Funzioni composte ed esponenziali

Funzioni Esponenziali:

f(x) = a^x la variabile passa all'esponente.

a^x, x ∈ (-∞; +∞), f ∈ (0; +∞)

Se a = e

g(x) = e^x = lim (1 + 1/n)ⁿ

La funzione esponenziale se a ≠ 1 è costante, poiché 1 elevato a qualunque cosa da sempre 1.

x a = a^1/2

a = 1/2 → a^-2 = 2^-1 (proprietà delle potenze)

(1/2)^x = (e^-1)^x = 2^-x (Altra proprietà delle pot.)

(1/e^1/2)^x, ovvero (1/e)^-1/2 e^x e² e^-1

Nel punto x = 2, (1/2)^x e^-x

y

x

Questa grafico è l'inverso della funzione di a = 2.

Chi è più grande tra una funzione potenza e una funzione esponenziale?

x² 2^x 3^x

• 0 0 0 1
• 1 1 2 3
• 2 4 4 9
• 3 9 8 27
• 4 16 16 81
• 5 25 32 243
• 6 36 64 729 2^x > x²

All'inizio (per x x²

Da qui in poi l'esponenziale è maggiore della funzione potenza. Anche qui, dopo altre tentativi, successivi al sesto, l'esponenziale è più grande.

Qualcuno si trova nello situazione x^... = x² → x=3

Anche 3x², esponenziale è sempre più grande.

Questo metodo (1 + 1/n)ⁿ è troppo lento. Anzi, e^x è calcolabile con la somma fattoriale.

n! = 1 · 2 · 3 · 4 · ... n

• 0! = 1 (per definizione)
• 1! = 1
• 2! = 2 · 1 = 2
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
• 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 ecc.

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! = 2.5 ... ecc.

e è calcolabile in modo più veloce con la somma dei reciproci dei fattoriali.