PRODOTTO SCALARE
<: ℝ3 x ℝ3 → ℝ
<ũ, ṽ> = |ũ|·|ṽ|·cosϴ
NOTAZIONE: <ũ, ṽ> = ũ · ṽ
Il prodotto scalare non è altro che il calcolo del modulo del vettore risultante dalla somma di 2 vettori
Se ũ = (u1, u2, u3) e ṽ = (v1, v2, v3) allora: <ũ, ṽ> = ∑ni=1 u(i) v(i) = u1v1 + u2v2... + unvn
PROPRIETÀ
COMMUTATIVA <ũ, ṽ> = <ṽ, ũ>
BILINEARE: <λũ, ṽ> = λ<ũ, ṽ> e <ũ, λṽ> = λ<ũ, ṽ> e <ũ1 + ũ2, ṽ> = <ũ1, ṽ> + <ũ2, ṽ>
COMBINAZIONE DELLE PRIME 2: <λũ1 + µũ2, λṽ1 + µṽ2> = λµ<ũ1, ṽ1> + λµ<ũ1, ṽ2> + λµ<ũ2, ṽ1> + λµ<ũ2, ṽ2>
LOGICA <ũ, ũ> = |ũ|2 se e solo se ũ = 0
MODULO DI UN VETTORE
Sia ũ ∈ ℝn, si dice modulo del vettore
|ũ| = √<ũ, ũ> = √u12 + u22... + un2
PROPRIETÀ
|ũ| > 0 e |ũ| = 0 sse ũ = 0
|λũ| = |λ| |ũ|, λ ∈ ℝ
- DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE: |ũ + ṽ| ≤ |ũ| + |ṽ|
- ORTOGONALITÀ: ũ · ṽ ortogonali sse <ũ, ṽ> = 0
UGUAGLIANZA IMPORTANTE
|ũ + λṽ|2 = λ2|λ|2 + 2λ <ũ, λṽ> + |ṽ|2 = |ũ|2 + |ṽ|2
DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ
<ũ, ṽ>2 ≤ |ũ|2|ṽ|2
|<ũ, ṽ>| ≤ |ũ|·|ṽ|
quindi |cos ϴ| ≤ 1
⟹ |cos ϴ| ≤ 1 ⟹ |<ũ, ṽ>| = |ũ|·|ṽ|·|cos ϴ| ⟹ <ũ, ṽ> = |ũ|·|ṽ|·cos ϴ
- se cosϴ > 0 l'angolo è acuto
- se cosϴ < 0 l'angolo è ottuso
- se cosϴ = 0 l'angolo è retto
PRODOTTO SCALARE
<u, v>:ℝ³×ℝ³→ℝ
Notazione: <u, v>=u·v=∑ui·vi
Il prodotto scalare non è altro che il calcolo del modulo del vettore risultante dalla somma di 2 vettori
Se u =
-
![Geometria e algebra lineare]()
Geometria e algebra lineare
-
![Geometria lineare]()
Geometria lineare
-
![Geometria analitica]()
Geometria analitica
-
![Appunti di Geometria e algebra lineare]()
Appunti di Geometria e algebra lineare
Recensioni
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
