Funzioni di due variabili, Analisi matematica II

FUNZIONI DI 2 VARIABILI

Def: Sia A un insieme in R² e P=(x₀,y₀), Q=(x,p,d,p), R(t₀,x₁y₁).

1. Si dice che P è un punto interno ad A se esiste un raggio R tale che l'intorno circolare di P di raggio R è contenuto in A.
2. Si dice che Q è un punto esterno ad A se Q è intero al complementare di A, ovvero esiste un raggio S>0 per cui l'intorno circolare di Q di centro Q non interseca A.
3. Un punto R si dice di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se ogni intorno di R contiene sia punti di A che punti che non sono in A.
4. Un punto P₀ = (x₀, d) si dice di accumulazione per A se comunque preso un suo intorno I di R esiste almeno un punto di I diverso da P₀ che appartiene ad A. Se un punto non è di accumulazione per A, si dice isolato.

Def: Sia A un insieme di R²

1. A si dice aperto se comunque preso P ∈ A esiste S>0 tale che l'intorno I è centrato in P di raggio S è contenuto in A.
2. A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
3. A detta la chiusura di A, ovvero l'unione di A e dei suoi punti di accumulazione. La chiusura di A è un insieme chiuso, quindi è il più piccolo insieme chiuso che contiene A. A coincide con l'unione di A e dei suoi punti di frontiera.

A è detto limitato se esiste un raggio r (anche molto grande) tale che l’intorno I_n(0) centrato nell’origine e di raggio contiene A.

A è detto connesso se non ci sono due aperti disgiunti, con la cui intersezione è vuota e uno vuoto, la cui unione è A. In caso contrario A è detto sconnesso.

Definizione di limite di 2 variabili:

lim f(x,y) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ = δ(ε,x₀,y₀)>0 : d((x,y),(x₀,y₀)) < δ ⇒ |f(x,y) - l| < ε

Se per una sola variabile:

lim f(x+h) - f(x)h→0 h = 0, dove h = x-x_o

Allora per 2 variabili:

lim F(x_o+h_i,y_o+k) - f(x_o,y_o) - ah_i - b_i = 0h(n)→(o,o) |(h_i,n_i)|

|h(n)| = d((h_i,n_i),(0,0)) = √(h_i² + n_i²)

Chi sono a e b?

Se l_y o h→0

lim f(x_o +h,y_o) - f(x_o,y_o) - bhnh→0 h = o, ov = f_x(x_o,y_o)

Se l_y o k→0

lim f(x_o,y_{o> + k) - f(xo,yo) - bx = gn→0 n = 0b = fy(xo,yo)}

Massimi e minimi relativi

I punti di massimo e di minimo relativo sono rispettivamente zeri delle derivate parziali prime. Con le matrici Hessiane si hanno condizioni sufficienti per garantire se un dato punto critico è un punto di minimo, di massimo o nessuno dei due.

H(x, y) =

|f_xx(x_o, y_o) f_xy(x_o, y_o)|

|f_yx(x_o, y_o) f_yy(x_o, y_o)|

Se det H > 0 e f_xx(x_o, y_o) > 0 → (x_o, y_o) è pto di minimo

Se det H > 0 e f_xx(x_o, y_o) < 0 → (x_o, y_o) è un pto di massimo

Se det H < 0 → (x_o, y_o) è pto da sella

Se det H = 0 → ?

Moltiplicatori di Lagrange

Teorema: f, g: A ⊂ ℝ² → ℝ A punto, f, g ∈ C¹(A)

Π = {(x, y): g(x, y) = c}

Se (x_o, y_o) è un punto critico vincolato di f su Π

→ det

|f_x(x_o, y_o) f_y(x_o, y_o)| = 0

|g_x(x_o, y_o) g_y(x_o, y_o)|

→ ∇f(x_o, y_o)//∇g(x_o, y_o)

λ (moltiplicatore di Lagrange) ←→ ∃ λ ∈ ℝ : ∇f(x_o, y_o)/∇g(x_o, y_o)

|f_x(x_o, y_o) - λg_x(x_o, y_o)|

|f_y(x_o, y_o) - λg_y(x_o, y_o)| = 0