Funzioni di due variabili, Analisi matematica II

Fuzioni di 2 variabili

Def. Sia A un insieme in R² e P=(x₀, y₀) Q=(x_p, y_p) R=(x_r, y_r) punti di R².

2. Si dice che P₀ è un punto interno ad A, se esiste un raggio δ tale che l'intorno circolare di P₀ di centro δ e raggio δ è contenuto in A.

2. Si dice che Q è un punto esterno ad A se Q è intorno al complementare di A, ovvero esiste un raggio δ > 0 per cui l'intorno circolare di P₀ di centro Q non interseca A.

3. Un punto R si dice di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se tuoti intorno di R contiene ovi punti di A dei punti che non sono in A.

4. Un punto P₀=(x₀, y₀) si dice di accumulazione per A se qualunque preso un suo intorno Iδ esiste almeno un punto di Iδ diverso da P₀ che appartiene ad A. Se un punto non è di accumulazione per A, si dice isolato

Def: Sia A un insieme di R²

1. A si dice aperto se qualunque punto P ∈ A esiste δ > 0 tale che l'intorno Iδ è centrato in P è di raggio δ è contenuto in A.

2. A si dice chiuso se il suo complementare è aperto

3. A detta la chiusura di A, ovvero l'unione di A e dei suoi punti di accumulazione. La chiusura di A è un insieme di più di A e il più piccolo insieme chiuso che contiene A. &Top; coincide con l'unione di A e dei suoi punti di frontiera.

Funzioni di 2 variabili

Def: Sia A una insieme in ℝ² e P:

1. S. dice che P₀ è un punto interno ad A, se esiste un raggio δ tale che l’intorno circolare di P₀ di raggio δ è contenuto in A.
2. S. dice che Q è un punto esterno ad A se Q è interni al complementare di A, ovvero esiste un raggio δ₀ per cui l’intorno circolare di Q di centro Q non interseca A.
3. Un punto R si dice di frontiera se non è né interno né esterno, cioè se qualunque intorno di R contiene sia punti di A che punti che non sono in A.
4. Un punto P₀ = (x₀, y₀) si dice di accumulazione per A se comunque preso un suo intorno I₀ esiste almeno un punto di I₀ diverso da P₀ che appartiene ad A; se un punto non è di accumulazione per A, si dice isolato.

Def: Sia A un insieme di ℝ²

1. A si dice aperto se comunque preso P ∈ A esiste δ₀ tale che l’intorno I di P centrato in P e di raggio δ₀ è contenuto in A.
2. A si dice chiuso se il suo complementare è aperto.
3. A detta la chiusura di A, ovvero l’unione di A e dei suoi punti di accumulazione. La chiusura di A è un insieme chiuso di A; è il più piccolo insieme chiuso che contiene A. A coincide con l’unione di A e dei suoi punti di frontiera.

A si dice limitato se esiste un raggio r (anche molto grande) tale che l'intorno Iₙ(0) centrato nell'origine e di raggio r contiene A

A si dice connesso se non ci sono due aperti disgiunti, M e N, intersezioni A vuoti e non vuoti: la cui unione fa A. In caso contrario A si dice sconnesso

Definizione di limite di 2 variabili

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y)=l ⇔ ∀ ξ > 0 ∃ δ = δ_ε,(x₀,y₀) > 0 : d((x,y), (x₀,y₀)) < δ ⇒ |f(x,y) − l| ≤ ε

Se per una sola variabile:

lim_h→0 &frac;{f(x₀+h)−f(x₀)}{h} = a =0 dove h = x − x₀

Allora per 2 variabili

lim_{(h₁,h₂)→(0,0)} F &left(parenthesis; &frac;(x₀+h₁,y₀+K)−f((x₀,y₀)−ah₁−bh₂)=0{h₁ |h₂|}&right)

|(h₁,h₂)| = d((h₁,h₂),(0,0)) = √. l² +n²

Chi sono a e b?

Se h₂ o h₁ = 0

lim_h→0 &frac;{f(x₀+h,y₀)−f(x₀,y₀)−bhn}{h} = a ⇔ = 0fₓ = f_x(x₀,y₀)

Se h₁ o h₂ = 0

lim_n→0 &frac;{f(x₀,y₀+k)−f(x₀,y₀)−bik}{n} =  b = 0b = f_y(x₀,y₀)

Def:

F: A⊂ℝ²→ℝ, A aperto, (x₀, y₀)∈A

f si dice differenziabile in (x₀, y₀) se ∃ f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀): il vettore [f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀)] ≡ ∇f(x₀, y₀) cioè, gradiente di f in (x₀, y₀)

lim_h→(0,0) [f(x₀+h, y₀+n) - f(x₀, y₀) - ∇f(x₀, y₀) ⋅ (h, n)] / ‖(h, n)‖ = 0

Es: f(x, y) = { x⋅y / x² + y²; 0 }

(x, y) ≠ (0, 0)

(x, y) = (0, 0)

∫ l.a. ∇f(0, 0) = (0, 0)

lim_h→(0,0) = lim_h→(0,0) h²

lim_h→0 mhk / [h + πm²]_{½ π 3/2}

→ { 100m≠0 0 m≠0 }

lim→ ∞_m→0

Prop:

Se f è differenziabile in (x₀,y₀) => f si continuo in (x₀, y₀)

Dim h: x-x₀, h→y-y₀

lim f(x, y) = lim f(x₀+t, y₀)+f_x(x₀, y₀)(x-x₀)+ f_y(x₀, y₀)(y-y₀)+Q(x₀, y₀)

= f(x₀, y₀)

∇f(x₀, y₀)

diff.

cont. (x₀, y₀)

Differenziabilitá in (x₀,y₀) ↔ C¹ Der. diff. totale

Continuitá in (x₀,y₀)

∃D_F(x₀,y₀)

Quando si dice che una funzione è differenziabile?

Teorema (Differenziabile totale)

f : A ⊆ ℝ² → ℝ, A aperto, (x₀,y₀) ∈ A ∃∇f(x,y) ∀x,y ∈ A

se f_x(x,y) e f_y(x,y) sono continue in (x₀,y₀) ⇒ f è differenziabile in (x₀,y₀)

Derivate successive

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)h + f''(x₀)h² + α(h²)

f ∈ C² x₀ : f'(x₀) = 0²

f(x) - f(x₀) = 1/2 f''_x0 h² + α(h²)

Parametrica - Derivazione per classe / funzioni composte

Sia f : ℝ → ℝ, F(t) = f(x(t), y(t)) dove

x : ℝ → ℝ²

y(t) = (x(t), y(t)); f : ℝ² → h ∈ C¹, γ ∈ C¹

⇒ F(t) = f_x(x(t), y(t)) x(t) + f_y(x(t), y(t)) y'(t)

Caso particolare y(t) = (x₀+t h / y₀) ⇒ℕF(t) = f_x(x₀+th, y₀)h + o

F(t) = f_x(x₀+th, y₀+t k)

F(t) = f_x(x₀h, y(t), y₀ + t y(t)) + o

F(t) = f_x(x₀+h, y+tk) / f_x(x₀, y₀)h

Formula di Taylor per f

f(t) = f(0) + f'(0)t + 1/2 f''(0)t^2 + o(t^2)

f(x + t h, y + t k) = f(x, y) + [f_x(x, y)h + f_y(x, y)k] t + 1/2 [f_xx(x + θ t h, y + θ tk)h² + 2 f_xy...

Tema di Schwartz

f: A ⊂ R^2 → R, aperto. ∈ 3 f_xx, f_xy, f_yx, f_yy in A

e le derivate sono continue in (x₀, y₀) ∈ A => D_xyf(x₀, y₀) = f_yx (x₀, y₀)

f(i) = f_xx(x₀, y₀)h² + 2 f_xy(x₀, y₀)h k + f_yy(x₀, y₀)k² se ε = 1

f(x + h, y + l) = f(x, y) + f_x(x, y)h + f_y(x, y)l + 1/2 [f_xx(x, y)h² + 2 f_xy(x, y)h l + f_yy(x, y)l²] + o(||h, l||²),

f(x, y) = f(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀) + 1/2 f_xx(x₀, y₀)(x-x₀)² + 2 f_xy(x₀, y₀)(x-x₀)(y-y₀) + f_yy(x₀, y₀)(y-y₀)² o( (x-x₀), (y-y₀) )²

Se (x₀, y₀) è un punto critico → D

[f(x, y) - f(x₀, y₀) = 1/2 [f_xx(x₀, y₀)(x-x₀)²+ 2 f_xy(x₀, y₀)(x-x₀)(y-y₀) + f_yy(x₀, y₀)(y-y₀)²]]