Funzioni a variabile reale

Funzioni variabili reali

Definizione

Siamo dati due insiemi A e B. Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. La funzione si indica con f.

Dominio di definizione

Il dominio di definizione di f si indica con Df. Possiamo scrivere Df = A.

Grafico di una funzione

Il grafico di una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B.

Funzioni pari, dispari e periodiche

Funzioni pari

Una funzione f(x) si dice pari se per ogni x appartenente al dominio, si ha f(-x) = f(x).

Funzioni dispari

Una funzione f(x) si dice dispari se per ogni x appartenente al dominio, si ha f(-x) = -f(x).

Funzioni periodiche

Una funzione si dice periodica se esiste un numero reale T non nullo tale che per ogni x si ha f(x + T) = f(x).

Esempi di funzioni

• Funzioni pari: Le funzioni del tipo f(x) = cos(x) sono pari.
• Funzioni dispari: Le funzioni del tipo f(x) = sin(x) sono dispari.
• Funzioni periodiche: Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π.

Monotonia

Funzioni monotone crescenti

Una funzione è detta crescente se per ogni x₁ e x₂ nel dominio, con x₁ < x₂, si ha f(x₁) ≤ f(x₂).

Funzioni monotone decrescenti

Una funzione è detta decrescente se per ogni x₁ e x₂ nel dominio, con x₁ < x₂, si ha f(x₁) ≥ f(x₂).

Funzioni suriettive, iniettive e biettive

Funzione iniettiva

Una funzione è detta iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.

Funzione suriettiva

Una funzione è detta suriettiva se il codominio dell'immagine della funzione è uguale all'intero insieme B.

Funzione biettiva

Una funzione è detta biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.