Geometria analitica - La retta - Simmetria e Traslazione

Geometria analitica

Introduzione alla geometria analitica

La geometria analitica è l'anello di congiunzione della geometria, una fusione tra algebra e geometria. Il piano cartesiano è un sistema di rette orientate perpendicolari che formano quattro quadranti. Il piano è chiamato xOy.

Asse delle coordinate

Asse delle x o delle ascisse. Origine degli assi. A destra dell'origine abbiamo valori positivi, a sinistra i valori negativi della x. Sopra l'origine ci sono i valori positivi, sotto i valori negativi della y.

Punto e coordinate

Un punto può essere individuato da una coppia di coordinate cartesiane: P(x ; y) con x ∈ ℝ e y ∈ ℝ, che sono entrambi numeri reali. Ogni asse verrà diviso in tante tacchette che individuano l'unità di 1 cm. L'origine è (0 ; 0). P(x ; 0) ∈ asse x e P(0 ; y) ∈ asse y.

Ripetizione e dettagli

La geometria analitica è l'anello di congiunzione tra algebra e geometria. Asse delle y o delle ordinate. Il piano cartesiano è un sistema di rette orientate perpendicolari che formano quattro quadranti. Il piano è chiamato xOy con asse delle x e delle ascisse e origine degli assi. A destra dell'origine abbiamo i valori positivi, a sinistra i valori negativi della x. Sopra l'origine ci sono i valori positivi, sotto i valori negativi della y.

Distanza tra due punti

Un punto può essere individuato da una coppia di coordinate cartesiane: P(x; y) con x ∈ R e y ∈ R numeri reali. Ogni asse verrà diviso in tacchette che individuano l'unità di μm. L'origine è (O;O). P(x;O) ∈ asse x e P(O;y) ∈ asse y.

Calcolo della distanza

Dimostrazione: Tracciamo una parallela all'asse x del punto A e una parallela all'asse y del punto B, perpendicolari tra di loro. Le due parallele si incontreranno in un punto C che formano un angolo retto. Eseguo parallele agli assi e eseguo due perpendicolari che lo prolungo, sempre perpendicolari tra di loro. Eseguo due lati perpendicolari alla differenza tra le ascisse e le ordinate. Avremo da affermare che:

• AB² = AC² + BC²
• AB = √(AC² + BC²)

Eseguo questo, un triangolo rettangolo, questo porterà che i due lati AC e BC. Vogliamo calcolare la distanza tra A e B, applicando il teorema di Pitagora, in cui AB è il ipotenusa.

Differenza delle coordinate

Esaminando la differenza delle ascisse o delle ordinate con numeri opposti, possiamo calcolare solo le ascisse o solo quelle delle ordinate, eliminando il fattore messo.

1. Se: A(x₁, y₁) e B(x₁, y₂) → AB = |y₂ - y₁|

Esaminando la differenza delle ascisse e delle ordinate, possiamo affermare che:

1. AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
2. Se: A(x₁, y₁) e B(x₂, y₁) → AB = |x₂ - x₁|

Utilizziamo il modulo perché la distanza è sempre positiva. A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂).

Punto medio

Il punto medio è un punto che appartiene ad un segmento, equidistante dagli estremi. Ip. M è il punto medio del segmento AB. Th. M (^{x₁ + x₂}/₂, ^{y₁ + y₂}/₂).

Dimostrazione del punto medio

Tracciamo le parallele AC, MD e BE. Vado ad applicare il teorema di Talete. Se si considera un fascio di rette parallele tagliate da 2 trasversali, lo stesso fascio stacca pezzi uguali su una prima che sulle seconda trasversale.

• AH = HB perché M è punto medio
• ^AH/_CD = ^HB/_DE per il teorema di Talete => CD = DE
• ^CD/_DE = x_m - x₁
• ^DE/_{x2 - xm}
• Se CD = DE => x_m - x₁ = x₂ - x_m
• x_m + x_m = x₁ + x₂
• ^2x_m/₂ = ^{x₁ + x₂}/₂ => x_m = ^{x₁ + x₂}/₂

Lo stesso ragionamento vale per il punto delle ordinate, dove consideriamo AB e LT come trasversali e TA/ST e CB come parallele. Quindi le coordinate del punto medio si calcolano con la semisomma delle ascisse e delle ordinate. M(^{x₁ + x₂}/₂, ^{y₁ + y₂}/₂).

Baricentro

Ip: _₂ ₂=1/3=2_₂ =⁺⁺⁄₃. La mediana è il segmento che unisce il vertice di un angolo con il punto medio del lato opposto. Dimostrazione: Traccio le proiezioni.