Geometria e Algebra Lineare

VETTORI

• direzione
• verso
• intensità (proporzionale alla lunghezza della freccia secondo un'unità di misura prestabilita)

VETTORI PARALLELI → stessa direzione ma verso e modulo diversi

VETTORI CONGRUENTI → stessa direzione, stesso verso e stesso modulo

VETTORI OPPOSTI → differiscono solo nel verso

VETTORI EQUIVALENTI → hanno modulo, direzione e verso uguali ma è cambiato il punto di applicazione

VETTORE APPLICATO IN UN PRECISO PUNTO

• A = Punto di applicazione
• B = secondo estremo

M1 modalità per individuare il modulo

1

• afferente la retta A sta per afferire mediante gli assi giudicando il grado di libertà

2

• in un piano o nello spazio

Siano a,b ∈ A³ → (A,B) = COPPIA ORDINATA

serve sapere quale punto viene prima e quale dopo (A,B) ≠ (B,A)

• Un vettore applicato in A³ è una coppia ordinata A,B dove A è il punto di applicazione mentre B è il secondo estremo
• Si può indicare come AB o come B-A (invertendo si invertono gli estremi)

• Un VETTORE LIBERO è una CLASSE DI EQUIVALENZA di vettori applicati equivalenti
• AB BA vettori opposti insieme di vettori uguali dei quali si traslascia il punto di applicazione

AA

• non ha direzione ne verso

• V¹ mette retta
• V² vettori liberi mette piano
• V³ mette spazio
• V₁ vettori applicati mette retta
• V₂ vettori applicati mette piano
• V₃ mette spazio

VETTORI

• Verso
• Direzione
• Intensità (proporzionale alla lunghezza della freccia secondo un'unità di misura prestabilita)

VETTORI PARALLELI

— Stessa direzione ma verso e modulo diversi

VETTORI CONGRUENTI

— Stessa modullo, verso sovrapposto

VETTORI OPPOSTI

— Differiscono solo nel verso

VETTORI EQUIVALENTI → Hanno modulo, direzione e verso uguali ma è equivalente il punto di applicazione

Vettore applicato in un preciso punto

• A = Punto di applicazione
• B = Secondo estremo

Notazione per indicare il modulo

1. Reffa retta
2. Misure dei punti
3. Spazio

Siano a,b e A¹ → (A,B) = COPPIA ORDINATA

• Serve sapere quale punto viene prima e quale dopo (A,B) ≠ (B,A)

• Un vettore applicato in A¹ è una coppia ordinata A,B dove A è il punto di applicazione mentre B è il secondo estremo

• Si può indicare come AB o come B-A (in questo caso si invertano gli estremi)

• Un vettore libero è una CLASSE DI EQUIVALENZA, di vettori applicati equivalenti AB BA vettori opposti equivalente di vettori uguali dei quali si traslata il punto di applicazione

• A¹ VETTORE NULLO, ha la direzione ice verso

V¹ Mette retta

V²₀ Vettori liberi_{Mette piano}

V³ Mette spazio

V²_O Vettori applicati mette retta

V³_O Mette spazio

SOMMA VETTORIALE

SOMMA DI DUE VETTORI APPLICATI

U^o x V^o → V◊ (V,W N) → V + W

1. esistenza dell'elemento neutro ∃ V (numero 0) ∈ V^o tale che ∀ V ∈ V^o V + 0 = V = 0 + V

2. esistenza dell'opposto ∀ V ∈ V^o ∃ - (V) ∈ V^o tale che V + (- V) = 0 = - (V) + V

3. Proprietà commutativa ∀ V, W ∈ V^o V + W = W + V

4. Proprietà associativa ∀ U, V, W ∈ V^o (U + V) + W = U + (V + W)

Queste proprietà valgono analogamente per i vettori liberi; ♢ V, W ∈ V^o ⇔ V_o, W_o ∈ V_o

V_o + W_o → corrisponde al vettore libero V + W

MOLTIPLICAZIONE PER UNO SCALARE (R)

R x V^o → V^o(λ, V) → λV

Sia V = ◊A⃗ e siano B il punto sulla semiretta OA tale che ◊B⃗ = |λ|◊A⃗ e B' il simmetrico di B rispetto a o

• λV = ⎧ B se λ > 0
•      B o se λ = 0
•      B' se λ < 0

PROPRIETÀ CHE CARATTERIZZANO UNO SPAZIO VETTORIALE

1. ∀ V ∈ V^o 1V = V
2. ∀ λ, μ ∈ R, ∀ V ∈ V ◊(λ, μ)V = (λμ)V
3. ∀ λ, μ ∈ R, ∀ V, U ∈ V ◊(λ + μ)V = λV + μV
4. ∀ λ ∈ R, ∀ U, V ∈ V ◊λ(V + W) = λV + λW

Differenza Vettoriale

V - W := V + (-W)

Spazio Vettoriale = uno spazio vettoriale reale (su R) è un insieme V su cui sono definite due operazioni dette somm