Geometria e Algebra - programma esame orale

PROGRAMMA DEL CORSO DI “GEOMETRIA E ALGEBRA”

A.A. 2007/2008

Proff. G. MAGRO – G. PICA - G. DONATI

INTRODUZIONE

Operazioni definite su un insieme. Operazioni interne ed esterne. Generalità sulle strutture algebriche: struttura di

gruppo, anello, campo.

SPAZI VETTORIALI

Definizione e proprietà elementari. Esempi notevoli di spazi vettoriali : spazio dei vettori numerici di ordine n su un

campo, spazio vettoriale delle matrici di un dato tipo, spazio vettoriale geometrico. Sottospazi di uno spazio vettoriale.

Dipendenza e indipendenza lineare. Sistemi di generatori. Lemma di Steinitz (senza dimostrazione). Basi e dimensione.

Metodi per determinare una base. Intersezione e somma di sottospazi. Formula di Grassmann (senza dimostrazione).

Somma diretta di sottospazi. Sottospazi complementari. Riferimenti di uno spazio vettoriale. Componenti di un vettore

in un riferimento. Spazi vettoriali isomorfi. Isomorfismo coordinato associato a un riferimento.

MATRICI

Matrici su un campo. Matrici quadrate, diagonali, triangolari e simmetriche. Matrice trasposta.Operazioni sulle matrici:

somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà

elementari dei determinanti (senza dimostrazione). Regola di Sarrus. Calcolo del determinante con il metodo della

riduzione a gradini (metodo di Gauss). Complemento algebrico. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Matrici

invertibili. Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile. Rango di una matrice. Teorema degli orlati (senza

dimostrazione). Calcolo del rango di una matrice.

SISTEMI LINEARI

Sistemi lineari compatibili. Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di unicità. Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

Sistemi a gradini. Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Spazio delle

soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Rappresentazione parametrica e cartesiana di sottospazi vettoriali.

APPLICAZIONI LINEARI

Definizione e proprietà. Applicazioni lineari notevoli. Composizione di applicazioni lineari. Isomorfismi. Nucleo e

immagine di una trasformazione lineare. Applicazioni lineari iniettive. Teorema delle dimensioni. Matrice associata ad

un’applicazione lineare. Rappresentazione di un’applicazione lineare. Matrici simili.

ENDOMORFISMI

Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Ricerca di autovalori e polinimio caratteristico. Molteplicità

algebrica e geometrica. Endomorfismi diagonalizzabili. Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili.

GEOMETRIA ANALITICA

Prodotto scalare standard tra vettori geometrici. Basi ortonormali. Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali in un

piano. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta in un piano. Condizioni analitiche di parallelismo e di

ortogonalità di due rette in un piano. Punto medio di un segmento.

Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali nello spazio. Rappresentazioni parametrica e cartesiana di un piano.

Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra due piani. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta nello

spazio. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra rette nello spazio. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra una

retta e un piano. Posizione geometrica reciproca di rette e piani nello spazio. Fasci di piani. Condizione affinché tre

piani appartengano a un fascio. Rette complanari e sghembe.

TESTI CONSIGLIATI

1. S. Pellegrini - A. Benini - F. Morini,“ALGEBRA LINEARE 1”,“ALGEBRA LINEARE 2”,Ed. F. Apolloni - Brescia.

2. P. Biondi. , P. M. Lo Re. “Appunti di Geometria”, E.DI.S.U.

Capitolo : INTRODUZIONE

I: Operazioni definite su un insieme.

II: Operazioni interne ed esterne.

III: Generalità sulle strutture algebriche: struttura di gruppo, anello, campo.

Capitolo I: SPAZI VETTORIALI

1.1: Definizione e proprietà elementari.

1.2: Esempi notevoli di spazi vettoriali : spazio dei vettori numerici di ordine n su un campo, spazio vettoriale

delle matrici di un dato tipo, spazio vettoriale geometrico.

1.3: Sottospazi di uno spazio vettoriale.

1.4: Dipendenza e indipendenza lineare.

1.5: Sistemi di generatori.

1.6: Lemma di Steinitz (senza dimostrazione).

1.7: Basi e dimensione.

1.8: Metodi per determinare una base.

1.9: Intersezione e somma di sottospazi.

1.10: Formula di Grassmann (senza dimostrazione).

1.11: Somma diretta di sottospazi.

1.12: Sottospazi complementari.

1.13: Riferimenti di uno spazio vettoriale.

1.14: Componenti di un vettore in un riferimento.

1.15: Spazi vettoriali isomorfi.

1.16: Isomorfismo coordinato associato a un riferimento.

Capitolo II: MATRICI

2.1: Matrici su un campo.

2.2: Matrici quadrate, diagonali, triangolari e simmetriche.

2.3: Matrice trasposta.

2.4: Operazioni sulle matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto righe per colonne.

2.5: Determinante di una matrice quadrata.

2.6: Proprietà elementari dei determinanti (senza dimostrazione).

2.7: Regola di Sarrus.

2.8: Calcolo del determinante con il metodo della riduzione a gradini (metodo di Gauss).

2.9: Complemento algebrico.

2.10: Teorema di Laplace (senza dimostrazione).

2.11: Matrici invertibili.

2.12: Calcolo della matrice inversa di una matrice invertibile.

2.13: Rango di una matrice.

2.14: Teorema degli orlati (senza dimostrazione).

2.15: Calcolo del rango di una matrice.

Capitolo III: SISTEMI LINEARI

3.1: Sistemi lineari compatibili.

3.2: Teorema di Rouché-Capelli.

3.3: Teorema di unicità.

3.4: Teorema di Cramer (senza dimostrazione).

3.5: Sistemi a gradini.

3.6: Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo di Gauss.

3.7: Sistemi lineari omogenei.

3.8: Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.

3.9: Rappresentazione parametrica e cartesiana di sottospazi vettoriali.

Capitolo VI: APPLICAZIONI LINEARI

4.1: Definizione e proprietà.

4.2: Applicazioni lineari notevoli.

4.3: Composizione di applicazioni lineari.

4.4: Isomorfismi.

4.5: Nucleo e immagine di una trasformazione lineare.

4.6: Applicazioni lineari iniettive.

4.7: Teorema delle dimensioni.

4.8: Matrice associata ad un’applicazione lineare.

4.9: Rappresentazione di un’applicazione lineare.

4.10: Matrici simili.

Capitolo V: ENDOMORFISMI

5.1: Autovalori e autovettori di un endomorfismo.

5.2: Autospazi.

5.3: Ricerca di autovalori e polinimio caratteristico.

5.4: Molteplicità algebrica e geometrica.

5.5: Endomorfismi diagonalizzabili.

5.6: Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili.

Capitolo VI: GEOMETRIA ANALITICA

6.1: Prodotto scalare standard tra vettori geometrici.

6.2: Basi ortonormali.

6.3: Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali in un piano.

6.4: Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta in un piano.

6.5: Condizioni analitiche di parallelismo e di ortogonalità di due rette in un piano.

6.6: Punto medio di un segmento.

6.7: Riferimenti cartesiani monometrici ortogonali nello spazio.

6.8: Rappresentazioni parametrica e cartesiana di un piano.

6.9: Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra due piani.

6.10: Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta nello spazio.

6.11: Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra rette nello spazio.

6.12: Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra una retta e un piano.

6.13: Posizione geometrica reciproca di rette e piani nello spazio.

6.14: Fasci di piani.

6.15: Condizione affinché tre piani appartengano a un fascio.

6.16: Rette complanari e sghembe.

Capitolo : INTRODUZIONE

I: Operazioni definite su un insieme.

II: Operazioni interne ed esterne.

III: Generalità sulle strutture algebriche: struttura di gruppo, anello, campo.

GRUPPO : La struttura (G,*) con *: G X G ->G è un GRUPPO se:

1) * è ASSOCIATIVA [(x * y) * z = x * (y * z)]

2) Esiste in G l’elemento NEUTRO [ x * e = e * x = x]

1 1

3) Ogni elemento di G è INVERTIBILE [ x * x = x * x = e]

Se 4) * è anche COMMUTATIVA [ x * y = y * x] il gruppo è ABELIANO

ANELLO: La struttura (A, +, _ ) è un ANELLO se:

1) (A, +) è un gruppo ABELIANO con elemento neutro indicato con 0

2) (A, • ) è ASSOCIATIVO

3) Vale la PROPRIETA’ DISTRIBUTIVA DEL PRODOTTO RISPETTO ALLA SOMMA

a(b+c) = ab + ac; (a+b)c = ac + ab

Se 4) (A, • ) è COMMUTATIVO l’anello si dice COMMUTATIVO

Se 5) (A, • ) è dotato di ELEMENTO NEUTRO l’anello è UNITARIO

CAMPO: Il CAMPO è un ANELLO UNITARIO e COMMUTATIVO (A, +, _ ) con ogni elemento

diverso dallo 0 INVERTIBILE.

Capitolo I: SPAZI VETTORIALI

1.1: Definizione e proprietà elementari.

Siano K un campo e V un insieme. Diremo che V e` uno spazio vettoriale sul campo K se sono definite due

operazioni: un’operazione interna su V(+) detta somma, ed un’operazione esterna(x) detta prodotto, tali che:

1) (V,+) sia un gruppo abeliano, cioe` goda delle proprieta` associativa e commutativa, abbia l'elemento nuetro e

abbia l'inverso.

2) il prodotto esterno soddisfi le seguenti proprieta`:

(h X k) Xv = hX (kXv)

(h+k) X v = hv + kv

h X (v+w) = hv + hw

1 X v = v

1.2: Esempi notevoli di spazi vettoriali : spazio dei vettori numerici di ordine n su un campo, spazio

vettoriale delle matrici di un dato tipo, spazio vettoriale geometrico.

n

Ho: a v a v .... a v 0 → a a .... a V K : Spazio vettoriale numerico di ordine n su campo K

+ + + = = = = = 0 =

1 1 2 2 t t 1 2 t

K[x]: Spazio vettoriale dei polinomi nell’indeterminata x su campo K

V : Spazio vettoriale geometrico

3 m,n

K : Spazio vettoriale delle matrici su campo K

1.3: Sottospazi di uno spazio vettoriale.

Sia V una uno spazio vettoriale sul campo K,e sia U sottoinsieme di V con U diverso dal vettore nullo.

Diciamo che U e` sottospazio vettoriale se anche lui e` spazio vettoriale su K, cioe` se gode delle stesse proprieta` di V,

restringendo la somma a UXU ed il prodotto a kXU.

1.4: Dipendenza e indipendenza lineare.

Definizione: Sia V uno spazio vettoriale e A [v ,v ,…..,v ] un sistema di vettori di V. il sistema A si dice libero,

(k) 1 2 n

ovvero i vettori di A si dicono linearmente indipendenti, se l'unica combinazione lineare dei vettori

v ,v ,…..,v che da il vettor nullo è quella a coefficienti tutti nulli. Se il sistema non è libero diremo che è

1 2 n

legato, ovvero i suoi vettori sono linearmente dipendenti.

1.5: Sistemi di generatori.

Definizione: Sia V uno spazio vettoriale e sia A un sistema non vuoto di vettori di V, si dice copertura lineare di

(k)

A,e si indica L(a), l'insieme di vettori di V che si possono esprimere come combinazione lineare di un

(k)

numero finito di vettori di A.

Definizione: Sia V uno spazio vettoriale e sia A V. Il sottospazio vettoriale L(A) si dice spazio generato da A. Se

⊆

poi L(A)=V, si dice che A è un sistema di generatori di V.

Diremo che V è finitamente generato(f.g.) se esiste in esso almeno un sistema di generatori.

(k)

Teorema: ogni spazio vettoriale V f.g. non banale ammette almeno un sistema libero di generatori.

(k)

Dimostrazione: sia S=[ v ,v ,…..,v ] un sistema di generatori di V , se S è un sistema libero di generatori allora

1 2 n (k)

il teorema è dimostrato, se S non è libero allora un suo vettore v è combinazione lineare degli

i

altri e quindi si può eliminare perché S\{v } è ancora un sistema di generatori si V.ora se S è

i

libero il teorema è dimostrato sennò si continua come prima.

1.6: Lemma di Steinitz (senza dimostrazione).

Lemma di steinitz: sia V uno spazio vettoriale f.g., sia B=[v ,v ,…..,v ] un suo sistema di generatori e sia

(k) 1 2 n

A=[u ,u ,……,u ] un sistema libero di vettori di V.allora m<=n.

1 2 m

1.7: Basi e dimensione.

Si dice base di uno spazio vettoriale V f.g. una sequenza libera di generatori di V .

(k) (k)

Teorema: tutte le basi di uno spazio vettorile V hanno lo stesso numero di vettori

(k)

Dimostrazione: siano B=[v ,v ,…..,v ] e A =[u ,u ,……,u ] due basi di V(k) .poiché B è un sistema di generatori

1 2 n 1 2 m

di V e A è un sistema libero si ha che m<=n ma invertendo i ruoli si ottiene che n<=m e quindi

m=n.

Teorema: una sequenza B=[v ,v ,…..,v ] è base se, e soltanto se, ogni vettore di V(k) si può esprimere in modo unico

1 2 n

come combinazione lineare dei vettori di B.

Lemma: se A'=[v ,v ,…..,v ] e A''=[u ,u ,……,u ] sono sequenze di vettori di V(k) tali che A=A'∪A'' è una sequenza

1 2 n 1 2 m

libera e A'∩A''=∅,allora L(A') ∩L(A'')={∅}.

Dimostrazione: se per assurdo in L(A') un vettore w≠∅ si avrebbe w=a v +a v +…..+a v ma anche

∃ ∩L(A'') 1 1 2 2 n n

w=b u +b u +…..+b u sottraendo membro a membro si otterrebbe una combinazione lineare a

1 1 2 2 m m

coefficienti non tutti nulli che da il vettor nullo dai vettori della sequenza A che per ipotesi è

libera cioè un assurdo.

Teorema del complemento di una base: sia V (k) uno spazio vettoriale di dimensione n e sia A=[v ,v ,…..,v ] ,ove

n 1 2 p

p≤n, una sequenza libera di vettori di V (k). Allora in qualunque base di

n

V (k) esiste una sequenza B' di vettori tale che A∪B' è base di V (k), inoltre

n n

L(A) e L(B') hanno in comune solo il vettor nullo.

Dimostrazione: applicando il lemma di steinitz ad una base B di V (k) si possono sostituire p vettori di B con i

n

vettori di A ottenendo così un nuovo sistema B'&