Geometria e Algebra Lineare

Vettori

• Verso
• Direzione
• Intensità (proporzionale alla lunghezza della freccia secondo un'unità di misura prestabilita)

• Vettori paralleli → stessa direzione ma verso e modulo diversi
• Vettori congruenti → stesso modulo, posso sovrapporre
• Vettori opposti → differiscono solo nel verso
• Vettori equivalenti → hanno modulo, direzione e verso uguali ma cambio il punto di applicazione o equipollenti

Vettore applicato in un preciso punto

• A = punto di applicazione
• B = secondo estremo

Modalità per indicare il modulo

1. Mette netta
2. Misure dei punti (usata poco)
3. Mette spazio

Siano A, B ∈ A¹ → (A, B) = coppia ordinataA serve sapere quale punto viene prima e quale dopo (A, B) ≠ (B, A)

• Un vettore applicato in A è una coppia ordinata A, B dove A è il punto di applicazione mentre B è il secondo estremo
• Si può indicare come AB o come B - A apposta, si invertono gli estremi
• Un vettore libero è una classe di equivalenza di vettori applicati equivalenti AB BA vettori opposti
• Insieme di vettori uguali dei quali si traslascia il punto di applicazione
• Vettore nullo, non ha direzione né verso
• V¹₁ mette netta
• V¹₂ vettori liberi, mette piano
• V¹₃ mette spazio
• V²₀ vettori applicati, mette netta
• V³₀ mette piano
• V⁰ mette spazio

Somma Vettoriale

• F₁ + F₂ = R

Metodo del parallelogramma

Metodo del punta-coda

Somma di due vettori applicati

• V⁰_x V¹ - V⁰. (V, W) ⟶ V + W

1. Esistenza dell'elemento neutro
   • ∃V (reale) ∈ V⁰ tale che ∀V ∈ V₀ V + 0 = V = 0 + V
2. Esistenza dell'opposto
   • ∀V ∈ V₀ ∃ (-V) ∈ V₀ tale che V + (-V) = 0 = (-V) + V
3. Proprietà commutativa
   • ∀V, W ∈ V₀ V + W = W + V
4. Proprietà associativa
   • ∀V, W, U ∈ V₀ (U + V) + W = U + (V + W)

Queste proprietà valgono analogamente per i vettori liberi

• V, W ∈ V₀ ¹ V₀ ⟶ corrisponde al vettore libero V + W

Moltiplicazione per uno scalare (ℝ)

R × V⁰ ⟶ V⁰

(λV, V) ⟶ V¹

1. OA = λOA' e B'
   • OA = AλA'
   • 2V = OA'

Sia V = OA e sia B il punto sulla semiretta OA tale che OB = λ|OA| e B il simmetrico di B rispetta a 0

• λV =
  • ⬤ O se λ > 0
  • ⬤ O se λ = 0
  • ⬤ O se λ < 0

Proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale

1. ∀ V ∈ V₀ ∃! 0 ∈ V₀ : V + 0 = V
2. ∀ λ, μ ∈ ℝ ∀ V ∈ V₀ (λμ) V = (μλ)V
3. ∀ λ, μ ∈ ℝ ∀ V ∈ V₀ e ∀b (λμ)V = λV + μV
4. ∀ λ ∈ ℝ ∀ V, b ∈ V₀ (V + W) = λV + λW

V={0} SV piu piccolo possibile, Ø mai non è mai uno spazio vettoriale

Ø è SSV di ogni spazio vettoriale SV

grado di libertà = su quanti archi c'è, può rimuovere un unico SSV

W={V} E x | E R c.w: 2V

W: {V}, 2V, W = x | 2y, W_t—->R

W = Ø

• coordinate dei
• vettori di W rispetto alla base scelta
• {V}

W= spazi{V} = spazio generato da {V}

B ={V}: base di W

ex V₁,V₂ mai coincidere in W - (nessuno dei due può essere 0)

v - è il numero di vettori con cui posso esprimere tutti gli altri vettori

W = spazi {V₁,V₂} = W = {v₁,v₂/₁,₂ E R}

• W₂ = V. V₂
• W = xV + xV₂

W = xV + xV₂ E R

0EW perché 0 = 0v+0V₂

SOMMA INTERNA = V₁,V₂EW = V₁V= * xV₁ + xV₂, V₂ = xV₃ + 2xV₁,

WxTW₂ + (xV₁ + xV₂) + (xV₃ + xV₁) - Proprieta associativa e commutativa -

- (xV₁ + x₃V₃) + (xV₂ + x₃V₁) = V₁ + x₃V₂

(x₁ + x₃)/V₂ (x₂+

la moltplicazione per uno scalare è esterna AW

Base fornita da due vettori B {V₁,V₃}

- div.di W = 2 (grado di libertà)

Determinare la proiezione ortogonale e il simmetrico di W=i+2j-k rispetto

al piano generato dai vettori u=3x e v=i+3j+2k

span{ù,v}

W∈span{ù,v} →W=αu+βv

i+2j-k=α(3-×)β(i+3j

=i+2j-k=βi+α(3βj)βk

2

α(4+3β)

-1

W ∉ span{ù,v} → O_H proiezione di w sul piano

N•ù∧v=

N -ù_H W -W_π -W_H 2W_H

W^* -1 and

v(W) v

^(*X)

{W∉

i(

span{u∧v :

il volume del parallellepipedo

EX Dato il

W

vW,W

j i W

1

pt W è v(W)

v

l cos ((ù∧v) W

n

/nV

data generato da U,V,W

Ex

Dimostrare che W₁=Span {(¹₀),(¹₀)} ⊂ ℂ³ e uguale a W₂=Span{(⁵₂),(³_-7)} ⊂ ℂ³

Dim W₁ = Dim W₂ = 2

Se W₂ ⊂ W₁ ⇒ W₂ = W₁ se hanno le stesse dimensioni.

W₁ ⊂ W₂ sono w.i.

• (¹₀) ⍺(⁵₃) + β(²_-7)
• β = 1
• α +5β = 1
• α = -4
• si

• (^-7₂) (¹₀)
• s1
• s2
• si

• (³_-7) (¹₀)
• s3
• s3 = 5β = 3
• β = 2
• si

• (x,y,z) = ⍺(5,3,-7) + β(2,2,12)
• x = 5α + 3
• y = 3α + y = x - 2y
• z = 2β

Ex

Determinare W₁ = Span {(¹₃), (⁹₂)} W₂ = Span {(⁰₁)} ⊂ ℂ²

• Se dim W₂ = 3 W₃ = β
• Se dim W₁ W₂ = 2

• (¹₃) (¹₀)
• Equazione dipendente con per entrambi

• x = Span {(⁴₃)}
• W₃ = (x,y,z) ∈ ℝ
• α = 5β

• W₂ = dim
• (x,y,z) ∈ ℝ ³
• y = x - 2β
• (⁶₂)

• W₃ Intersezione
• (x,y,z) ∈ ℝ ³
• x = y + 2
• (²₁)

W₁ ∩ W₂ = {(²₀)}