Geometria e Algebra lineare - Appunti

N E

il simmetrico z’ di z si chiama inverso di z, e si denota con z . L’elemento neutro di un gruppo additivo (G,+)

-1

si chiama zero di G e si denota con 0. Il simmetrico g’ di g, si chiama opposto di g e si denota con –g.

+

ℤ

E è il gruppo additivo dei numeri interi, in quanto soddisfa tutte le condizioni necessarie.

( , )

SS

EE

M

PP

II

O

E M O

S

E M

P

I O

⋅

ℤ non è un gruppo moltiplicativo in quanto non soddisfa l’assioma 3. Si noti anche che non è possibile

( , )

definire il gruppo moltiplicativo dei numeri razionali, ma è possibile definire il gruppo moltiplicativo

⋅

ℚ dei numeri razionali non nulli. Tutti questi gruppi sono gruppi abeliani.

( \ {0}, )

D (Campo) Dicesi un insieme F con almeno due elementi e dotato di due operazioni dette

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE campo

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E ⋅

somma (+) e prodotto ( ) con le seguenti proprietà:

(F, +) è un gruppo abeliano

1 .

1 . ⋅ = ⋅ = ∀ ∈

z 0 0 z 0 , z F

2 .

2 . = ≠ ∀ ∈ non nulli

yx xy 0 , x , y F

3 .

3 . ⋅ è un gruppo abeliano

( F , )

4 .

4 . + = + ∀ ∈

( a b ) c ac ab , a , b , c F

5 .

5 .

D (Campi di Galois) Sia F un campo con q elementi. Allora F dicesi o se vale:

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE campo finito di Galois

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E ∃ ∈ = n

ℕ , con numero primo tale che q p

( p , n ) p

G S S

G S S

RR

U

P P O II

M M E

T

R II

C O

U

P P O M M E

T

R C O

CAPITOLO 2. R U

P P O I M M E

T

R I C O nn

n

D Il gruppo simmetrico S , o gruppo delle permutazioni di oggetti, con ≥ 3, è un gruppo

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE n n

D N Z O

N n

E F

I N I

Z I

O

N E

non abeliano. L’operazione usuale del gruppo simmetrico è la e si denota con .

composizione funzionale,

→ → ∈

P Se e (con )

f n a b m g n c d r

:{1, 2,..., } { , ,..., } :{1, 2,..., } { , ,..., }

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P ℕ

O O Z O

N n , a , b , m , c , d , r

R O P

O S

I Z

I O

N E ∈ ≤ ≤

sono elementi di S , allora è l’applicazione che all’intero , associa l’intero

f g S k k n

, 1

n n

= .

f g k f g k

( )( ) ( ( ))    

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

= = ∈

E Siano ad esempio: . Allora :

f g S

,

   

SS

EE

M

PP

II

O

E M O

S

E M

P

I O 5

   

2 3 5 1 4 5 3 1 4 2

   

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

= = = =

. Infatti . Si noti inoltre che

 

f g i f g k f g k

( )( ) ( ( ))

  k

i i i i i  

4 5 2 1 3

 

1 2 3 4 5  

1 2 3 4 5

≠ = ∈

. Infatti .

f g g f g f S

  5

 

3 1 2 5 4

P L’elemento neutro di un generico gruppo si chiama permutazione identica, ossia:

S

( , )

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E n

R S – C S 1

II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

A

LL

GG

EE

BB

RR

AA LL

II

NN

EE

AA

RR

EE

A

L

G

E B

R A L I

N

E A R E

 

⋯ ⋯

1 2 n

= ∈

I S

 

n n

⋯ ⋯

 

1 2 n

∈

D Si dice una permutazione che “muove” due soli oggetti.

z S

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE trasposizione

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E n

τ τ τ

∈ =

T Ogni si può scrivere come con trasposizioni a partire da .

z S z ...

EE

O R

EE

M

A k I

T O R M

A n

E O R

E M

A n 1 2 k τ τ τ

=

D Una permutazione di oggetti dicesi pari se può essere scritta come con

z ...

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE z n k

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E 1 2 k

pari. Dispari se viceversa.

 

1 2 3 4 τ τ τ

= ∈ =

E è dispari in quanto . Se si volesse invece ottenere la

f S f

 

SS

EE

M

PP

II

O

E M O

S

E M

P

I O 4 3,4 2,3 1,3

 

3 1 4 2 τ τ τ =

permutazione identica a partire da bisognerebbe scrivere .

( ( f )) I

f, 3,4 2,3 1,3 4

C

C

A

M P O D

E

II N U

M E

R II C O M P L

E

SS

SS

II

A

M P O D

E N U

M E

R C O M P L

E

CAPITOLO 3. A

M P O D

E

I N U

M E

R I C O M P L

E

S S

I 2

ℂ ℝ

D Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali. L’insieme dei numeri

:=

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

complessi è un campo rispetto all’addizione e alla moltiplicazione così definite:

+ = + + ⋅ = − + ∀ ∈ ∀ ∈

; [ ]

( a , b ) ( c , d ) ( a c , b d ) ( a , b ) ( c , d ) ( ac bd , ad bc ) ℂ ℝ

( ( a , b ), ( c , d ) , a , b , c , d )

P Nel campo dei numeri complessi, la coppia (0,0) è lo zero, la coppia (1,0) è l’unità. Invece la

RR

O PP

O SS

II

Z

II

O

N EE

P O O Z O

N

R O P

O S

I Z

I O

N E −

 

a b

− =

1

coppia (-a,-b) è l’opposto di (a,b), mentre la coppia è il simmetrico di z = (a,b).

z ,

 

+ +

2 2 2 2

 

a b a b

∈ = ∈

ℂ ℂ

D (Forma algebrica di ) Sia . Allora a + dicesi di con

( , )

z z a b

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE ib forma algebrica z,

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

Il primo addendo (a) dicesi parte reale, b dicesi componente immaginaria, dicesi unità immaginaria,

i=(0,1). i

e talvolta viene scritta come = √ (-1).

i

= + = + ⋅ = +

D .Infatti, per come abbiamo definito le

II

M

O SS

TT

R A

Z II

O

N EE

D ( a , b ) ( a , 0) (0, b ) ( a , 0) ((0,1) ( b

.0)) a ib

M

O R A

Z O

N

I M

O S

T

R A

Z I

O

N E ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

ℂ

operazioni nel campo , vale la seguente uguaglianza: .

(0,1) ( b , 0) (0 b 1 0, 0 0 b 1) (0, b )

R S – C S

2 II

CC

CC

AA

RR

DD

OO CC

II

M

EE

CC

AA LL

AA

UU

DD

II

OO CC

II

M

EE

CC

AA

R S – C S

M M

I

C C A R D

O C I

M

E C A L

A U D I

O C I M

E C A

G I G

EE

OO

M

EE

TT

RR

II

AA PP

EE

RR N

G

EE

G

N

EE

RR

II

AA EE

SS

TT

II

OO

NN

AA

LL

EE

G I G

M N

G G

N

E O M

E T R I

A P

E R N

G

E G

N

E R I

A E S

T I

O N

A L

E

A

LL

GG

EE

BB

RR

AA LL

II

NN

EE

AA

RR

EE

A

L

G

E B

R A L I

N

E A R E

S M

P

A

Z I V

E T T O R I A

L I E A

T R I C I

P

A

Z I V

E T T O R I A

L I E A

T R I C I M

o

d u l o 2 .

S

S

PP

A

Z II

O V

E

T

T

O

R II

A L

E

A

Z O V

E

T

T

O

R A L

E

CAPITOLO 1. P A

Z I O V

E

T

T

O

R I A L

E

D (Spazio vettoriale) Dicesi V su un campo F una struttura algebrica V(F)

EE

FF

II

N II

Z II

O

N EE spazio vettoriale

D N Z O

N

E F

I N I

Z I

O

N E

composta da un campo, un insieme i cui elementi sono detti vettori, e due operazioni binarie dette “somma”

e “moltiplicazione per uno scalare”, con le seguenti proprietà:

υ υ υ υ

+ ⋅ = + ∀ ∈ ∀ ∈

( a b ) a b ( a , b F , V )

1 .

1 . υ ω υ ω υ ω

+ = + ∀ ∈ ∀ ∈

a ( ) a a ( a F , , V )

2 .

2 . ω ω ω ω

= = ∀ ∈ ∀ ∈

( ab ) a (

b ) b ( a ) ( a , b F , V )

3 .

3 . υ υ υ

⋅ = &fora