Geometria e algebra Lineare

Algebra linearegeometria analitica(matrici)

finitimiconnotativo( )RIT è gruppo .1=0AE@A-WE=»I° un opposto- commutati. 'matriciscalariprodotto BERMProprietà "'A. a. "per. .1. α(A+B)=αA+αB2 (α+β)A=αA+βA3. (αβ)A=α(βA)4. 1A=A si&7b42IS mm. minMATRICITIPI DI: ' AER "1 ",MATRICE È ^AMATRICE RIGA Ecolonna EIRM 'MATRICE AMATRICEwww.renren.aeQUADRATA ÉÉITI%SUPERIOREMATRICE TRIANGOLARE ' : 'È: : ::[matrice "AER "MATRICE tiDIAGONALE ji i. ⇒ o»a,""INER ViiiIDENTITÀMATRICE i j; ## ai -1i⇒ ;a ⇒.joOnta;) ViNULLA aij o=,i.MATRICE ""ERtata"iter "12(a)A-TRASPOSTA .,ROPRIETÀ :1. t(tA)=A2. t(A+B)=tA+tB3. t(λA)=λ(tA)4. det tA=det A5. ρ(A)=ρ(tA)6. t(A⋅B)=(tB)⋅(tA) ÈÈAKBÉBIAK# )Dim :( )B AB =.; ;7. (tA)⁻1=t(A⁻1) t ftp.fnj '⇒fattaTA )MATRICE ASIMMETRICA = ai aji; =ItMATRICE tAAil ' ( A)ANTISIMMETRICA = aji'ai .- = .,MATRICE ORTOGONALE + 'A-A =.lt/ik.(tA)e;=fB)ttA)DimA!A=I=7tlA.!A)=tI=7(tA).tfa.i)=I=(ta).CtAf'PRODOTTO MATRICIFRAlr.IR?tA.B=C=(ci;)eTEtc;=?IIa.fraikepi B :/A =/ " ,ÀPROPRI ET1. (A•B)•C=A•(B•C) RuinA A. E,2. (A+A₁)•C=A•C+A₁•C RMT3,13' e,A•(B+B₁)=A•B+A•B₁ tu#CE3. α(A•B)=(αA)•B=A•(αB) ERaB0mm A.Omt On4 Outt''.. . ,# I nutro(anello elemento )F.) l'Inè e-un invertibile"AER "MATRICE SINGOLARE13 nonminuti"ERN bile D=VERSA'E A IBIAB 'A-TRIC :B InA⇒ .PROPRIETÀesisteSe unicaè• : A)À A- ) "H' ' IAA' "" AA "I= Ain : A= ==di inverse :( ') 'B- A-' ':BA = .f- BBYAIAIÀAAETB)14MtA- B)( B )A(A ( 'Dim A-' 'B- A=LETNTDEFINIZIONI QUIE- VA I|:÷÷÷÷Prodotto(a) inbanalesolamenteha laAx soluzione3 0o=Dim linearmentele Adirighe indipendenti )pla#sono n=A nella matrice tramitetrasformabile In4 GaussèoWtAtodirmIa.a-t.A-detA.In@detAf02pH--nDimtIletA70Hplat-nHAX--IammetteasolurioneEplalIt.pa-) )IIA(( =-3# 'IXAX IAII A-' =Dim =METODI DI CALCOLORI CEMai X 221 :|:): ...:)aia- |2 R DIAGONALEAM ECT i :-.:): ):* : :-.:: :|÷:| :. .MATRICE AGGIUNTA} t.tt:(ai ;) TE " ;)A eai.de#n=)A.A=AA=IidetTAA :( )ItALGORITMO GAUSS4 DIAX → 'AIXI == # ( )Al( ##→ AII AIAÀERIAAMATRICE kvolte(POTENZA15 A e. ..nl#m~fpsozZI)AP=OnumHMATRICEAtomPOTENTENIL ,invertibilenipoteAse è ènondimAP 0mmA 0mm#. ma. )invertibile ZBER "A In A. D=suppongo ⇒ AlAl ?'("' 'APA. ' BAB) D=AA. OmmI. == . .. ..OPERAZIONI ELEMENTARI RIGHESULLED IRIRi 2 #↳ oRi R← '2) ;Rittrj RER3) Ri →' , ( )righeMATRICE12 RIDOTTA perMATRICE tuttielementoesiste almenonulla diin ogni riga a oconnon unsotto di esso )(8' righeFORTEMENTE RIDOTTA per )( taleentrata pivotnulla di esistein A sugualeogni riga aunnonche altretutte entratecolonna lenella corrispondente ugualisono ao ,inoltre tutteanche sotto dilela nulla righe essai esima èrigase sono.nulle ELIMINAZIONE GAUSSDI Rm possibileData matrice " è sempreauna e ridotta)ottenere Rmmmatrice fortemente( aiuna e elementaritramite finito di operazioninumerounsulle righeIETÀ> ROPR ridottematrici dapartireRmn' "se a AA sonoe a, (A) )allora ( "A=ppZDI MATRICEDI UNA QUADRATANE didiilEquivalentemente righenumero ocolonne Il (A)RANGO MATRICEDI UNA pdi colonne linearmente" indipendenti1 massimo numero linearmenteIl di indipendentirighe2 massimo numerodelIl ridottamatricedi apartireda/fortementedirighe A3 'anumero unaIl invertibileordine di ( detta a)4 massimo #minore ainun diLa dimensione del righeS dalle Asottospazio ti generatokmdidel ALa dalledimensione colonnesottoporsi6 generatoPROPRIETÀplan pftfminfmm) } 'AER• °.partendosottospazio#-)pl A)• =pDim ⇐ dallerighedibase ti( generato ER4 )#:*# :-# (→ re m. . ,, :( :{III.÷?i AÈÌB:( INAckn | .it Bekker "' B.A⇒< C=.: :# :#: ::::* :*# ::: :: :-|: " :: :⇐ :#:*:):;:<;::|: :* :*: *: :|::: :: : hannodi dicolonneanche #le righe A=ttttn' l )l' linearmenteforza(generatori indipendentik #pernonplatk)PHA ± #la .Dimostrazione Epftatk#ripetendo . ha ADdata. ⇒'=p⇒ psi A)(A) Ct '=pk k=p =CALCOLO DEL RANGOALGORITMO DI GAUSS' dellapivot(A) nullerighe didip = numero ononmatrice daridotta partire' AA a )(E2 della didefMINORIMETODO DimDEI rango4del dettodell'al'Siarordine teminoremassimo conlinearmentecolonne righe indipendenti poichéavràin r e) ' -|esisterebbero(a) colonneSeMM ' righeallorar k- pr e. indipendenti quindiincludono M linearmenteche enon ,esisterebbe controdetm '⇒M #n' ominore conunl' ipotesi che detn #n coni.sia nasino minore o ..Quindi ( () A)(a) #supposto (A)èmp =p sir= =ppTEOREMA DI KRONELKER matriceSia TIM A re nenminore rxr eun ,(a)detrito soloEon Allora ognir= se sep e. Orlandoottenuto ha determinatetxlrtp#minore mnulloDim ottenutoDX orlandoesistesse #MSe ' 1)#minore mundetti detmesisterebbe '# 'allora M #M)con > ouno conquindi il(A) MSe alloraesiste# massimoèr p non. )detlm #minore oconMINORE MATRICEDI UNA"Sia AETT (quadrata »sottomatriadice kogni kxksi minore connzzcon ,, Èestratta da eliminando delle :)( ottenuto)colonneA righe Ai #k esue minore xnin :. ; :::<Minore inizinoorlatoSia AERM "matrice chedellaM ' diceminore minoremen<rrxr siun un,ottenuto ottieneorlando colonnaaltra MDxlrti aggiungendo# MIM )' è si rigam se aun eDETERMINANTE:-.det Rmn a: »FORMULA LIEBNIZDI IIIdetta ) )usarlo )oli:-. a.a.SVILUPPO PLACELADI÷z # 'itdit Ai(A) :(1)1-JÈ '.ai .;, ,,aeitbfg.co/hiceg.afh.bdi3 ATRIM 2Ci 2 x.addetta! be) :-. . ( )4 SarrusMATRICI 3×3µ:{{ {! Ig)5 ALGORITMO GAUSSDi ÈaiiER detta" nA- )( ;) i ⇒i aiiaai 76-4-351il> =PROPRIETÀ dettoi ))righe colonne colonnadue ( nulla10ASe ugualiha riga. o oo unaottenuto tramite dettese da ditaRitti' RA A ⇒. .e- : ;daottenuto dettaR dettoRitramitese 'a A ⇒←e- =- ; .ottenuto R ftp.7detBIokt.AdaA tramite' ilse RiAè #, laSe )colonne dette( duecolonna righedi ()riga è' sommaouna sommao ,determinanti ottenuti colonnadei )-8 due sostituendo ( rispettivamentequella riga oale didue colonne(righe ) ècui sommao )colonnedeta.de ( (TA anche) sullele proprietà 2- 4 valgono. ,detA.FItriangolarematrice- per ogni aii,detta) B) fdetBinet( B)detA) (diteorema .9 det dettoA (A) (A)- ⇐ )⇒ <po u= np =)dita dit detta '( ( ) ) '' A- '# ⇒ =o SISTEMI LINEARI incognitediInsieme equazioni in nmtipodel : Betti...?::X? matriciale "AERMIXER "formainla = :{ . ,i =DAX, completamatricebna miti tannini. . ( B)aldel sistemadetto ordineè- n sistemailnulli èlotermini- omogeneo;ne i sono sistemadi elementi soluzioneufla » soddisfadel(> × iuna . sen una, i. ,,tutte le equazionim hannosistemi ricavabilisoluzionelaDue (stessaequivalenti confoundsono- seTEOREMA CHE CAPELLIROUDI -compatibile ( )# AIBAX =D è #i =pp liberidaSe compatibile soluzioni parametrile dipendono2 è up#dove (A) B) incognite=p equazioni:p numerop -numero n= .,METODI RISOLUZIONEDI505| NETU 2 IOT IRIDURRE FORTEMENTE2 CON Gauss )(} soloMETODO DE INVERSALei pse = mAX '⇐B ⇐ AX B' )t' D> A-a- x= == 3)del metododerivato(4 CRAMER di:B alla colonnasostituendomatricedette AjB esima× - ;= ., data IDim MIAja =tAh#tiithA==: ' ; BA off= * ; = det AditaVETTORI GEOMETRICI( euclideaSzi )geometriaPiano conordinarioI SPAZIO: ORDINARI 0} (A 3Be Su 7 rpn EBAretta!At3) B ⇒. a.n ., . .. . ., .semirettadaparti AIsegmentodivisaviene BAin e23r e ei nullo )segmento(IBA degenereè=D è puntounica⇒ unnonr o.VETTORE estremoaventevettore 00 fuFissato applicato segmentoI è inine unun, #estremo( ) )vincolatoestremo estremo(0 libero IaltroP l' ⇒è =.È ÓP ?0 ⇒ == }{ ditutti(a) vettori applicatifuVu 0in oi= t.atai#DATI ASSOCIATI VETTOREAD UNÉOÌEV la direzioneÓ di rettala)( pPzione ère Opero e, ,il la contenutesemirettadi dièverso pverso origine o ,Ì indeterminatidirezioneè ⇒= sonoversoe datounitàFissata indichiamoÈSudi EK (a)IMODULO misura inun = conu , unitàla del all'#'tli rispettolunghezza I disegmento:| misura n .FI dice modulo di itsi .vettore univocamente direzione modulodeterminato daèun verso e, .vettore modulodiErs✓ ore 2RIFERIMENTOSISTEMI DI (OijsistemaUn di Oe f. dai) definitoriferimento èortogonalecartesiano inpunto dettaEapplicatoa) origineunb) 0iversareun in ilchetale0applicato jc) sovrapponeinj sieversareversare aun rotazione adrad intorno antiorario0di # in sensocon unaLe diconodidirezioni Jt si Asse DELLEDELLE ORDINATEascisse Assee eIl di j ASCISIEt DELLEDELLESEMI ORDINATEi positiviArsiverso e sono e( adsistemaFissato )Otj puntodi Oxy PESN possiamoriferimento ogni associareun #ordinata ( =Pdi Xpcoppia numeriuna ,IÀFVFÌD:( #Dati :( 'a #Bxa x., ,,2 Un sistema di dai( 5Otjk definitoriferimento ) in èortogonalecartesiano ,Oefa) puntoun tra loro perpendicolariapplicatib) j 0i.a versai in a al di tale che jrrperpendicolareapplicatoI versante J i.in teo epianoun ,la destradellasoddisfano regola manoEdidirezioniAssi 5: i. ,di ItSemiassi jversiPositivi : , ,Fissato sistema adOijidi puntoriferimento PES ordinataternaogni unaassocioun }vettore determinatoresta dall'Èdi i.yozd completamente( estremoOgniPnumeri xp . ., . IIillibero vettore (matrice( » »laDefiniscoD= xp 2xp con yp», , .Ì xpttypjtzpte= CONOPERAZIONI VETTORIIPRODOTTO VETTORE PERUNDI S