Gas perfetti

Teoria cinetica dei gas perfetti

Si rinuncia a studiare il sistema, ma le singole particelle che lo costituiscono, introducendo le variabili termodinamiche - tramite modello meccanico - o ideale a interpretare le variabili macroscopiche (T, p) in funzione dei costituenti microscopici.

p-es.

• Particelle moto caotico
• Urti non modificano l'energia cinetica di moto
• Uniche interazioni sono urti elastici tra le particelle o con le pareti del recipiente fisico, ec rigide

_U = ∑_i ½mv_i^{2 queste ipotesi}

Interpretazione della pressione

Urto contro una parete fissa

↖ v₂ ↙

→Δx

← v₁

Δp = -2mv_ix z

La particella può fornire un impulso e la parete lo ha subito dalla particella subisce una variazione.

Pressione somma impulsi che le particelle forniscono alla parete quando compiono un urto elastico contro la parete

Calcoliamo la forza:

• n^o di urti in t e t + Δt = n^o di particelle contenute nel volume (particelle prodotto con V_ix Δt)
• F_ix Δt = ΔI_x = (mΔS v_ix) 2mv_ix = 2mmΔS v_ix Δt

^{impulso elementare} ↖

Nel gas le velocità non sono tutte uguali distribuite secondo una certa statistica:

F_ix = 2mm ΔS v_ix

Facciamo l'ipotesi di isotropia del moto

1. 50%, v_ix > 0
2. 50%, v_ix < 0

Nella sommatoria consideriamo solo le componenti positive dell'asse x

F_ix = mΔS ∑ m_v v_ix² quindi la metà

Introduciamo la velocità quadratica media

• = 1/m ∑ v_ix²

→ F_ix = mvΔS m_v

^{che preme la parete}

p = F_ix = mv

ΔS

Riassumiamo:

<v_x²> = <v_y²> = <v_z²>

<v²> = v_x² + v_y² + v_z²

I 3 “termini” sono identici in quanto le particelle viaggiano con la stessa velocità

<v_x²> = <v²> / 3

ρ = m / v = 2 / 3 <E_c>

_{½ λ P e dovuta agli urti elastici}

_{½ P d <Ec>}

Interpretazione della temperatura

Supponiamo 1 mole nel contenitore

nv = N_A / v_m volume molare

P = 2 / 3 N_A <E_c>

→ <E_cint> = 3/2 RT = 3/2 kT

R = k = 1,38 × 10^-23 J/k COSTANTE DI BOLTZMANN

1. Ad ogni T, <E_c> dovuta al moto caotico delle particelle ma anche per i sistemi allo stato solido

→

½ m <v_x²> + ½ m <v_y²> + ½ m <v_z²> = 3/2 kT

ciascun termine vale quindi ½ kT

Principio di ripartizione dell'energia

Ad ogni termine che compare nell'energia compete ½ kT

Lo possiamo applicare così com'è ai gas monoatomici (3 gradi di libertà)

Gas biatomici

2 particelle che fermano un corpo rigido connesse da un'asticella di m→0

5 gradi di libertà

3 per t + 3 per l'asta → distanza fissa

½ m <v_x²> + ½ m <v_y²> + ½ m <v_z²> + l_x <v_y>

₂ <x ½ I_y t

Rotazione attorno a y e z

Energia Libera di Helmholtz

A = U - TS

dA = ∂U - SdT - TdS < 0

dA = - SdT - PdV - SdT

A(N, T)

(∂A/∂V)_T = - P

esiste (∂A/∂T)_V = - S

→ N = cost, T = cost → minimo di A, sistema stabile

Energia Libera di Gibbs

G = H - TS

dG = dH - SdT - TdS < 0

dG = Vdp - SdT

G(p, T)

(∂V/∂T)_p = - (∂S/∂p)_T

(∂G/∂T)_p = - S

(∂G/∂p)_T = V

→ p = cost, T = cost → minimo G, sistema stabile

Trasformazioni dei gas perfetti

P

• ISOCHORA

V_f = cost, PV = mRT, P = 1 / V inv. prop., p / T = cost

1° Principio

ΔU = Q - L

ΔU = cm_v dT

Δs = 1 / m c_v dT = ∫_Ti^T_f 1 / T m c_v dT

= m c_v log T_f / T_i

P = PV = mR

oppure T = PV

mR Δs = m c_p log P₁/P₂ / rP

ISOBARA

p = cost, PV = mRT, V = cost

1° Principio

ΔU = Q - L, Δs₂ = m_p dT, - PdV

(∂V/∂T)_p = - (∂S/∂p)_T

esendo P = mRT/ V_u → C_p = C_V + R Relazione di Mayer

• Δs = ∫_Ti^T_f mC_p dT = [m C_p log T_f/T_i]
• + mC_p log V_f/V_u