Funzioni vettoriali e campo vettoriale

Revisionato il 01/07/2026

di .aaaraS

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Appunti con dimostrazioni ed esercizi su: funzioni vettoriali di una variabile (lunghezza di un arco di curva in coordinate polari), campo vettoriale o campo di forze (linee di campo, campo …

Esame Matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Bazzoni Silvana

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2022-2023

68 pagine

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Funzioni vettoriali di una variabile reale

Funzioni reali di una variabile reale
f: I → ℝ

f(x)

x ∈ I
Funzioni reali di due variabili reali
f: D → ℝ

f(x,y)

(x,y) ∈ D
Funzioni reali di tre variabili reali
f: R → ℝ

f(x,y,z)

(x,y,z) ∈ R³

ρ funzione vettoriale di una variabile reale

ρ: I → ℝ³

ρ(t) = (x(t),y(t),z(t))

I ⊂ ℝ

t ∈ I

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k t ∈ I

equazione vettoriale della curva

c: { x = x(t)

y = y(t)

z = z(t) }

equazioni parametriche della curva C

Δr = P(t) P(t + Δt)

P(t) + Δr = P(t + Δt)

Δr = r(t + Δt) - r(t)

Δr_t = velocità media nell'intervallo Δt

^Δt

Se lim_Δt→0 Δr_t = v(t)

vettore velocità

vettore tangente a c in P(t)

v(t) vettore derivato

c: { x = x(t)

y = y(t)

z = z(t) }

v(t)x_e(t)

v(t) = { dx/dt

dy/dt

dz/dt }

x_e(t) = a/e(t) dt

M(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

x_e(t) = a/e(t) dt

x_e(t) è velocità scalare

Funzioni vettoriali di una variabile reale

Funzioni reali di una variabile reale
- f: I → ℝ
- f(x)
- x ε I
Funzioni reali di due variabili reali
- f: D → ℝ
- f(x, y)
- (x, y) ε D
Funzioni reali di tre variabili reali
- f: ℝ³ → ℝ
- f(x, y, z)
- (x, y, z) ε ℝ³

Funzione vettoriale di una variabile reale

ρ: I → ℝ³
- t ε I

ρ(t) = (x(t), y(t), z(t))

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k t ε I

Equazione vettoriale della curva

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

Equazioni parametriche della curva C

Δr = P(t)P(t+Δt)

r(t) + Δr = r(t + Δt) Δr = r(t + Δt) - r(t) Δr_m = retta secante e P(t)

Se lim_Δt→0 Δr/Δt = r'(t) vettore velocità ≡ vettore derivato

vettore tangente a e in P(t) r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k r'(t) = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k

x_t(t) = a_t(t) = (dv(t)/dt)

Esempio:

²}z = x² ₁x+y=2

Determinare eq parametriche di e e il vettore direttrice

₂{x=t y=2-t z=t t ∈ℝ

n(t){1 -1 2t

Esempio:

Parametrizzare la curva e_{x+y=1²z=x^{-x ℓ}y²}

x=t y=1-t _{z=√4^{4-t²2t=2 ℓ 2t-2t²}}

Esempio:

²}z=x²y² _2x-6y²=1

Parametrizzare piano

_{2x-y²=1 {}x²y²^{z {y-2x=-1 y^x²y²}

_{(x-²)²⁺(y+²)-_6=-1}( _x-1²+(y+²) ) ²^₋4z=x²y²

x-1=2 cos t y+²=2_{sin t}z=2x2^zy²

* x=2_{cost 2}y=2^{sin t}z=1+6_{cos t}2t⁴cos t6 _{sin ^{8 sin t}}

r(t_i)=x(t_i)i + y(t_i)j + z(t_i)k

t ∈ [a_i, b]

Sia ℓ una curva liscia cioè

d_r = (dr(t)) continua e ≠o in ogni punto

r(t) = t²i + t³j

t ∈ [0,1]

x = t²
y = t³
y² = x³
y = √(x³)
x ≥ 0

dr(t) = ⟨ 2t ⟩

dt 3t²

r(0) = 0 e non è liscia

Se ℓ è liscia la lunghezza di ℓ è calcolabile

P(t) t ∈ [a,b]

lim tj=ti+1 = Δti

Δi = ti+1- ti

Δrei

Se ℓ è liscia

Se esiste lim Σ |Δℓki| = lunghezza di ℓ

dt -> 0

ℓ =(lim Σ |Δk| ), Δt =

dt -> 0

|r(b)| -

lim |r(b)| - |dr |

∫ |r(t)| dt = lunghezza ℓ da P(a) a P(b)

y = f(x)

x ∈ [a,b]

ℓ x' + f(x)

dt |x' +

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