Geometria e algebra Lineare

ALGEBRA LINEARE

GEOMETRIA ANALITICA

(

MATRICI )

finitimi

connotativo

( )

RIT è gruppo .

1=0

AE

@

A-

W

E

=

»

I

° un opposto

- commutati

. '

matrici

scalari

prodotto BERM

Proprietà "

'

A. a. "

per

. .

1. α(A+B)=αA+αB

2 (α+β)A=αA+βA

3. (αβ)A=α(βA)

4. 1A=A si

&

7

b

4

2

I

S mm

. min

MATRICI

TIPI DI

: ' AER "

1 "

,

MATRICE È ^

A

MATRICE RIGA E

colonna EIRM '

MATRICE A

MATRICE

www.renren.ae

QUADRATA ÉÉITI

%

SUPERIORE

MATRICE TRIANGOLARE ' : '

È

: : :

:[

matrice "

AER "

MATRICE ti

DIAGONALE j

i i. ⇒ o

»

a

,

"

"

INER Viii

IDENTITÀ

MATRICE i j

; #

# ai -1

i

⇒ ;

a ⇒

.jo

Onta

;) Vi

NULLA aij o

=

,

i.

MATRICE "

"

ER

tata

"

iter "

12

(a)

A-

TRASPOSTA .

,

ROPRIETÀ :

1. t(tA)=A

2. t(A+B)=tA+tB

3. t(λA)=λ(tA)

4. det tA=det A

5. ρ(A)=ρ(tA)

6. t(A⋅B)=(tB)⋅(tA) È

ÈAKBÉBIAK

# )

Dim :( )

B AB =

.

; ;

7. (tA)⁻1=t(A⁻1) t ftp.fnj '

⇒

fatta

TA )

MATRICE A

SIMMETRICA = ai aji

; =

It

MATRICE t

A

A

il ' ( A)

ANTISIMMETRICA = aji

'

ai .

- = .

,

MATRICE ORTOGONALE + '

A-

A =

.lt/ik.(tA)e;=fB)ttA)DimA!A=I=7tlA.!A)=tI=7(tA).tfa.i)=I=(ta).CtAf'

PRODOTTO MATRICI

FRA

lr.IR?tA.B=C=(ci;)eTEtc;=?IIa.fr

aikepi B :/

A =/ " ,

À

PROPRI ET

1. (A•B)•C=A•(B•C) Ruin

A A. E

,

2. (A+A₁)•C=A•C+A₁•C RMT

3,13

' e

,

A•(B+B₁)=A•B+A•B₁ tu

#

CE

3. α(A•B)=(αA)•B=A•(αB) ER

a

B

0mm A.

Omt On

4 Out

t'

'

.

. . ,

# I nutro

(

anello elemento )

F.) l'

In

è e-

un invertibile

"

AER "

MATRICE SINGOLARE

13 non

minuti

"

ER

N bile D=

VERSA

'

E A IBIAB '

A-

TRIC :B In

A

⇒ .

PROPRIETÀ

esiste

Se unica

è

• : A)

À A- ) "

H

' ' IA

A' "

" A

A "

I= A

in : A

= =

=

di inverse :

( '

) '

B- A-

' '

:B

A = .

f- BBYAIAIÀAAET

B)

14Mt

A- B)

( B )

A

(

A ( '

Dim A-

' '

B- A

=

LETNT

DEFINIZIONI QUI

E- VA I

|

:÷÷÷÷

Prodotto

(a) in

banale

solamente

ha la

Ax soluzione

3 0

o

=

Dim linearmente

le A

di

righe indipendenti )

pla

#

sono n

=

A nella matrice tramite

trasformabile In

4 Gauss

è

oWtAtodirmIa.a-t.A-detA.In@detAf02pH--nDimtIletA70Hplat-nHAX--IammetteasolurioneEplalIt.p

a

-

) )

IIA

(

( =-3

# '

IX

AX I

AII A-

' =

Dim =

METODI DI CALCOLO

RI CE

Mai X 2

2

1 :|

:)

: ...:)

ai

a- |

2 R DIAGONALE

A

M E

C

T i :-.

:)

: )

:* : :-.

:

: :|

÷

:| :

. .

MATRICE AGGIUNTA

} t.tt

:(ai ;) TE " ;)

A e

ai.de#n=)A.A=AA=IidetTA

A :( )

It

ALGORITMO GAUSS

4 DI

AX → '

A

IX

I =

= # ( )

Al

( ##

→ AII AIA

ÀERIAA

MATRICE kvolte

(

POTENZA

15 A e

. .

.nl#m~fpsozZI)AP=Onum

HMATRICE

Atom

POTENTE

NIL ,

invertibile

nipote

A

se è è

non

dim

AP 0mm

A 0mm

#

. ma

. )

invertibile ZBER "

A In A. D=

suppongo ⇒ Al

Al ?

'

(

"

' '

AP

A. ' B

A

B) D=

A

A

. Omm

I. =

= . .

. .

.

OPERAZIONI ELEMENTARI RIGHE

SULLE

D IRI

Ri 2 #

↳ o

Ri R

← '

2) ;

Rittrj RER

3) Ri →

' , ( )

righe

MATRICE

12 RIDOTTA per

MATRICE tutti

elemento

esiste almeno

nulla di

in ogni riga a o

con

non un

sotto di esso )

(

8

' righe

FORTEMENTE RIDOTTA per )

( tale

entrata pivot

nulla di esiste

in A s

uguale

ogni riga a

un

non

che altre

tutte entrate

colonna le

nella corrispondente uguali

sono ao ,

inoltre tutte

anche sotto di

le

la nulla righe essa

i esima è

riga

se sono

.

nulle ELIMINAZIONE GAUSS

DI Rm possibile

Data matrice " è sempre

a

una e ridotta

)

ottenere Rmm

matrice fortemente

( ai

una e elementari

tramite finito di operazioni

numero

un

sulle righe

IETÀ

> ROPR ridotte

matrici da

partire

Rmn

' "

se a A

A sono

e a

, (A) )

allora ( "

A

=p

p

ZDI MATRICE

DI UNA QUADRATA

NE di

di

il

Equivalentemente righe

numero o

colonne Il (A)

RANGO MATRICE

DI UNA p

di colonne linearmente

" indipendenti

1 massimo numero linearmente

Il di indipendenti

righe

2 massimo numero

del

Il ridotta

matrice

di apartireda

/fortemente

di

righe A

3 '

a

numero una

Il invertibile

ordine di ( detta a)

4 massimo #

minore a

in

un di

La dimensione del righe

S dalle A

sottospazio ti generato

km

di

del A

La dalle

dimensione colonne

sottoporsi

6 generato

PROPRIETÀ

plan pftfminfmm

) } '

AER

• °

.

partendo

sottospazio

#-)

pl A)

• =p

Dim ⇐ dalle

righe

di

base ti

( generato ER

4 )

#

:*

# :-# (

→ re m

. . ,

, :( :

{

III.

÷

?

i AÈÌB

:( IN

Ackn | .it Bekker "

' B.

A

⇒

< C

=

.

: :

# :#

: :

:

:

:* :*

# :

:

: :

: :-|

: " :

: :

⇐ :#

:*

:)

:

;

:

<

;

:

:|

: :* :*

: *

: :|

:

:

: :

: : hanno

di di

colonne

anche #

le righe A

=

ttttn

' l )

l

' linearmente

forza

(

generatori indipendenti

k #

per

non

platk

)

PHA ± #

la .

Dimostrazione Epftatk

#

ripetendo . ha AD

data

. ⇒

'

=p

⇒ p

si A)

(A) Ct '

=p

k k

=p =

CALCOLO DEL RANGO

ALGORITMO DI GAUSS

' della

pivot

(A) nulle

righe di

di

p = numero o

non

matrice da

ridotta partire

' A

A a )

(

E

2 della di

def

MINORI

METODO Dim

DEI rango

4

del detto

dell'a

l'

Siar

ordine te

minore

massimo con

linearmente

colonne righe indipendenti poiché

avrà

in r e

) ' -

|

esisterebbero

(a) colonne

Se

MM ' righe

allora

r k

- p

r e

. indipendenti quindi

includono M linearmente

che e

non ,

esisterebbe contro

detm '

⇒M #

n' o

minore con

un

l' ipotesi che detn #

n con

i.

sia nasino minore o .

.

Quindi ( (

) A)

(a) #

supposto (A)

è

m

p =p si

r

= =p

p

TEOREMA DI KRONELKER matrice

Sia TI

M A re nen

minore rxr e

un ,

(a)

detrito solo

Eon Allora ogni

r

= se se

p e

. Orlando

ottenuto ha determinate

txlrtp

#

minore m

nullo

Dim ottenuto

DX orlando

esistesse #

M

Se ' 1)

#

minore m

un

detti detm

esisterebbe '

# '

allora M #

M

)

con > o

un

o con

quindi il

(A) M

Se allora

esiste

# massimo

è

r p non

. )

detlm #

minore o

con

MINORE MATRICE

DI UNA

"

Sia AETT (

quadrata »

sottomatria

dice k

ogni kxk

si minore con

nzz

con ,

, È

estratta da eliminando delle :)

( ottenuto

)

colonne

A righe Ai #

k e

sue minore xni

n :

. ; ::

:<

Minore inizino

orlato

Sia AERM "

matrice che

della

M ' dice

minore minore

men

<

r

rxr si

un un

,

ottenuto ottiene

orlando colonna

altra M

Dxlrti aggiungendo

# MI

M )

' è si riga

m se a

un e

DETERMINANTE

:-.

det Rmn a

: »

FORMULA LIEBNIZ

DI III

detta ) )

usarlo )

oli

:-. a.

a.

SVILUPPO PLACE

LA

DI

÷

z # '

it

dit Ai

(A) :(

1)

1-

JÈ '

.

ai .

;

, ,

,

aeitbfg.co/hiceg.afh.bdi

3 ATRI

M 2

Ci 2 x.

ad

detta

! be

) :-. . ( )

4 Sarrus

MATRICI 3×3

µ

:{{ {

! Ig

)

5 ALGORITMO GAUSS

Di Èaii

ER detta

" n

A- )

( ;) i ⇒

i aiia

ai 7

6

-4

-3

5

1

il

> =

PROPRIETÀ detto

i )

)

righe colonne colonna

due ( nulla

10

A

Se uguali

ha riga

. o o

o una

ottenuto tramite dette

se da dita

Ritti

' R

A A ⇒

. .

e- : ;

da

ottenuto detta

R detto

Ri

tramite

se '

a A ⇒

←

e- =

- ; .

ottenuto R ftp.7detBIokt.A

da

A tramite

' il

se Ri

A

è #

, la

Se )

colonne dette

( due

colonna righe

di (

)

riga è

' somma

o

una somma

o ,

determinanti ottenuti colonna

dei )

-8 due sostituendo ( rispettivamente

quella riga o

a

le di

due colonne

(

righe ) è

cui somma

o )

colonne

deta.de ( (

TA anche

) sulle

le proprietà 2- 4 valgono

. ,

detA.FI

triangolare

matrice

- per ogni aii

,

detta

) B) fdet

Binet

( B)

det

A) (

di

teorema .

9 det detto

A (A) (A)

- ⇐ )

⇒ <

p

o u

= n

p =

)

dita dit detta '

( ( ) ) '

' A- '

# ⇒ =

o SISTEMI LINEARI incognite

di

Insieme equazioni in n

m

tipo

del : Betti

...

?

:

:X

? matriciale "

AERMIXER "

forma

in

la = :

{ . ,

i =D

AX

, completa

matrice

bn

a miti tannini

. . ( B)

al

del sistema

detto ordine

è

- n sistema

il

nulli è

lo

termini

- omogeneo

;

ne i sono sistema

di elementi soluzione

ufla » soddisfa

del

(

> × i

una . se

n una

, i

. ,

,

tutte le equazioni

m hanno

sistemi ricavabili

soluzione

la

Due (

stessa

equivalenti confound

sono

- se

TEOREMA CHE CAPELLI

ROU

DI -

compatibile ( )

# AIB

AX =D è #

i =p

p liberi

da

Se compatibile soluzioni parametri

le dipendono

2 è up

#

dove (A) B) incognite

=p equazioni

:p numero

p -

numero n

= .

,

METODI RISOLUZIONE

DI

505

| NE

TU 2 IO

T I

RIDURRE FORTEMENTE

2 CON Gauss )

(

} solo

METODO DE INVERSA

Lei p

se = m

AX '

⇐

B ⇐ AX B

' )

t' D

> A-

a- x

= =

= 3)

del metodo

derivato

(

4 CRAMER di

:B alla colonna

sostituendo

matrice

dette A

j

B esima

× - ;

= .

, data I

Dim MI

Aja =tAh#tiithA==

: ' ; B

A off

= * ; = det A

dita

VETTORI GEOMETRICI

( euclidea

Szi )

geometria

Piano con

ordinario

I SPAZIO

: ORDINARI 0

} (

A 3

Be Su 7 rpn EB

A

retta

!

At

3) B ⇒

. a

.

n .

, . .

. . .

, .

semiretta

da

parti AI

segmento

divisa

viene B

A

in e

2

3

r e e

i nullo )

segmento

(

IB

A degenere

è

=D è punto

unica

⇒ un

non

r o

.

VETTORE estremo

avente

vettore 0

0 fu

Fissato applicato segmento

I è in

in

e un

un

, #

estremo

( ) )

vincolato

estremo estremo

(

0 libero I

altro

P l' ⇒

è =

.

È Ó

P ?

0 ⇒ =

= }

{ di

tutti

(a) vettori applicati

fu

Vu 0

in o

i

= t.at

ai

#

DATI ASSOCIATI VETTORE

AD UN

ÉOÌEV la direzione

Ó di retta

la

)

( p

P

zione è

re O

per

o e

, ,

il la contenute

semiretta

di di

è

verso p

verso origine o ,

Ì indeterminati

direzione

è ⇒

= sono

verso

e dato

unità

Fissata indichiamo

È

Su

di EK (a)

I

MODULO misura in

un = con

u , unità

la del all'

#

't

li rispetto

lunghezza I di

segmento

:| misura n .

FI dice modulo di it

si .

vettore univocamente direzione modulo

determinato da

è

un verso e

, .

vettore modulo

di

Ers

✓ ore 2

RIFERIMENTO

SISTEMI DI (

Oij

sistema

Un di Oe f. dai

) definito

riferimento è

ortogonale

cartesiano in

punto detta

E

applicato

a) origine

un

b) 0

i

versare

un in il

che

tale

0

applicato j

c) sovrappone

in

j si

e

versare

versare a

un rotazione ad

rad intorno antiorario

0

di # in senso

con una

Le dicono

di

direzioni J

t si Asse DELLE

DELLE ORDINATE

ascisse Asse

e e

Il di j ASCISIE

t DELLE

DELLE

SEMI ORDINATE

i positivi

Arsi

verso e sono e

( ad

sistema

Fissato )

Otj punto

di Oxy PESN possiamo

riferimento ogni associare

un #

ordinata ( =P

di Xp

coppia numeri

una ,

IÀFVFÌD

:( #

Dati :( '

a #

B

xa x.

, ,

,

2 Un sistema di dai

( 5

Otjk definito

riferimento ) in è

ortogonale

cartesiano ,

Oef

a) punto

un tra loro perpendicolari

applicati

b) j 0

i.

a versai in a al di tale che jrr

perpendicolare

applicato

I versante J i.

in te

o e

piano

un ,

la destra

della

soddisfano regola mano

E

di

direzioni

Assi 5

: i. ,

di I

t

Semiassi j

versi

Positivi : , ,

Fissato sistema ad

Oiji

di punto

riferimento PES ordinata

terna

ogni una

associo

un }

vettore determinato

resta dall'

È

di i.

yozd completamente

( estremo

Ogni

P

numeri xp . .

, . II

il

libero vettore (

matrice

( » »

la

Definisco

D= xp 2

xp con yp

»

, , .

Ì xpttypjtzpte

= CON

OPERAZIONI VETTORI

I

PRODOTTO VETTORE PER

UN

DI S