Geometria e Algebra Lineare (Appunti dettagliati)

Prodotto scalare

ℝ³ x ℝ³ → ℝ

Notazione

<ũ, ṽ> = ũ · ṽ

Il prodotto scalare non è altro che il calcolo del modulo del vettore risultante dalla somma di 2 vettori.

Se ũ = (u₁, u₂, u₃) e ṽ = (v₁, v₂, v₃), allora:

<ũ, ṽ> = ∑ni=1 u(i) v(i) = u1v1 + u2v2... + unvn

Proprietà

Commutativa: <ũ, ṽ> = <ṽ, ũ>

Bilineare: <λũ, ṽ> = λ<ũ, ṽ> e <ũ, λṽ> = λ<ũ, ṽ> e <ũ₁ + ũ₂, ṽ> = <ũ₁, ṽ> + <ũ₂, ṽ>

Combinazione delle prime 2: <λũ₁ + µũ₂, λṽ₁ + µṽ₂> = λµ<ũ₁, ṽ₁> + λµ<ũ₁, ṽ₂> + λµ<ũ₂, ṽ₁> + λµ<ũ₂, ṽ₂>

Logica: <ũ, ũ> = |ũ|² se e solo se ũ = 0

Modulo di un vettore

Sia ũ ∈ ℝⁿ, si dice modulo del vettore |ũ| = √<ũ, ũ> = √u₁² + u₂²... + u_n²

Proprietà

• |ũ| > 0 e |ũ| = 0 sse ũ = 0
• |λũ| = |λ| |ũ|, λ ∈ ℝ
• Disuguaglianza triangolare: |ũ + ṽ| ≤ |ũ| + |ṽ|

Ortogonalità

ũ · ṽ ortogonali sse <ũ, ṽ> = 0

Uguaglianza importante

|ũ + λṽ|² = λ²|λ|² + 2λ <ũ, λṽ> + |ṽ|² = |ũ|² + |ṽ|²

Disuguaglianza di Schwarz

<ũ, ṽ>² ≤ |ũ|²|ṽ|²

|<ũ, ṽ>| ≤ |ũ|·|ṽ| quindi |cos ϴ| ≤ 1

⟹ |cos ϴ| ≤ 1 ⟹ |<ũ, ṽ>| = |ũ|·|ṽ|·|cos ϴ| ⟹ <ũ, ṽ> = |ũ|·|ṽ|·cos ϴ

• Se cosϴ > 0, l'angolo è acuto
• Se cosϴ < 0, l'angolo è ottuso
• Se cosϴ = 0, l'angolo è retto

Prodotto scalare

<u, v>: ℝ³×ℝ³→ℝ

Notazione

<u, v>=u·v=∑u_i·v_i

Il prodotto scalare non è altro che il calcolo del modulo del vettore risultante dalla somma di 2 vettori.

Se u = ...