Funzioni e proprietà

Funzioni

Per determinare una funzione, servono 3 elementi:

1. Insieme A
2. Insieme B
3. Legge f che associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B

f: A → B

f(a) = b

Funzione suriettiva (SU)

Per ogni b ∈ B, esiste almeno un elemento a ∈ A.

Funzione iniettiva (IN)

Se prendo 2 elementi distinti, anche le loro immagini sono diverse.

Funzione biiettiva (o biunivoca)

Comunque sia stato b ∈ B, esiste un unico a ∈ A, tale che f(a) = b. Una funzione biiettiva è sia SU che IN.

La funzione biiettiva è invertibile, ovvero può essere letta al contrario: g: B → A o g(b) = a

f(x) = xⁿ con n ∈ N ∖ 0

f(x) = x · x · x ... xn volte.

i = 1 → g(x) = ax + b → Retta

i = 2 → g(x) = ax² + bx + c → Parabola

Rette perpendicolari

Una ha il reciproco di coefficiente angolare dell'altra:

1. y = 2x + b
2. y = -1/2x + b

Rette parallele

Hanno lo stesso coefficiente angolare:

1. y = x + 15
2. y = x - 9

Come stabilire se una funzione è suriettiva

Una funzione f: A → B, (X→y) si dice suriettiva se per ogni elemento A appartenente a Codominio, esiste almeno un punto X nel Dominio tale che f(X) = Y. In sostanza si tratta di capire se per ogni elemento dello spazio d'arrivo esiste un elemento nello spazio di partenza per cui l'applicazione valutata in quel punto dà proprio l'elemento cercato.

Metodo analitico per lo studio della suriettività

Trovo per ogni y appartenente a R almeno una x appartenente a R tale che f(x) = y, cioè ∀y ∈ R ∃ x ∈ R f(x) = y ⇔ NB: indicare che lo x trovato (prendiamo solo x appartenente al dominio della funzione).

Metodo grafico per lo studio della suriettività

Bisogna sovrapporre le seguenti tracce del grafico: qualsiasi delle funzioni che permette di mantenere al variare della y ordinata sull'asse delle Y per cui il grafico di f è sufficiente. Questo garantisce la suriettività della funzione.

Esempio:

1. Considerando la funzione y = x.

Analiticamente la suriettività della funzione indicata risulta verificata: infatti, qualunque Y ∈ R venga scelto sul codominio, la X corrispondente è proprio uguale a X che si è scelta in partenza. Es: 5 = 5, 4 = 4, 9 = 9 ecc.

1. y = x

Graficamente, y = x è la bisettrice del primo e del terzo quadrante. La proiezione sull'asse delle X copre l'intero asse delle X, quindi la funzione risulta essere suriettiva.

2) Considerando la retta y = 3x + 5. Il metodo analitico garantisce immediatamente la suriettività di questa funzione, infatti per y qualunque x sarà semplicemente x = (y - 5)/3. In questo caso però è più semplice usare il metodo grafico. Se un'equazione permette di esprimere facilmente, senza problemi di dominio di definizione, la funzione è biettiva e ciò significa che è per forza suriettiva.

Come controllare se una funzione è iniettiva

Data una funzione f: R→R, f: x→ y si dice f(x) è iniettiva se PER OGNI x₁, x₂ elementi di Df, la condizione f(x₁) = f(x₂) implica che x₁ = x₂.

Metodo analitico

Ponendo il quoziente g'(f(g)) imponga l'uguaglianza f(x₁) = f(x₂). Risolvendo questa, porre tutti gli x a sinistra di uguaglianza e tutti gli x dalla destra per creare l'equazione. Se il risultato è x₁ = x₂, allora la funzione è iniettiva. Se ci sono altre possibilità, allora non lo è.

Metodo grafico

Analogo metodo e consiglio per funzioni che non ricevono espressioni troppo complicate. Comincio disegnando un grafico qualsiasi della funzione, ossia un grafico con un'essenza dove contengono tutte le ascisse e coordinate della funzione. Si tracciano poi delle linee rette orizzontali parallele alle ordinarie.

Alzando la retta orizzontale, vedo se passa due incroci alle rette o meno eseguendo l'intero grafico della funzione. Se alcuna retta orizzontale INTERSECA la funzione in 2 o più punti, la funzione NON è iniettiva. Se le rette hanno al più 1 punto di intersezione con la funzione, allora è iniettiva.

Esempio:

1. Considerando la funzione y = f(x), 4x + 5. Questa funzione è iniettiva. Infatti usando il metodo analitico, trovo che imponendo f(x₁) = f(x₂) ottengo: 4x₁ + 5 = 4x₂ + 5. Risolvo, poi divido per 4 e trovo x₁ = x₂. Questi passaggi sono coerenti, quindi si riporta le stesse operazioni e la funzione è iniettiva, perché non ci sono altre possibilità. Con il metodo grafico si ottiene la stessa risposta.
2. Considerando la parabola f(x) = x² + 4x - 5, questa funzione non è iniettiva poiché la parallela alle ascisse tocca la funzione in 2 punti.

Funzione f(x) = xⁿ con n intero e positivo

Ci sono 2 regole fondamentali:

1. xⁿ · x^m = x^n+m
2. (xⁿ)^m = x^{n · m}

(Esempio: (x²)³ = x⁶ = x · x · x · x · x · x)

Una funzione, se l'indice è pari, è simmetrica nel punto x = del punto x = e lo stesso.

Se l'indice della funzione è dispari, il comportamento è opposto. Al crescere dell'esponente, il valore di xⁿ tende a scendere verso 0. Se n va oltre n' = 1, accade esattamente l'opposto. Se 0 < x < 1 e n ∈ N:

1. 2 < 3
2. 1 1x x³

Quindi se x = ½, il punto sarà sempre di ...0 < x _n < 1 ½ < ½² xⁿ > x

Definizione di xⁿ per ogni intero

Finora con xⁿ devono continuare a valere le proprietà delle potenze:

x^m · xⁿ = x^m+n → ottengo x⁰ = x^n-n = xⁿ · x^-n → divido per xⁿ → x⁰ = 1

Ciò può essere vero solo se x ≠ 0 !! 0-x se x

La funzione valore assoluto è quella che identifica il suo argomento se l'argomento è ≥ 0 ed è l'opposto se è negativo.

Esempio:

| x - 3 | = x - 3 se x ≥ 3 -(x - 3) se x < 3

Se n ≥ 0 → xⁿ = x⋅x⋅...⋅x → n volte

Se n = 0 → x⁰ = 1 con x ≠ 0

Se n -n = 1 / xⁿ con x ≠ 0

Radice ennesima

f(x) = x^1/m ⇒ (x^1/m)^m = x^m⋅1/m = x¹ = x → ogni x che si conserva questa proprietà (x^1/m)^m = x

Esempio:

2³ = x ⇒ se alla potenza n devo ottenere il numero x.

x deve essere uguale alla radice ennesima di x → 2 = √4

2² = 4 ⇒ 2 = √4

x^1/m = m√x

Una funzione è qualcosa che associa a un oggetto di un insieme un unico oggetto di un altro insieme. Prendiamo come esempio la funzione x²:

f(x) = x²

I_f: ℝ = [0; +∞) → ℝ = [0; +∞)

Questa limitazione ne fa la funzione biunivoca. Prende in considerazione solo metà parabola. La funzione inversa della funzione elevamento al quadrato ristretta ai valori maggiori o uguali di 0 della variabile x è invertibile e la sua funzione inversa √x:

g(g(x) → f(x) = x^e

x^e f(x): [0;+∞) → [0;+∞)

√x = g(x): [0;+∞) → [0;+∞)

f(x) = x

g(x) = √x

Funzione inversa

f: A → B

f. inverso g: B → A

I grafici di f e g sono simmetrici rispetto alla diagonale principale. √x è l'inverso dell'elevamento al quadrato, rispetto al semiasse negativo. √x è la stessa cosa quando consideri l'elevamento al quadrato rispetto a (-∞, 0).

Funzione:

f(x) = x

g: [-∞, 0] → [-∞, 0]

g(x) = x

Come da grafico, consideri solo una parte della funzione f(x) = x perché se considerasse i due assi insieme, non la sua funzione biunivoca.

Dimostrazione

Considero naturali sulla x e sulla y due diversi insiemi. f(x) = x²

Quando f(x) = x² è simmetrico, ma non iniettiva. A questo punto posso dire che non è biunivoca.

f(x) = (x-2)²

f(-x) = (x-2)²

Quindi nel caso di una funzione xⁿ posso riscrivere la funzione stessa in due diversi modi... ottengo due sole diverse. Questo capita per ogni xⁿ con n pari. Ora consideriamo f(x) = x³

x³ è biiettiva perché: Questa funzione la posso considerare definita in tutto R e quindi:

f: R → R

Ha dominio tutto R, cioè su qualunque numero reale, escludendo i numeri tra reale e viceversa e la sua funzione inversa è definita anch'essa dappertutto. Questo fatto capita ogni volta che ho l'indice dispari.

x^m/n dove x definita divide di n se m è pari e dispari.

x^m/n = x^1/n; ∀x che equivale a (x^k)^1/n cioè ∀x^m2/3

Ripongo che m sia uguale a 1 e n a 6...1/3⁶ = (√x)^n/6 con uno se x = 1 - compio il (√x)^1/6

(√x)^1/2 = 1 Allora esiste.

Se però cambio la scrittura x = x^1/3 - compio il (√x)^1/6 (√x) se x = 1 non esiste! Lo stesso vale con m 1/3. Devo quindi imporre che l'argomento sotto radice sia maggiore di 0; x > 0

x^m/n vale solo per x > 0 e y xⁿ ≥ 0 solo se x = ... Quindi per ottenere la condizione generale di funzione potenza con esponente razionale, si può imporre che la base sia maggiore di 0 e che anche uguale a 0 se il numeratore dell'indice = q₁ sempre meno di q abbiate la funzione.

La funzione inversa della funzione elevamento al quadrato ristretta al dominio maggiore o uguale a 0 della variabile (x ≥ 0) è invertibile e quindi sua funzione inversa √x.

g(x) = √x ⇒ g^-1(x) = x²

x = g(x): [0; +∞) ⇒ [0; +∞)

√x = g^-1(x): [0; +∞) ⇒ [0; +∞)

g(x) = x²

g(x) = √x

Funzione inversa

j: A → B

j^-1: B → A

I grafici di g e g^-1 sono simmetrici rispetto alla diagonale principale. √x è l'inverso dell'elevamento al quadrato, rispetto al semiasse negativo. √x è la stessa cosa quando consideri l’elevamento al quadrato rispetto a [−∞; 0].

Funzione:

g(x) = x²

j: [0; +∞) ⇒ [0; +∞)

g(x) = x²

j: (−∞; 0] ⇒ [0; 0]

Funzione inversa

g(x) = √x

g: [0; +∞) ⇒ [0; +∞)

g(x) = √x

g: [0; +∞) ⇒ (−∞; 0]

Come da grafico, considero solo una parte della funzione g(x) = x², perché se considero i due assi assiali, non ho una funzione biunivoca.

Dimostrazione

Considero naturali sull'insieme x e sull'insieme y due diversi insiemi. f(x) = x²

Quando f(x) = x² esiste simmetricamente una funzione a questa prima parte che non è biunivoca.

y(x) = x²

y(x) = (-2)²

y(x) = (-2)² = 4

Il valore |x| è una funzione pari, ecco perché:

Definire x^a con a ∈ R

x^π? Che cos'è? Prendo un insieme A di numeri e definisco MAX(A) un elemento M tale che ∀ a ∈ A a ≤ M se appartenenti a quell'insieme.

Il massimo potrebbe benissimo non esistere, come per esempio se io consideravo un insieme illimitato, il numero non avrebbe massimo. Se invece considero insieme {0,1} e qual è massimo. Si ottiene anche qui una cosa un massimo, perché le prendo 0, 1 e deguig.

Min(A) = quell'elemento m reale tale che m ∈ A e m ≤ a ∀ a ∈ A. Max(A) e Min(A) potrebbero non esistere all'interno di un insieme, quindi necessito qualcosa che sostituisca tali o nell'ora assenza.

Questo qualcosa è legato alla struttura dell'insieme A. Prendiamo caso che A sia un insieme di numeri.

Insieme limitato

Si dice che A è limitato se esistono due numeri reali c e d tali che ogni elemento dell'insieme a ∈ A c ≤ a ≤ d. Ogni elemento a occupa tra c e d. (c ≤ a ≤ d) con a ∈ A.

Se ciò non si verifica, l'insieme è illimitato ad esempio:

• A - N ≠ Illimitato
• A - Q - Illimitato

Esempio:

Prendo un insieme A costituito da tutti IN: 0, 1, 2, 3... n

Esiste il Min(A) = 0 sup(A) = ? Uno degli elementi del B sopra, quando si dice che l'insieme A-IN è limitato superiormente. Non esiste MAX(A) 0 ≤ x ∈ ?

Quando un insieme non ha massimo e/o minimo

Si considerano i sostituti:

• Estremo inferiore (Min)
• Estremo superiore (Max)

Estremo superiore

Ho un insieme A, presumo che questo sia limitato superiormente, cioè esiste un numero d tale che ogni elemento di A non può essere più grande di ognuno a ≤ d ∀ a ∈ A. Quindi l’estremo superiore di A è il minimo valore di d per maggiore tutti gli elementi di A. Se questo max non esiste, non è un estremo superiore.

Estremo inferiore

Suppongo che A sia limitato inferiormente, cioè che esista c tale ogni a ≥ c allora si dice estremo inferiore il massimo valore di c tale che c ≤ a per ogni a ∈ A. Per insiemi numeri limitati esiste estremo inferiore ed estremo superiore solo se furono nell’insieme IR ma possono non esistere se un limitato ai razionali (IR Q).

2^√2 = ?

1. Se esiste d è un numero razionale 2 ≤ 2^√2 ≤ 4

Se x^a più grande e l'esponente più grande il valore della potenza, quindi:

x² √2 18 √2 3;14 A sinistra = 2^√2 x⁴ x_3,15 2^3,1412 2,2255 ≤> 3,141 √2 e^√2