Funzioni e proprietà

FUNZIONI:

Per determinare una funzione servono 3 elementi:

1. Insieme A
2. Insieme B
3. Legge f che associa ad OGNI elemento di A un UNICO elemento di B

f: A -> B    o    f(a) = b

Funzione Suriettiva (S)

Per ogni b ∈ B esiste almeno un elemento a ∈ A.

Funzione Iniettiva (IN)

Se prendo 2 elementi distinti, anche le loro immagini sono diverse.

Funzione Biunivoca (o Biunivoca)

Comunque sia ∃ b ∈ B, esiste un unico a ∈ A, tale che ∃(a)=b. Una funzione detta INVERTIBILE, ovvero può essere letta al contrario:

• g: B → A
• g(b)=a

g∃(x)= xⁿ con n ∈ N 0 ∫(x)∃ x: x ×...× x

Polinomi

• 1° ∃(x) = ax + b → Retta
• 2° ∃(x) = ax² + bx + c → Parabola

Parabola x = x² + φx + Φ Retta x = x + φ

Al crescere dell'esponente, il valore di x_n tende a scendere verso 0.

Se si va oltre x₂, accade esattamente l'opposto.

Se 0 < x < a < 1

1 < a² < a³

Juice: se x = y, il punto sarà sempre 1.

Definizione di xⁿ per ogni intero:

Inizio con x⁰:

deve continuare a valere la proprietà delle potenze.

x^m ∙ xⁿ = x^{m + n} → Ottengo x⁰ → x^m ∙ x⁰ = x^{m + 0} = x^m ∙ xⁿ → diindo per x^m → x⁰ = 1

Ciò può essere vero solo se x ≠ 0!!

x^-n = x^m ∙ xⁿ = x^{m + n}

Frazioni.

x^-n ∙ xⁿ = x⁰ = 1 se x ≠ 0!!

Dunque per x^-n, x ∙ x ∙ x = 1 ∕ x^-n

y = g(x) = 1 ∕ x

x^-2 a ∕ 1 ∕ 4

• 0
• 2 ∕ 4
• 3 ∕ 9

Il valore |x| è una funzione pari, ecco perché:

Definire x^a con a ∈ ℝ x⁰ = 1 (Per convenzione)

Prendo un insieme A di numeri e definisco MAX(A) un elemento M tale che M ∈ A e M ≥ a per ogni a ∈ A.Il massimo potrebbe benissimo non esistere, come per esempio se io considerassi un insieme illimitato, l'insieme non ammette massimo.Lo stesso concetto si applica a Min(A), si utilizza il stesso procedimento.

MAX(A) e MIN(A) potrebbero non esistere all'interno di un insieme, quindi c’èun qualcosa che sostituisca MAX e MIN in loro assenza? Questo “qualcosa” è legato alla struttura dell’insieme.

INSIEMI LIMITATI

Si precisa che A è limitato se esistono due numeri reali c e d, tali che ogni elemento dell'insieme a, c ≤ a ≤ d. Ogni elemento è compreso tra c e d. (c-s_(t-1) e f_(1-1) con  a ∈ A).

Se ciò non si verifica l’insieme è ritenuto ad esempio:A-N→⇀Illimitato