Funzioni composte ed esponenziali

Funzioni esponenziali

f(x) = a^x ⇒ La variabile passa all'esponente.

a^x: (-∞; +∞)

f(x) = a^x = 1 ⇒ a = 1

La funzione esponenziale se a = 1 è costante, poiché 1 elevato a qualunque cosa dà sempre 1.

Se a > 0 ⇒ a = 1/2

a = 1/2 ⇒ a = 2^-1 (proprietà delle potenze)

(1/2)^x, ovvero (1/2)¹ e^{x ln 1/2}

Nel punto x = 2, (1/2)² = e^-x

Anche il grafico è l'inverso della funzione a = 2.

Funzioni esponenziali (ripetizione)

y = a^x La variabile passa all'esponente.

a^x: (-∞; +∞) = (0; +∞)

Se y = a¹ x = a

La funzione esponenziale se a = 1 è costante, poiché 1 elevato a qualunque cosa dà sempre 1.

a = 1

a = 1/2 = a = 2^-1 (proprietà delle potenze)

(1 / a)^x ovvero (1 / 2)^x e² = 1

Nel punto x = 2, (1 / 2)² e^-1

Anche la grafica è l'inverso della funzione a = 2.

Confronto tra funzione potenza e funzione esponenziale

Chi è più grande tra una funzione potenza e una funzione esponenziale?

All'inizio (per x x²... funzione potenza.

n = e (base del logaritmo naturale)

x = e / x^e

e^x > x^e

Funzioni composte

f: A → B

Nome: Lo studente

Numeri: Matricola

g: B → C (data di nascita)

Studente

Ad ogni numero di matricola, associo la data dello studente corrispondente. Quindi: f: A → C

g ∘ f

Definita come: g(f(a))

Funzione composta: A → B → C

L'ordine è FONDAMENTALE.

Un cambiamento della base comporta una nuova funzione: il risultato deve ottenere risultati.

Esempi

1. g(x) = y = 4 + x²
2. g(a) = y
3. g(g(x)) = (4 + x)² = 4 + x² + 4x + x²

Contrario

f(g(x)) = y

g(y) = 4 + (y)² = +1y⁴

Scoprio che: f: A → B è BIETTIVA, quindi ad ogni a corrisponde un unico b e ogni b proviene di un unico a tramite la funzione.

g: B → A

g(b) = a

Si dice funzione inversa se f(g(b)) = b.

g(f(a)) = a

In altre parole, ottengo il punto di partenza però NON lo stesso.

g(f(g(b))) = b

Se parte da un oggetto a, questo viene in fine associato a un oggetto a giusto.

f(x)=a^x con a≠1 e a>0

g: (0;+∞) → ℝ

g(0;+∞) → ℝ

g(x) = log_a x

Funzione inversa dell'esponenziale.

ab^(c) → FUNZIONE LOGARITMO

Quindi se l'esponenziale trasforma somme in prodotti allora il logaritmo in qualche forma inversa trasforma prodotti in somme:

• log_a(b·c) = log_a b + log_a c con: a>0 e a≠1
• - log_a b² = log_a b · b = log_a b + log_a b = 2log_a b
• - log_a b³ = log_a b · b · b = 3log_a b
• - log_a b²⁰⁰ = 200log_a b

Quindi la relazione a^(b)cylog_a b vale solo se: a>0 e a≠1

Proprietà fondamentali:

• log_a a = 1
• log_a a^y = y

Cosa succede se cambio la base?

log_ac = log_bc : log_ba con a e b > 1 e x > 0

che equivale a log_ax = log_bx : log_ba

Trattando che la base a un destra fratto, il risultato del logaritmo in base a un numero, una base semplicemente moltiplicare per quel numero.

Quindi si passa da una base a un'altra quella inversa semplicemente cambiando di segno.

log_axxylog_xx

Logaritmi in base e

y = xy = x+1

y = e^x

log_ex

La base e è l'unica che non tocca mai la sua funzione inversa.

Come si costruisce e:

1. (1 + 1/n)ⁿ --> ϵ = se ϵ --> n = 3 --> (1 + 1/3)³ = 2
2. n = 2 --> (1 + 1/2)² = 2.25 ecc...
3. n = 3, n = 4, n = 10, n = 1.000.000.

Il numero e è il massimo superiore di (1 + 1/n)ⁿ