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Geometria e algebra Lineare

Appunti di geometria e algebra lineare basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Ugaglia dell’università degli Studi di Palermo - Unipa, della facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali. Scarica il file in formato PDF!

Esame di Geometria e algebra lineare docente Prof. L. Ugaglia

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ESTRATTO DOCUMENTO

invertibile

"

AER "

MATRICE SINGOLARE

13 non

minuti

"

ER

N bile D=

VERSA

'

E A IBIAB '

A-

TRIC :B In

A

⇒ .

PROPRIETÀ

esiste

Se unica

è

• : A)

À A- ) "

H

' ' IA

A' "

" A

A "

I= A

in : A

= =

=

di inverse :

( '

) '

B- A-

' '

:B

A = .

f- BBYAIAIÀAAET

B)

14Mt

A- B)

( B )

A

(

A ( '

Dim A-

' '

B- A

=

LETNT

DEFINIZIONI QUI

E- VA I

|

:÷÷÷÷

Prodotto

(a) in

banale

solamente

ha la

Ax soluzione

3 0

o

=

Dim linearmente

le A

di

righe indipendenti )

pla

#

sono n

=

A nella matrice tramite

trasformabile In

4 Gauss

è

oWtAtodirmIa.a-t.A-detA.In@detAf02pH--nDimtIletA70Hplat-nHAX--IammetteasolurioneEplalIt.p

a

-

) )

IIA

(

( =-3

# '

IX

AX I

AII A-

' =

Dim =

METODI DI CALCOLO

RI CE

Mai X 2

2

1 :|

:)

: ...:)

ai

a- |

2 R DIAGONALE

A

M E

C

T i :-.

:)

: )

:* : :-.

:

: :|

÷

:| :

. .

MATRICE AGGIUNTA

} t.tt

:(ai ;) TE " ;)

A e

ai.de#n=)A.A=AA=IidetTA

A :( )

It

ALGORITMO GAUSS

4 DI

AX → '

A

IX

I =

= # ( )

Al

( ##

→ AII AIA

ÀERIAA

MATRICE kvolte

(

POTENZA

15 A e

. .

.nl#m~fpsozZI)AP=Onum

HMATRICE

Atom

POTENTE

NIL ,

invertibile

nipote

A

se è è

non

dim

AP 0mm

A 0mm

#

. ma

. )

invertibile ZBER "

A In A. D=

suppongo ⇒ Al

Al ?

'

(

"

' '

AP

A. ' B

A

B) D=

A

A

. Omm

I. =

= . .

. .

.

OPERAZIONI ELEMENTARI RIGHE

SULLE

D IRI

Ri 2 #

↳ o

Ri R

← '

2) ;

Rittrj RER

3) Ri →

' , ( )

righe

MATRICE

12 RIDOTTA per

MATRICE tutti

elemento

esiste almeno

nulla di

in ogni riga a o

con

non un

sotto di esso )

(

8

' righe

FORTEMENTE RIDOTTA per )

( tale

entrata pivot

nulla di esiste

in A s

uguale

ogni riga a

un

non

che altre

tutte entrate

colonna le

nella corrispondente uguali

sono ao ,

inoltre tutte

anche sotto di

le

la nulla righe essa

i esima è

riga

se sono

.

nulle ELIMINAZIONE GAUSS

DI Rm possibile

Data matrice " è sempre

a

una e ridotta

)

ottenere Rmm

matrice fortemente

( ai

una e elementari

tramite finito di operazioni

numero

un

sulle righe

IETÀ

> ROPR ridotte

matrici da

partire

Rmn

' "

se a A

A sono

e a

, (A) )

allora ( "

A

=p

p

ZDI MATRICE

DI UNA QUADRATA

NE di

di

il

Equivalentemente righe

numero o

colonne Il (A)

RANGO MATRICE

DI UNA p

di colonne linearmente

" indipendenti

1 massimo numero linearmente

Il di indipendenti

righe

2 massimo numero

del

Il ridotta

matrice

di apartireda

/fortemente

di

righe A

3 '

a

numero una

Il invertibile

ordine di ( detta a)

4 massimo #

minore a

in

un di

La dimensione del righe

S dalle A

sottospazio ti generato

km

di

del A

La dalle

dimensione colonne

sottoporsi

6 generato

PROPRIETÀ

plan pftfminfmm

) } '

AER

• °

.

partendo

sottospazio

#-)

pl A)

• =p

Dim ⇐ dalle

righe

di

base ti

( generato ER

4 )

#

:*

# :-# (

→ re m

. . ,

, :( :

{

III.

÷

?

i AÈÌB

:( IN

Ackn | .it Bekker "

' B.

A

< C

=

.

: :

# :#

: :

:

:

:* :*

# :

:

: :

: :-|

: " :

: :

⇐ :#

:*

:)

:

;

:

<

;

:

:|

: :* :*

: *

: :|

:

:

: :

: : hanno

di di

colonne

anche #

le righe A

=

ttttn

' l )

l

' linearmente

forza

(

generatori indipendenti

k #

per

non

platk

)

PHA ± #

la .

Dimostrazione Epftatk

#

ripetendo . ha AD

data

. ⇒

'

=p

⇒ p

si A)

(A) Ct '

=p

k k

=p =

CALCOLO DEL RANGO

ALGORITMO DI GAUSS

' della

pivot

(A) nulle

righe di

di

p = numero o

non

matrice da

ridotta partire

' A

A a )

(

E

2 della di

def

MINORI

METODO Dim

DEI rango

4

del detto

dell'a

l'

Siar

ordine te

minore

massimo con

linearmente

colonne righe indipendenti poiché

avrà

in r e

) ' -

|

esisterebbero

(a) colonne

Se

MM ' righe

allora

r k

- p

r e

. indipendenti quindi

includono M linearmente

che e

non ,

esisterebbe contro

detm '

⇒M #

n' o

minore con

un

l' ipotesi che detn #

n con

i.

sia nasino minore o .

.

Quindi ( (

) A)

(a) #

supposto (A)

è

m

p =p si

r

= =p

p

TEOREMA DI KRONELKER matrice

Sia TI

M A re nen

minore rxr e

un ,

(a)

detrito solo

Eon Allora ogni

r

= se se

p e

. Orlando

ottenuto ha determinate

txlrtp

#

minore m

nullo

Dim ottenuto

DX orlando

esistesse #

M

Se ' 1)

#

minore m

un

detti detm

esisterebbe '

# '

allora M #

M

)

con > o

un

o con

quindi il

(A) M

Se allora

esiste

# massimo

è

r p non

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detlm #

minore o

con

MINORE MATRICE

DI UNA

"

Sia AETT (

quadrata »

sottomatria

dice k

ogni kxk

si minore con

nzz

con ,

, È

estratta da eliminando delle :)

( ottenuto

)

colonne

A righe Ai #

k e

sue minore xni

n :

. ; ::

:<

Minore inizino

orlato

Sia AERM "

matrice che

della

M ' dice

minore minore

men

<

r

rxr si

un un

,

ottenuto ottiene

orlando colonna

altra M

Dxlrti aggiungendo

# MI

M )

' è si riga

m se a

un e

DETERMINANTE

:-.

det Rmn a

: »

FORMULA LIEBNIZ

DI III

detta ) )

usarlo )

oli

:-. a.

a.

SVILUPPO PLACE

LA

DI

÷

z # '

it

dit Ai

(A) :(

1)

1-

JÈ '

.

ai .

;

, ,

,

aeitbfg.co/hiceg.afh.bdi

3 ATRI

M 2

Ci 2 x.

ad

detta

! be

) :-. . ( )

4 Sarrus

MATRICI 3×3

µ

:{{ {

! Ig

)

5 ALGORITMO GAUSS

Di Èaii

ER detta

" n

A- )

( ;) i ⇒

i aiia

ai 7

6

-4

-3

5

1

il

> =

PROPRIETÀ detto

i )

)

righe colonne colonna

due ( nulla

10

A

Se uguali

ha riga

. o o

o una

ottenuto tramite dette

se da dita

Ritti

' R

A A ⇒

. .

e- : ;

da

ottenuto detta

R detto

Ri

tramite

se '

a A ⇒

e- =

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ottenuto R ftp.7detBIokt.A

da

A tramite

' il

se Ri

A

è #

, la

Se )

colonne dette

( due

colonna righe

di (

)

riga è

' somma

o

una somma

o ,

determinanti ottenuti colonna

dei )

-8 due sostituendo ( rispettivamente

quella riga o

a

le di

due colonne

(

righe ) è

cui somma

o )

colonne

deta.de ( (

TA anche

) sulle

le proprietà 2- 4 valgono

. ,

detA.FI

triangolare

matrice

- per ogni aii

,

detta

) B) fdet

Binet

( B)

det

A) (

di

teorema .

9 det detto

A (A) (A)

- ⇐ )

⇒ <

p

o u

= n

p =

)

dita dit detta '

( ( ) ) '

' A- '

# ⇒ =

o SISTEMI LINEARI incognite

di

Insieme equazioni in n

m

tipo

del : Betti

...

?

:

:X

? matriciale "

AERMIXER "

forma

in

la = :

{ . ,

i =D

AX

, completa

matrice

bn

a miti tannini

. . ( B)

al

del sistema

detto ordine

è

- n sistema

il

nulli è

lo

termini

- omogeneo

;

ne i sono sistema

di elementi soluzione

ufla » soddisfa

del

(

> × i

una . se

n una

, i

. ,

,

tutte le equazioni

m hanno

sistemi ricavabili

soluzione

la

Due (

stessa

equivalenti confound

sono

- se

TEOREMA CHE CAPELLI

ROU

DI -

compatibile ( )

# AIB

AX =D è #

i =p

p liberi

da

Se compatibile soluzioni parametri

le dipendono

2 è up

#

dove (A) B) incognite

=p equazioni

:p numero

p -

numero n

= .

,

METODI RISOLUZIONE

DI

505

| NE

TU 2 IO

T I

RIDURRE FORTEMENTE

2 CON Gauss )

(

} solo

METODO DE INVERSA

Lei p

se = m

AX '

B ⇐ AX B

' )

t' D

> A-

a- x

= =

= 3)

del metodo

derivato

(

4 CRAMER di

:B alla colonna

sostituendo

matrice

dette A

j

B esima

× - ;

= .

, data I

Dim MI

Aja =tAh#tiithA==

: ' ; B

A off

= * ; = det A

dita

VETTORI GEOMETRICI

( euclidea

Szi )

geometria

Piano con

ordinario

I SPAZIO

: ORDINARI 0

} (

A 3

Be Su 7 rpn EB

A

retta

!

At

3) B ⇒

. a

.

n .

, . .

. . .

, .

semiretta

da

parti AI

segmento

divisa

viene B

A

in e

2

3

r e e

i nullo )

segmento

(

IB

A degenere

è

=D è punto

unica

⇒ un

non

r o

.

VETTORE estremo

avente

vettore 0

0 fu

Fissato applicato segmento

I è in

in

e un

un

, #

estremo

( ) )

vincolato

estremo estremo

(

0 libero I

altro

P l' ⇒

è =

.

È Ó

P ?

0 ⇒ =

= }

{ di

tutti

(a) vettori applicati

fu

Vu 0

in o

i

= t.at

ai

#

DATI ASSOCIATI VETTORE

AD UN

ÉOÌEV la direzione

Ó di retta

la

)

( p

P

zione è

re O

per

o e

, ,

il la contenute

semiretta

di di

è

verso p

verso origine o ,

Ì indeterminati

direzione

è ⇒

= sono

verso

e dato

unità

Fissata indichiamo

È

Su

di EK (a)

I

MODULO misura in

un = con

u , unità

la del all'

#

't

li rispetto

lunghezza I di

segmento

:| misura n .

FI dice modulo di it

si .

vettore univocamente direzione modulo

determinato da

è

un verso e

, .

vettore modulo

di

Ers

✓ ore 2

RIFERIMENTO

SISTEMI DI (

Oij

sistema

Un di Oe f. dai

) definito

riferimento è

ortogonale

cartesiano in

punto detta

E

applicato

a) origine

un

b) 0

i

versare

un in il

che

tale

0

applicato j

c) sovrappone

in

j si

e

versare

versare a

un rotazione ad

rad intorno antiorario

0

di # in senso

con una

Le dicono

di

direzioni J

t si Asse DELLE

DELLE ORDINATE

ascisse Asse

e e

Il di j ASCISIE

t DELLE

DELLE

SEMI ORDINATE

i positivi

Arsi

verso e sono e

( ad

sistema

Fissato )

Otj punto

di Oxy PESN possiamo

riferimento ogni associare

un #

ordinata ( =P

di Xp

coppia numeri

una ,

IÀFVFÌD

:( #

Dati :( '

a #

B

xa x.

, ,

,

2 Un sistema di dai

( 5

Otjk definito

riferimento ) in è

ortogonale

cartesiano ,

Oef

a) punto

un tra loro perpendicolari

applicati

b) j 0

i.

a versai in a al di tale che jrr

perpendicolare

applicato

I versante J i.

in te

o e

piano

un ,

la destra

della

soddisfano regola mano

E

di

direzioni

Assi 5

: i. ,

di I

t

Semiassi j

versi

Positivi : , ,

Fissato sistema ad

Oiji

di punto

riferimento PES ordinata

terna

ogni una

associo

un }

vettore determinato

resta dall'

È

di i.

yozd completamente

( estremo

Ogni

P

numeri xp . .

, . II

il

libero vettore (

matrice

( » »

la

Definisco

D= xp 2

xp con yp

»

, , .

Ì xpttypjtzpte

= CON

OPERAZIONI VETTORI

I

PRODOTTO VETTORE PER

UN

DI SCALARE

UNO

' I =/ »

EV R

) aii' µ

(a) V. (a)

vxvyvz avy

a E

E

, =

, ,

:

sistema

dal di

Non dipende '

riferimento , concordi

#

i. P

Ho e >

a ⇒

* sono

o o

e discordi

a < o sono

IN

#

la til

" = .

SOMMA DI VETTORI

2 :(

:( )

Ìt

È ) È

(

È )

va

vi

vx vxtwx vatwa

vytwy

wa

wxwy

=

, dal sistema di

dipende riferimento

. È

io

non ,

la

vale del parallelogramma è

regola →

. PROPRIETÀ tie'

Iàevfo ) ètò

E

D t = Fxè

.ie#o)it( )

E)

vii. .it

è ii.

2) .

)

tvtkp

'

E

iii.

3) i

=

t.ie#o)7ievn(o)Iii+ft)=oIti'ek(o)tii=i

4) '

.dz#.i'EVn(o)d,Rat)f2idDv '

6) ta , #

7) '

Di

che

Va dirti

' dai

I' (a) ( dita

L =

, , , , dft.tv#=aPtavI

Iùfk

FAER (a)

9) ,

DIFFERENZA :( )

)

itfù

ii. ii. 4-

4- wxvy.my wz coda

del metodo

metodo parallelogramma punto .

n

- r

,

àù ii.

ù

= è

→ >

< >

.

VETTORI PARALLELI )

( Ó

paralleli «

òà

vettori si # punti

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e

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sono i

se a

= ,

( hanno hanno )

stesso

lo opposto

Disco

verso

CONCI verso

se

se ,

ù

Ù # È

illw '

#

(a)

ev 7 i

⇒ a.

< ae -

o

, .

, , ,

diw È yù

allineati

ii. òà I

à ii.

'

ai ⇒

o p

con a

. = , , ,

allineati

èàò ' i

à

⇒ =

. o

Ù concordi

te à

' YÈL

# ⇒ a

. se =

sono

o discordi

ii

i ⇒ .ie

se a

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sono lit

È hanno stessa

' direzione

ai .

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verso

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IÈI

III. III

modulo # ifl

la # :

. : = I

VETTORI COMPLANARI ÈREV complanari

Óà punti

(

si

vettori stanno

)

O R

3 a

qp

i un

su

sono se

,

,

, ,

,

ÙXÙ

I. complanari

è aìtpà

(a)

ùev 72

Eèù PERI ii.

sono

, ,

, ,

,

dim complanari

It è '

, iI eretta è

parallela

:S

pj

p p

. per

. a

• .

. .

. . ⇒

eretta 9

parallela

ii

ù o

per p

. a di

la

' È

direzione

intersezione di

è R con

s

=

.

@

& . .

' .

. .

i ù

di direzione

la

intersezione di

s = con

r

.

tot Èryi PÈ

ZAERIOÌ

È aI

ii. sì

ii.

⇐ ' ⇒ +

⇒ =

, È È

àyw ZPERI =p

POSIZIONE

RO 13=(43%2,3)

Hye

¢

(

sistema 2.)

)

In 5 fissato ) D=

A

0¥ e %

2A

xaya 2C

=

=

un

, , , ,

,

. .

#

attuati ;)

. ama ±

⇐ : '

¥

;:

e ±

:

: :)

PÈÌ

anime ⇐

< % !

¥

?_? «

:

.

.

otin immediato

' se D=

a

' < ⇒

= AII'

è RIAI IÌ

allineati 7 =L (

⇐ ) =)

AD

#

=D

suppongo A

A .to a

⇒ e

° e

. ,

, )

(

)

( YA

E- Ya

XA -2A ZA

YB

µ 43

2

« XA

xD .

' - '

-

allineati materia

la ha nulla

1221-7 -212

Rz =L

con #

2 riga p

,

il la dimz

immediato

2 D. c ⇒

D per

, AI

È IAÌ # Àc

# ⇐

PER

complanari 7

⇐ 7 =L

suppongo )

ABCD p

° a + .

,

,

| (

( )

)

ta 2A

2A 2

fa t

ZD

Ya µ

Xa 2,3 fc

Ya fa

2A

XD . p

t XA c'

= xD )

. Xe -

. -

.

. -

La

la

.GR nulla

matrice

R )

PR

12 ±

E

-

con + ) p

riga

} una

, ,

,

¥

' III.

INIE'

:{

II

- t' è ER

w.ws »

:(

un (

, qq.jw.it#kwr

PROPRIETÀ f. ii.

# i

V. vi.

i. è d)

1 E ùyvà

)

' E

2 ii. è

iùìekcq ii.

v. .

. Mai )

=L )

%)

ER aù

ii.

3 ii.

Iiii

va )

e a .

, i. I

4 tùevnp i.

ùzo

'

) (

i =-D

< =)

o

. #

Itti

Ù i :-D

:)

:( (

ù ti

i

+ .

. '

lùt

Èvi

# i

ti

È

I = =

= dal sistema di

dipende riferimento

non ÷

:>

A N .

GOLA TRA VETTORI ii.

2

io i :

nulli

) i

(

iI è Vn a) '

ù

E O non .

o

vertici

È di

estremi

il

È liberi Eeù

negli

triangolo 0

*

1 in

T

sia

se con a

èla radianti dell'

l' ieri

di interno

angolo attimo

a misura angolo

in

Ìà

ÙH concordi

:

2 se :O

sono

e Èà

discordi

è Hi

se :#

e sono

ÉÈ ÉÈ

è

I

a a #

«

= PROPRIETÀ ÉÈ

è

vtàtklo #

) i. tilt vii.

E

dia %

ori ⇒

a

cosa

= ?

- o

»

se .

, ,

cosa

:(

È

( )

' )

Ù va wxwywa

= Y . , ftp.fl.lu#.costl-i

» E) f

AE'

E.

%

è ii. (

E

i. aII'

'

ai ⇒

se ⇒ a

⇒ =

• =

-

. #

ÈEA # # Iùl

# 't

di #

# (a)

⇒ a I

a

> '

o

se o - = .

=

. . =

.

Èù tutti

⇒ )

Ho a- I a.

.

se -

.

Ti

se

t.lv/:fdiiI=.vY

TEOREMA DI

è CARNOT

a

= , AII'

stato

' IB

25A

a cosa

= .

o . .

èt #

Ii 2-1*2-2 #

:#

:-.

ì cosa

.

. IÙI

vx.w.tt/vy-wy)2+(va-wa)2=vx2tvItvItWItWy2twz2

( # cosa

2

.

#

2vxwx.lv/tWy/.2vyWytW2tW/I-2vzWz=#vy/2xk/twx/xwy/2tw/.2ttHvHcosA

+ . 7

(

vxwxtvyw.tk#=./Ii7IIvII

cosa

È

Iùllùl

'

T cosa

.

{ nulla

di due è

^ uno

e

È te o

=

• . IÙ

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K

O #

A

cosa

e ⇒

» -1

È

È I. è

è è

ETTORI ⇒

PERPENDICOLARI se =

to o

e

,

È

È iàft

se to ⇒ cosa

, = #

di di è

ii.

segno segno

cosa =

vi. [

è [

⇐ E

) A

> E

o o ,

f. vi ]

E)

⇐ A Ia

e #

o ,

DISUGUAGLIANZA CAUCHY SCHWARTZ

DI - 2

:( # tilt

Iùtàl ) trptlùft #

II

tzùèxèà tutt' 12

àv

Età 12

) '

( #

#

ii. 1)

à ± '

. «

= =

+

I #

là vi. ti

cosa

v. #

a cosa ± ,

dimostra la triangolare

disuguaglianza

LEGAME PROIEZIONE

CON TRIANGOLARE

)

(

Sia 1^4=1

E versare

un

vettore

Ì t.lv/ltI

ii. # cosa

un cosa = {

÷ H

ftp.cosofe

ott i

. .

. B

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PAGINE

39

PESO

43.44 MB

PUBBLICATO

7 mesi fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze fisiche
SSD:
Università: Palermo - Unipa
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gabrielenicoletti4 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Palermo - Unipa o del prof Ugaglia Luca.

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