Funzioni trigonometriche

Funzioni trigonometriche

Concetti fondamentali

OH = cosα

PH = sinα

Per calcolare OP, basta applicare Pitagora:

OH² + PH² = OP²

che si traduce nella prima regola fondamentale trigonometrica, che dice: seno²α + coseno²α = 1.

Tabella delle funzioni trigonometriche

Misurare l'angolo con l'arco sotteso, vuol dire cambiare l'unità di misurare l'angolo, misurare gli angoli in radianti. Quindi, l'angolo corretto per misurare gli angoli non è quello in gradi, ma in radianti.

Proprietà fondamentali

1. sin(-x) = -sin x
2. cos(-x) = cos x
3. Nel caso di sin(-x) se io cambio segno alla variabile, il valore della funzione cambia di segno, è una funzione dispari.
4. Nel caso di cos(-x), è una funzione pari, poiché il suo valore è lo stesso da una parte e dall'altra.
5. sin (x + π ) = sin x
6. cos (x + π ) = cos x
7. Seno e coseno sono periodici di periodo 2π. Basta pensare che x è il mio angolo di partenza e aggiungo 360 gradi. Ottengo il valore di partenza.
8. sin (x + 2kπ ) = sin x
9. cos (x + 2kπ ) = cos x con k intero = 0, ± 1, ± 2, ± 3... ecc.
10. cos (± π ) = sin x
11. sin (x + π ) = cos x
12. sin (x + π ) = -sin x
13. cos (x + π) = cos x

Se io sposto il grafico del coseno in avanti di 90°, ottengo il grafico del seno. Questa frase, in formula si trasforma come: cos(x - ^π/₂ ) = sin x

Spiegazione

Se io ho f(x) e considero f(x-a), allora il grafico della seconda coincide con il grafico traslato "di a" avanti di a. Definisco f(x-a)=g(x).

• a = 2
• f(2)=0
• f(2)= 1
• f(3)=3
• f(4)=2

Non ha senso chiedersi, in questo caso, quanto valgono g(4) e g(2) poiché in quei due punti la funzione "logaritma".

Dimostrazione

g(a)= f(a-2)= -2

g(2)= f(2-2)=0

In questi due punti non c'è funzione. Ha senso cominciare a chiedersi quanto vale la funzione nel punto 3:

• g(3)= f(2)= -2
• g(4)= f(2)= 1
• g(5)= f(5-2)= f(3)= 3
• ecc...

Se a>1, il grafico di g(x)= f(ax) è più contratto di "a" fattore rispetto al grafico di f. Se invece 0 < a < 1, il grafico di g(x)= f(ax) è più dilatato rispetto al grafico di f.

Esercizi

• g(x) = x² - x-2(x+2)
• g₁(x)=g(x-1)
• h₂(x)=g(x)-1

Funzione tangente

Ho 2 triangoli: -OÂP-OÂB

Per il principio di TALETE:

PH:OH = BA:AO

sinα:cosα tgα:1

tgα=sinα:cosα = sinα/cosα.

La tangente a π/2 e a 3/2π non è definita perché si creano due parallele issue.

cos/sin= tg

La tangente è una funzione DISPARI e PERIODICA di periodo = π.

tg(-x)=sin(-x)/-cos(-x) = -sinx/cosx = -tgx

• g₂(x) = g(x + 2)
• h₂(x) = g(x) + 2
• g₃(x) = g(2x)
• h₃(x) = 2g(x)
• g₄(x) = g(x/2)
• h₄(x) = 1/2 g(x)

Area di settore circolare

1. Area di OAB: ¹/₂ bq • ¹/₂ b²
2. Area di OAP: ^{cos sin q}/₂
3. Area di CAP: ^{sin cosq}/₂

Area di settore OAP: AP:OA = α/₂ α/₂

Ordino gli oggetti geometrici calcolati:

1. OA_B
2. OA_P
3. OA_P
4. O_HP

Funzione inversa di sin, cos, tg

f(x)=sinx sim: IR

Non va bene perché IR senz R compreso tra -1 e 1, quindi limito la funzione tra -π/₂ e π/₂

sin∈[-π/₂;π/₂] > C_[-1;1]

Questa funzione inversa è INVERTIBILE e prende il nome di ARCOSENO.

arcsin: [-1;+1] > [-π/₂;π/₂]