Geometria analitica - La retta - Simmetria e Traslazione

GEOMETRIA ANALITICA

La geometria analitica è l'anello di alchimia della geometria; una fusione tra algebra e geometria.

_Y^X

asse delle y o delle ordinate

_I

il piano cartesiano è un sistema di rette orientate perpendicolari che formano quattro quadranti

il piano è chiamato xOy

_II

asse delle x o delle ascisse

Origine degli assi

_III^IV

A destra dell' origine abbiamo i valori positivi, a sinistra i valori negativi della x.

Sopra l'origine ci sono i valori positivi sotto i valori negativi della y

Il punto può essere individuato da una coppia di coordinate cartesiane.

P(x; y)

x ∈ ℝ (sono entrambi numeri reali) y ∈ ℝ

Ogni asse verrà diviso in varie tacchette, che individuano l'unità ^µ

L'origine è (0; 0)

P(x; 0) ∈ asse x

P(0; y) ∈ asse y

Distanza tra due punti

Dimostrazione: tracciamo una parallela all'asse x dal punto A e una parallela all'asse y dal punto B, perpendicolari tra di loro, le due parallele si incontrano in un punto C che formano un angolo retto. Essendo questo un triangolo rettangolo, questo punto unito da tre punti A B C, andiamo a calcolare la distanza tra A e B applicando il teorema di pitagora, in cui AB è l'ipotenusa.

AB² = AC² + BC²

AB = √ AC² + BC²

AC = x₂ - x₁

BC = y₂ - y₁

Essendo due lati corrispondenti alla differenza tra le ascisse e le ordinate, andiamo ad affermare che:

AB = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

Se dobbiamo avere la differenza delle ascisse o delle ordinate con numeri opposti, andiamo a considerare solo le collocazioni delle ascisse o solo quelle delle ordinate, eliminando il fattore nullo.

Se: A(x₁, y) B(x₂, y) ⇒ AB = |x₂ - x₁| Utilizziamo il modulo perché la distanza è sempre positiva.

Se: A(x, y₁) B(x, y₂) ⇒ AB = |y₂ - y₁|

P₁H : OH = P₂K : OK

P₁H/OH = P₂K/OK

impostiamo la proporzione tra i lati, perché i lati

x₁ = y₁ P₁H/OH = y₂

x = x₂ => x₁ x₂

y₁ - y₂ x₂ y₁ y₂

x₁ x₂ x₁ x₂

y₁ = y₂

x₁ = x₂ perché due triangoli sono quindi il rapporto tra i essi lati uguali sarà sempre uguale.

^y/_x ≡ m

m≡ è il coefficiente angolare ovvero l’inclinazione che la retta possiede rispetto al sistema di riferimento di assi cartesiani.

m = Δy/Δx

Δy = y_B - y_A

Δx = x_B - x_A

m = 0 quando la retta è parallela dell’asse delle ascisse

la sua equazione è y = k

dove k∈ℝ

m = ∞ quando la retta è parallela dell’asse delle ordinate

la sua equazione è x = k

dove k∈ℝ

∠ < 90° la retta forma con l’asse delle ascisse un angolo

acuto m è maggiore di 0.

∠ > 90° la retta forma con l’asse delle ascisse un angolo

ottuso m è minore di 0.

y = mx = equazione di una retta passante per l’origine degli assi.

ax + by = 0 [equazione di una retta passante per l’origine degli assi (prima implicita)]

y = -(a/b)x

Uzuendo le quantità al quadrato per applicare Pitagora, eleviamo quindi ambedue i membri alla seconda.

AB² = (-mr + ms)²

OA² = (1 + mr²)

OB² = (1 + ms²)

Sostituendo ora nella formula principale di Pitagora

AB² = OA² + OB²

= (-mr + ms)² = (1 + mr²) + (1 + ms²)

mr² + ms² - 2mrms = 1 + mr² + 1 + ms²

-2mrms = 2

Mr ms = ^-1/_ms

mr = ^-1/_ms

Abbiamo quindi che due rette sono perpendicolari quando il coefficiente angolare di uno è l'antireciproco dell'altro.

Fascia impropria di rette

Si definisce fascia impropria di rette l'insieme delle infinite rette del piano parallele alla retta generatrice.

r: y = 3x + 2

...

equazione generale di un fascio improprio di rette parallele alla generatrice.

Retta passante per il punto P perpendicolare ad r (con passo per P(1,3)

r: y = 3x + 2 → 3x - y + 2 = 0

Scrivo l'equazione del fascio proprio di rette

y - y₀ = m(x - x₀)

Sostituisco x₀ e y₀

y - 3 = m (x - 1)

Vogliamo trovare una retta appartenente al fascio proprio di rette perpendicolare ad r

Due rette per essere perpendicolari tra loro devono avere un coefficiente che dev'essere l'antireciproco del coefficiente dell'altra retta.

r | s → m = -1/m₅

Calcoliamo quindi il coefficiente angolare di r.

m = -a/b → m = 3

m₅ = -1/3

Andiamo a sostituire nella equazione generale m.

y - y₀ = m (x - x₀)

y - 3 = m (x - 1)

y + 3 = 1/3(x - 1)

y - 3 = 1/3 x + 1/3

y = 1/3 x + 10/3

equazione di una retta passante per P

Il punto P è quindi appartenente del fascio proprio di rette perpendicolare ad r.

Se avessimo una retta passante per un punto D(x, y) e chiedesse l'equazione della retta che passa per quel punto, sostituisco le

...

(k-2)x + 2k y + k-1 = 0

(k-2) 1 + 2k 1 + k-1 = 0

k-2 + 2k + k-1 = 0

3k - 3 = 0

k = 1

D(1,2)

Sostituisco le coordinate del punto nell’equazione del fascio, calcolo k lo sostituisco nell’equazione del fascio che fornisce per ricavare l’equazione della retta che passa per D.

Area del triangolo

A = ¹⁄₂

A = ¹⁄₂ [(x₁q₂⋅1)+(q₁⋅1⋅x₃)+(1⋅x₂⋅q₃)-(q₁⋅x₂⋅1)+(x₁⋅1⋅q₃)+(1⋅q₂⋅x₃)]

x' = x

y' = 2k - y

x' = 2k - x

y' = y

x' = x

y' = -y

x' = -x

y' = y

Simmetria assiale rispetto ad una retta in posizione generica

P(x, y)

C(x, mx + q)

P'(x', y')

Dimostrazione

Ci troviamo di fronte una simmetria centrale rispetto a C

Considero le seguenti pp e C ne diventa punto medio

Vado a sostituire

x = x + x'

y' = 2(q - mx + q)

La lettera a comanda la traslazione lungo l'asse x

Esercitando pressione sul segno meno, se la a è positiva (a>0) la traslazione avverrà verso sinistra. Se la a è negativa (a<0) ci si porterà verso destra.

f(x)=f(x-a)+b

Il valore di b inarca la parabola sul bordo del foglio verso l'alto ora verso il basso, calcolando la traslazione lungo l'asse delle ordinate diventa abietto una postazione verso l'alto, se b è positivo (b>0) avverrà una traslazione verso il basso.