Geomatica prima parte

Capitolo 1 - Geodesia

Movimenti della Terra:

• Rotazione intorno all'asse polare
• Si compie in un giorno (24h)
• Velocità angolare cost.
• Rivoluzione intorno al Sole
• Si realizza in un anno solare pari a circa 365 gg descrivendo un'orbita ellittica chiamata ellittica

(Altri movimenti: precessione equinozi, migrazioni dei poli terrestri, traslaz. sistema solare, spostam. sistema suderale)

Forza di gravità, Equazio. del geoide

Sulla Terra esiste una direzione di immediata individuazione strumentale denominata:

• Direzione verticale
• Direz. di immediata valutaz. strumentale
• Definita vettorialmente dalla "direz. della forza di gravita" nel generico punto
• Determinab. in ogni punto indir. verso e modulo
• Materializzat. attraverso "filo di piombo" per es.

Si può pensare che esista una eventuale superficie di riferim. ad essa collegabile → Scopo Geodesia

Lo studio → verrà effettuato analizzando le forze che agiscono sul generico punto della sup. terrestre

1. Attrazione Newtoniana:

F = G _{m1 m2} / l²

• Costante gravitaz. newtoniana

Per la terra non è possibile concentrare la sua massa in un punto, quindi la individ. in element. infinitesm. :

dF = G_., dm.1 → massa unitaria in P

────────

e^2

2. FORZA CENTRIFUGA

Il moto rotatorio causa un'accel. centripeta, variabile da punto a punto

a = ω^2 * r → distanza del p.to generico dall'asse di rotaz

ogni elemento di massa m_i è sottoposto ad una

FORZA CENTRIFUGA

f = ma

IN DEFINITIVA :

──────────

g = F + f

vettore 'quale?

Ogni punto della terra ha un ben determinato valore di g →

LA GRAVITA'

COSTITUISCE UN CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO → QUINDI AMMETTE UN POTENZIALE

le cui linee di forza sono tg in ogni loro punto alle direz del campo

infatti consideriamo

Consideriamo un volumetto di controllo infinitesm. le cui densi. in funzione da — conduce alle studio di forx infinitesme.

z: asse di rotaz.

x,y,z: ass. princ. d'inerzia

P(x,y,z,t): punto di masssa unitaria

z = (a,b,e) elemento di massa dm (da cui supposiamo scomposta la terra)

Sferoide ed Elissoide

Quindi l'equazione del geode è:

W = G ∬ S dod

+ 1/2 ω²(x² + y²) = W₀ = cost

Tuttavia è possibile scrivere l'equazione:

Potenziale Gravitazionale

U = GM/σ [1 + 1/2c² (C-A/M) (1-3sen²ψ) + 1/2ω²σ² cos²ψ]

Se U = U₀ = cost → Sferoide

1. I termini presenti non richiedono la conoscenza della distribuzione interna delle masse
2. Si trascurano dei termini molto piccoli (10⁻¹³)
3. Con alcune derivazioni e sviluppi in serie si giunge a:

σ² = a (1 - α sen²ψ)

• Sferoide in coordinate geometriche polari passante per un punto prefissato del livello del mare
• a = semiasse equatoriale
• C = semiasse polare
• α = schiacciamento = a-c/a = 1-c/a
• ψ = latitudine geometrica

Partendo dalla generica equazione dell'elissoide

x²/a² + y²/a² + z²/c² = 1

Mantenendo gli stessi valori di a e c si arriva

σ² = (1 - α sen²ψ) Elissoide

Ricordando le equaz. parametriche di r e z:

r = a cos φ / ω

z = a sen φ / (1 - e²) ω

abbiamo che (tramite un segno di passaggi):

ds² = dz² + dr²

ρ = √(dz² + dr²) / dφ

Sostituendo nella (*)

ρ = a (1-e²) / ω³

Da qui il TEOREMA DI MEUSNIER dimostra che se si considera una generica sezione obliqua di una superficie, il suo raggio di curvatura

è uguale al raggio di curvatura della sez. normale che, nel punto considerato, ha con le sez. obliqua la tang in comune, moltiplicato per il coseno dell’angolo formato dai 2 piani.

Nel nostro caso la sez. principale di raggio N contiene la tang al parallelo di raggio r e forma con il piano di quest’ultimo un angolo uguale alla latitudine del punto, si ha quindi:

r = N cos φ

N = r / cos φ = a cos φ / ω = 1 / cos φ = a / ω = a / √(1 + e² sen² φ)

Si può scrivere la differenza tra N e ρ

N-ρ / N = e² cos² φ / 1 - e² sen² φ

• N è sempre maggiore di ρ
• differ. massima tra i 2 raggi all’equatore (cos φ = 1)
• differ. nulla ai poli (φ = π / 2) (cos φ = 0)

Tenuto conto che il raggio di curvatura di una qualunque sez. normale è sempre cma compreso tra ρ e N, si può dedurre che l’ellissoide terrestre si può assimilare ad una sfera di raggio ρ (media tra ρ e N)

√(ρN) = ^a√(1-e2) / _{√(1 + e² sen² φ)} = si chiama SFERA LOCALE

Capitolo 2 - Cartografia

Vari tipi di carte:

• Topografica: rappresentano figurativamente sul piano della superficie fisica terrestre, dalla quale via possibile ricavare elementi geometrici (distanze, dislivelli, angoli, etc.)

  E' possibile via il "sistema di riferimento"

  In Italia esistono cartografie relative a sistemi diversi, anche se si sta cercando di introdurre un unico sistema nazionale

  Le producono precisa un rilevo e/o l'apprezzamento grafico, ad una determinata scala 1:5.000, nella quale riportarono tutti gli elementi osservati riportando dei limiti di tolleranza: le carte topografiche rilevate

  Da queste si possono ricavare le carte topografiche derivate, ottenute riducendo la scala e di conseguenza eliminando noti particolari

  L'ingrandimento di una carta non consente la costruzione di una nuova carta, a scala 1:4000

  In questo periodo si sta sviluppando un metodo di produzione della

  Cartografia numerica:

  • Elaborati cartografici sviluppati in "ambiente informatico"
  • La forma grafica diviene, con essa, una delle numerose e possibile forme di visualizzazione dell'oggetto tridimensionale; sempre da realizzare con i moderni CAD, con eventuale animazione da punti di vista diversi
  • Il suo utilizzo ha reso ancora + facile la possibilità di variare la scala di rappresentazione grafica

RISOLUZIONE ANALITICA

• Si tratta di individuare tra le infinite soluzioni che risolvono le

x = f(ϕ, λ) y = f(ϕ, λ)

quelle che più soddisfano, imponendo determinate condizioni (alcune di esse limitano

ovviamente le variazioni d'arte)

Consideriamo m = ^ds/_{(ds')² = dx²+dy²}

Modulo di deformazione lineare

Consideriamo modulo di definire

s = ^ds/_{p²dϕ²+r²dλ²}

Sapendo questo

m² = ^dx²+dy²/_{p²dϕ²+r²dλ²}

Considerazioni su questa formula:

Risolvione Geometrica

Le corrispondenze bionivoche si possono determinare individuando diversi sistemi di proiezione cartografica:

1. Proiezioni Prospettiche:

• Si approssima il geode con la sfera locale nel punto situato al centro della zona da rappresentare.
• Si proiettano i punti della sup terestre sue piano tg alla sfera locale a seconda della posizione del centro di proiez. Si hanno le proiez. prospettiche:
• Centrografica = P al centro della sfera
• Stereografica = P all'antipode del punto di tangenza
• Scenografica = P sulla normale al piano tg fuori della sfera
• Ortografica = P sulla normale al piano tg all' ∞ (poco utilizzata)

Le deform sono contenute solo all'intorno del punto

2. Proiez. Cilindriche:

• Il geode è approssimato con l'ellissoide (o con la sfera locale) da proiezione avviene su un cilindro tangente lungo equatore (diretta) o meridiani (inversa).
• Si proietta ogni punto - dal centro della sfera o dal centro del parallelo del punto
• Successivamente il cilindro, tagliato lungo una generatrice, viene sviluppato sul piano

Le deform sono contenute solo a cavallo della linea di tangenza

• Si possono usare il' cilindr secanti per ridurre le deform ai margini della zona interessata

3. Proiez. Coniche

• Il geode (approssimao ad elliss o sfera locale) viene proiettato sul cono che gli è tangente lungo il parallelo della fascia da rappresentare, con centro di proiez. ogni punto P al centro dell'ellissoode
• Successivam, le cono viene proiettato sul piano