorfo allo spazio vettoriali dei polinomi in un’indeterminata, a coefficienti

reali, di grado ≤ 6

- NO in V ci sono esattamente 7 basi

- NO ogni sottoinsieme linearmente indipendente di V ha esattamente 7 elementi

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 4 e W di dimensione 3

- nessuna applicazione lineare da V a W è iniettiva

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 3 e W di dimensione 4

- nessuna applicazione lineare da V a W è suriettiva

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 5 e W di dimensione 2, sia T: V  W una

qualunque applicazione lineare, eventualmente uguale a quella nulla (anche detta

banale). Allora per d= dim(KerT) vale

- 3 ≤ d ≤ 5

Dati due spazi vettoriali reali V di dimensione 5 e W di dimensione 3, sia T: V  W una

qualunque applicazione lineare, diversa da quella nulla (anche detta banale). Allora

per d= dim(KerT) vale

- 2 ≤ d ≤ 4

Se dimV=n ed X ⊂ V ha m elementi, con m<n, allora necessariamente

- X non è un sistema di generatori di V

Se dimV=n ed X ⊂ V ha m elementi, con m>n, allora necessariamente

- X è linearmente dipendente

La dimensione di uno spazio vettoriale reale finitamente generato V è definita come

- il numero di elementi di un qualunque sistema di generatori linearmente

indipendente di V

- NO il numero di elementi di V

- NO il numero di elementi di un qualunque sottoinsieme di V

- NO il numero di sottospazi vettoriali di V

- NO il numero di elementi di un qualunque sistema di generatori di V

- NO il numero di elementi di un qualunque sottoinsieme linearmente

indipendente di V

In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione 6, se l'insieme X è formato da 5

⊥

vettori linearmente indipendenti, allora X

- contiene infiniti vettori.

In uno spazio vettoriale euclideo V di dimensione 5, se l'insieme X è formato da 5

⊥

vettori linearmente indipendenti, allora X

- contiene solo il vettore nullo.

In uno spazio vettoriale euclideo (V,<,>) di dimensione 5, sia U un sottospazio

⊥

vettoriale di dimensione 2 e sia U il suo completamento ortogonale. Allora

⊥

- dim U = 3

In uno spazio vettoriale euclideo (V,<,>) di dimensione 4, sia U un sottospazio

⊥

vettoriale di dimensione 2 e sia U il suo completamento ortogonale. Allora

⊥

- dim U = 2 Rappresentazione cartesiana e parametrica

Dato, in uno spazio affine di dimensione 5, il sottospazio generato da 4 punti

affinemente indipendenti, il minimo numero

- di equazioni di una sua rappresentazione cartesiana è 2.

- di parametri di una sua rappresentazione parametrica è 3.

Dato, in uno spazio affine di dimensione 5, il sottospazio generato da 3 punti

affinemente indipendenti, il minimo numero

- di equazioni di una sua rappresentazione cartesiana è 3

- di parametri di una sua rappresentazione parametrica è 2.

Quali delle seguenti sono valide rappresentazioni parametriche di sottospazi vettoriali

3

di dimensione e di R ?

{

- (x = a + b) (x = 2a) (x = c ) (x = -a + b) (x = a + 3b)

1 2 3 4 5

{

- NO (x = a + b) (x = 2a) (x =c)

1 2 3

{

- NO (x - x = 0) (x + x + x =0)

1 4 3 4 5

{

- NO (x - x = 0) (x - x = 0) (x + x + x =0)

1 4 2 5 3 4 5

Matrici

Se il prodotto di due matrici A,B ∈ M (R) è la matrice nulla, allora

2

- Almeno una delle due matrici ha determinante nullo

Se la somma di due matrici A,B ∈ M (R) è la matrice nulla, allora

2

- Ogni elemento di B è l’opposto dell’elemento di A avente gli stessi indici

i

Sia A= (a ) ∈ M (R). La matrice inversa di A

j n

- È quella matrice B ∈ M , qualora esista, per cui A*B= B*A e tale prodotto è la

n

matrice I n

- Esiste se e solo se detA≠ 0 e in tal caso il suo generico elemento di posizione

i i i

(i,j) è A / detA, dove A è il completamento algebrico di a

j j j

È ben definito il prodotto riga per colonna come applicazione

- M (R) X M (R)  M (R)

2X42 42X3 2X3

- M (R) X M (R)  M (R)

2X3 3X2 2X2 t

Qualunque siano A ∈ M (R) e B ∈ M (R), il prodotto riga per colonna (A*B)

3X5 5X3

t t

- Esiste ed è uguale a A * B

- Esiste ed è di tipo 5X5 t t

Qualunque siano A ∈ M (R) e B ∈ M (R), il prodotto riga per colonna B * A

3X5 5X3

- esiste ed è di tipo 3X3 a00b

( )

Nell’anello ({ A ∈ M (R) | A diagonale }, + , *) , le matrici divisori dello zero

2

sono esattamente quelle per cui

- a = 0 oppure b = 0 ma a + b ≠ 0 a00b

( )

Nell’anello ({ A ∈ M (R) | A diagonale }, + , *) , le matrici invertibili

2

(rispetto al prodotto) sono esattamente quelle per cui

- a * b ≠ 0

È uguale a zero il determinante di una qualunque matrice A ∈ M (R) tale che

5

- A ha tutti gli elementi tranne tre uguali a 42

- A è triangolare e ha un elemento della diagonale principale uguale a 0

Il determinante di una qualunque matrice A ∈ M (R) è

5

- una particolare somma di prodotti di elementi di A moltiplicati per numeri ± 1.

- NO Un insieme di 5! numeri

- NO una particolare 5-pla di elementi di A

Quali delle seguenti asserzioni sono vere?

- Il determinante di ogni matrice di tipo 1X1 è uguale all’unico elemento della

matrice

- Il determinante della matrice A ∈ M (R), i cui elementi sono tutti uguali a 1, è

5

uguale a 0

- Il determinante di ogni matrice A ∈ M (R) triangolare alta è uguale al prodotto

5

di tutti gli elementi della diagonale principale

Sia A ∈ M (R) la matrice che rappresenta canonicamente la trasformazione lineare T.

4X5

Se il rango di A è

- 4 allora T è suriettiva ma non iniettiva

- 3 allora T è non suriettiva e non iniettiva

Sia A ∈ M (R) la matrice che rappresenta canonicamente la trasformazione lineare T.

5X4

Se il rango di A è

- 4 allora T è iniettiva ma non suriettiva

- 3 allora T è non suriettiva e non iniettiva

In una matrice reale A di tipo 10X20, di rango 3,

- c'è almeno una terna di righe linearmente indipendenti ma non una quaterna.

- c&