Formulario Statistica

Scostamento quadratico o deviazione standard 1

2 2 2

( −) +( −) +⋯+( −) 1

2 2

1 2

 ∑(

= − )

Varianza = 1

2 2 2 2

 ( ∑(

= ( − ) + ( − ) + ⋯ + − ) = − )

Devianza 1 2 1

Nel caso di distribuzioni di frequenze | −| +| −| +⋯+| −| 1

1 1 2 2

 ∑|

= = − |

Scostamento semplice medio 1 1

2 2 2

( −) +( −) +⋯+( −) 1

1 1 2 2

 √ 2

∑(

= = √ − )

Scostamento quadratico o deviazione standard 1 1

2 2 2

( −) +( −) +⋯+( −) 1

2 2

1 1 2 2

 ∑(

= − )

Varianza = 1 1

2 2 2 2

 ( ∑(

= ( − ) + ( − ) + ⋯ + − ) = − )

Devianza 1 1 2 2 1 1

̅

Nel caso di raggruppamenti in classi, sostituire con , quindi utilizzare i valori centrali applicandoli alle formule delle

1

distribuzioni di frequenze. 1 2 2

 {|

∑ ∑| ∑ ∑| | | |

∆= − | = − | = − + − +

Differenza semplice media 1 2 1 3

(−1) (−1) (−1)

| | | | | | | |}

− + − + − + −

2 1 2 3 3 1 3 2

Nel caso di distribuzioni di frequenze 2

 ∑ ∑|

∆= − |

Differenza semplice media

(−1)

 ∆ = −

Campo di variazione differenza tra il valore maggiore e il minore di una distribuzione = () (1)

 ∆ = −

Differenza interquartile 3 1

 = × 100

Coefficiente di variazione

∑( − ) 2

1 1

 

∑(

= = − )

Indice di concentrazione ordinarli

1 1

∑ −1

1

Tabella esempio:

= =

Nel caso di distribuzioni di frequenze

−

= =

/ / − )

(

+ + / / ( − )

+ ( − )

TOT Ntot Atot

=

2

 ∑

= 1 −

Indice di eterogeneità 1 1

 ∑

= − ln( )

Entropia 2 1 1



Distribuzione simmetrica se, considerando le coppie di modalità prima e ultima, seconda e penultima e così via,

per ciascuna coppia le modalità sono equidistanti dalla mediana e hanno la stessa frequenza

−

 =

Misure di asimmetria 1

1 1 3

∑(

= − )

2 1 1

3

( −)−(− )

3 1

=

3 −

3 1

Tabella a doppia entrata

x Y1 Y2 Yj Y+ TOT

X1 N1,1 N1,2 N1,j N1,+ N10

X2 N2,1 N2,2 N2,j N2,+ N20

TOT No1 No2 noj No+ N

Distribuzioni marginali



Carattere x

Modalità x X1 X2 xi xk TOT

Frequenza N10 N20 nio nko N



Carattere y

Modalità y Y1 Y2 yj Y+ TOT

Frequenza No1 No2 noj No+ N

Distribuzioni condizionate



Carattere x

Modalità x X Y1 Y2 yj Y+

Frequenza rel. X1 N1,1/n1o N1,2/n1o N1,j/n1o N1,+/n1o

X2 N2,1/n2o N2,2/n2o N2,j/n2o N2,+/n2o



Indipendenza se le distribuzioni condizionate delle frequenze relative di x, dato y=yj, sono uguali tra loro, allora il

carattere x è indipendente. ×

=

Si dice che i caratteri x e y sono indipendenti se per ogni coppia (i, j)

,

−̂

, ,

 =

Contingenze , ̂ , 2

−̂

( )

1 , ,

 ∑ ∑

=

Misura indipendenza √ ̂

,

2

−̂

( )

, ,

 ∑ ∑

= =

Chi quadrato ̂ ,

 =

Indice relativo di dipendenza in cui s=righe, t=colonne

[(−1),(−1)

√min

1

 ∑ ∑

= =

Media distribuzioni marginali

 = + =

Devianza distribuzioni marginali di y 2 2 2

( ) ( )]

= ∑( − ) = ∑[ − ] + ∑ ∑[ −

1 1 1

2

( )−

∑[ ]

1

2

 = =

Rapporto di correlazione 2

∑(

− )

1

 ̂ = +

Retta di regressione 0 1 1 ∑ −

∑( − )( − ) × × 1 1

1 1

= = = = = = −

In cui ;

1 1

1 1

2

2 12 2 12 2

∑( − ) ∑ ∑

− −

1

 = − ̂

Residui 1 1 1 2

∑(̂ − )

1

2

 

= = =

Bontà di adattamento 2

∑( − ) 2 2

1

√

2 2 2

∑( ∑( ∑(

= − ) ; = ̂ − ) ; = − ̂ )

In cui 1 1 1

Nel caso di distribuzioni di frequenze

∑( − )( − )

1 1

 =

Retta di regressione 1 2

∑( − )

1

2

∑(̂ − )

1

2

 =

Bontà di adattamento 2

∑( − )

1

2 2 2

= ∑( − ) ; = ∑(

̂ − ) ; = ∑( − ̂ )

1 1 1

∑(

− − )( − )

1 − 1 1 1

1

 ∑(

= × )=

Coefficiente di correlazione 2 2

∑(

√∑( − ) − )

1 1 1

Nel caso di distribuzioni in frequenze ∑( − )( − )

1 1

 =

Coefficiente di correlazione 2 2

∑(

√∑( − ) − )

1 1 1

  ( ) )

= ∪ = ( + ( )

Eventi incompatibili il verificarsi di uno esclude gli altri 1 2 1 2

 ( ∩ ) = () × ()

Eventi indipendenti se ⁄ )

( = ()  

Probabilità totale di eventi compatibili se devono verificarsi contemporaneamente

(1 2) = (1) + (2) − (1 ∩ 2)

 (1 2) = (1) × (2)

Probabilità totale di eventi dipendenti (∩)

  ⁄ )

( =

Probabilità condizionata se si conosce un evento “sapendo” ()

⁄

()( )

 ⁄ )

( =

Formula di Bayes ⁄

∑ ()( )

 ! = ( − 1)( − 2) … 1

Permutazioni !



Combinazioni !(−)!



Variabile casuale ogni risultato numerico di un esperimento casuale



Variabile casuale discreta se può assumere un numero finito o un’infinità numerabile di valori

 

∑

() = ( ≤ ) = ()

Funzione di ripartizione si ottiene sommando i valori della probabilità

 ∑

= ()

Media (valore atteso)

2 2

 ∑(

= − ) ()

Varianza  () = ( ≤ )

Variabile casuale continua se esiste una funzione f(x) tale che la funzione di ripartizione è data

dall’area sottesa a f(x) a sinistra di x

 () = ()

Media ∫

2

 (

() = − ) ()

Varianza ∫



Quantili si chiama quantile la quantità in cui la funzione xp in cui la funzione di ripartizione assume il valore p

1. Trovare il livello di quantile nella tabella

= +

2.



Standardizzazione per standardizzare, sottrarre a ciascun valore x la media e dividere il risultato per

2

(| − | ≥ ) ≤ 2



Distribuzione uniforme discreta se si assegna una certa probabilità ad N numeri naturali

2

1 +1 − 1

() = ; () = ; () =

2 12



Distribuzione di Bernoulli singola esecuzione di un esperimento tipo lancio della moneta

1−

() = (1 − ) ; () = ; () = (1 − )



Distribuzione binomiale se ho una sequenza di prove che possono portare ad un successo o insuccesso