Funzioni vettoriali e campo vettoriale

Funzioni vettoriali di una variabile reale

1. Funzioni reali di una variabile reale

   f: I → ℝ   I ⊆ ℝ

   y = f(x)   x ∈ I

2. Funzioni reali di due variabili reali

   f: D ⊆ ℝ² → ℝ

   z = f(x, y)   (x, y) ∈ D

3. Funzioni reali di tre variabili reali

   f: ℝ³ → ℝ

   w = f(x, y, z)   (x, y, z) ∈ ℝ³

f funzione vettoriale di una variabile reale

f: I → ℝ³   I ⊆ ℝ

f(t) = (x(t), y(t), z(t))   t ∈ I

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

t ∈ I

equazione vettoriale della curva

e: x = x(t) y = y(t) z = z(t)

equazioni parametriche della curva Ĉ

Δr(t) = P(t+Δt)−P(t)

r(t+Δt) = r(t) + Δr

Δr(t) = r(t+Δt)−r(t)

Δr⇔verzionlenea dell'intervallo Δt

Se   lim_Δt→0Δr/Δt=dr/dt

vettore velocità       vettore derivato

vettore tangente a Ĉ in P(t)

v: x = x(t) y = y(t) z = z(t)

v(t) = dx/dt i + dy/dt j + dz/dt k

a(t) = dv/dt

v(t) = a(t) i + b(t) j + c(t) k

a(t) = dv/dt = d²r/dt²

Esempio:

• z = x²
• x + y = 2

• x = t
• y = 2 - t
• z = t²

• v(t) =
  • x = 1
  • y = -1
  • z = 2t

Esempio:

Parametrizzare la curva C:

• x + y = 1
• z = √(1 - x²y²)

• x = t
• y = 1 - t
• z = √(1 - t² - t²) = ½ t - 2t²

Esempio:

• 2x = (y - 2)² - y²
• z = x²y²

• x²(y + 2x = 1)
• z = x²y²

• (x - 1)² / 4 + (y + 2)² / 4 = 1, cilindro
• (x - 1)² / 4 + (y + 2)² / 4 = 1, cilindro

• x = 1, 2 cos t
• y + 2 = 2 sin t
• z = x²y²

• x = 2 cos t + 1
• y = 2 sin t + 2
• z = 4(cos t/2t / cos t/2t + sin² t - 6 - 8 sin t) + 6 - 6, cos t - 8 sin t

2ϑ dϑ elemento per rotazione attorno all'asse x del 1^o arco di circonferenza

Area D_x dx

∫_a^b f(x) dx

^2a

Maglia dx : f(x)

x = a t - a sin(t)

dx = a cos(t) dt

f(x) = a - a cos(t)

∫ = ∫ [a ◦ (a cos(t))][a ◦ (a - cos(t))] dt = ∫₀^ϑ [a ◦ cos(t) dt

∫₀^2a f(x) dx = ∫₀^2a [12 - cos t] - 3 cos t, 3 cos t] dt

∫₀^2a [22◦ (x ◦ 3x)] dx = ϑa ◦ b ^(25◦)1/2

INTEGRALI DI LINEA

∫_c f(x,y,z) ds ω

f: D -> R

D ⊂ R³

∑(f(x(t₁), y(t₁), t₁)) Δs

Se primo ∑ f(x(t₁), y(t₁), t₁)) Δs

ensetto Δs -> 0 e per ogni sezzetto del punto P(t)

nell'arco Δs ε = ∫_t f(t₁, t₂, t_n)

integrale di linea

filo di materiale con densità δ(x,y,z)

∫_c δ(x,y,z) ds = massa del filo

filo che ruota attorno all'asse z

∫_c (x² + y²) ds = momento d'inerzia per effetto della rotazione del filo attorno all'asse z

Esempio:

Un corpo che ruota nel piano xy attorno all'asse z con velocità angolare Ω k̂ Ω > 0 Il campo della velocità del corpo è dato da:

v = Ω K x r = Ω k̂ x (xî + yĵ) = î _vx = - Ω y ĵ _vy = Ω x z = 0

è conservativo?

• _∂Fz / _∂y = ∂(−Ωy) /_∂y = - Ω
• _∂Fz /_∂x = ∂(Ωx) /_∂x = Ω

Ω ≠ −Ω → F ({com}) nome conservativo Ȟ = {overbar F - ∇f

Esempio:

E(x,y) = _2xy / _(1+x²)² î + ₁ / _(1+x²) ĵ = F è conservativo?

Dominio: R²

• ∂Fx /∂y = ∂(sub>2xy / (1+x²)²) / ∂y
• ∂Fz /∂x = ∂(₁ / 1+x²) / ∂x

Se ∃ φ(x,y) tale che ∇φ(x,y) = F?

1° modo:_∂φ /_∂x = _2xy / _(1+x²)² ⇒ φ(x,y) = ∫ [2x / (1+x²)²] dx = -y/1+x² + g(y)

φ(x,y) = -_y / _1+x² + c è un potenziale del campo ∇φ = F

2° modo:

• ∫ 1 / (x²) dy = -_y / 1+x² + (x) ∂φ(x,y) / ∂x = 2xy / (1+x²)² ⇒ φ(x,y) = f(x) = c

Φ(x,y) = -_y / _1+x² - c

Un dominio D si dice connesso se dati due punti P e Q in D esiste una curva continua che congiunge P e Q contenuta in D.

Teorema: Sia E un campo vettoriale ben definito in D dominio connesso. E = ∇φ (φ) ovvero il rotore di E lungo una curva non dipende dal percorso ma solamente dai punti iniziale e finale della curva.

Infatti si trova

\(\int_P^Q E \cdot d\vec{r} = \int_P^Q \nabla \varphi \cdot d\vec{r} = \varphi(Q) - \varphi(P)\)

Dimostrazione:

E(x,y,z) = F₁(x,y,z)i + F₂(x,y,z)j + F₃(x,y,z)k,

D connesso, P,Q ∈ D

Campo conservativo:

E = ∇φ —> φ(x,y,z)

\(\frac{\partial \varphi}{\partial x} = F_1\), \(\frac{\partial \varphi}{\partial y} = F_2\), \(\frac{\partial \varphi}{\partial z} = F_3\)

\(\frac{\partial F_1}{\partial y} = \frac{\partial F_2}{\partial x}\), \(\frac{\partial F_2}{\partial z} = \frac{\partial F_3}{\partial y}\), \(\frac{\partial F_3}{\partial x} = \frac{\partial F_1}{\partial z}\)

\(\vec{r} = \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \\ a \leq t \leq b \end{cases}\), t = 0: P = (x(a),y(a),z(a)), t = 1: Q = (x(1),y(1),z(1))

\(\int_P^Q E \cdot d\vec{r} = \int_a^b \left[ F_1(x(t),y(t),z(t)) \frac{dx}{dt} + F_2(x(t),y(t),z(t)) \frac{dy}{dt} + F_3(x(t),y(t),z(t)) \frac{dz}{dt} \right] dt\)

\(\Rightarrow E = \frac{d\varphi}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{d\varphi}{dy} \frac{dy}{dt} + \frac{d\varphi}{dz} \frac{dz}{dt}\)

\(= \int_a^b \left[ \frac{\partial \varphi(x(t),y(t),z(t))}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \varphi(x(t),y(t),z(t))}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \varphi(x(t),y(t),z(t))}{\partial z} \frac{dz}{dt} \right] dt\)

Su due forme \(= g(t)\)

\(= \int_a^b \frac{d}{dt}(\varphi(x(t),y(t),z(t)) dt = g(b) - g(a)\)

\(= \varphi(x(b),y(b),z(b)) - \varphi(x(a),y(a),z(a)) = \varphi(Q) - \varphi(P)\)

Corollario:

E chiuso in D connessaF è conservativo in D se il lavoro di F lungo una qualunque curva chiusa è zero.

Dimostrazione:

Se F conservativoe curva chiusa∮_γ F · dl = 0

• _e1 F · dx - ∫_e2 F · dx = 0
• ∫_e1 F · dx + ∫_e2 F · dx = 0
• ∮_e F · dx = 0

Viceversa:

Sia ∮_γ F · dx = 0 iff γ curva chiusaallora lavoro di F non dipende dal percorso

• e₁ = e₂ ∩ γ = e₃ se γ curva chiusa
• ∮_e1 F · dx = 0
• + ∫_e1 F · dx- ∮_e2 F · dx

Esercizi:

1. F(x,y) = ( y^α x + x³ ) i + ( y ^3x₂ + 1 ) j; α ∈ ℝ
2. 1) Dire per quali valori di α F è conservativo.
3. 2) Se α = 1 trovare un potenziale di F e calcolare ∫_C F · dxe, x = y² o C x ≤ ty ≥ 0
4. 4) Se F è conservativo → _∂Fi/_∂y = _∂Fe/_∂x
5. ∂F_i/∂x = y^α-1 x∂F₂/∂y = y^3x₂ → α - 1 = 3 → α = 4