Formulario statistica 2

FORMULARIO STATISTICA

EVENTI

Evento impossibile = 0

Evento certo = 1 n

E

P(E ) = lim

Probabilità di un evento: n

n→∞ n

E

f (E ) =

freq. rel. in cui si veri ca un evento: : n =num di prove in cui si veri ca l’E; n=num

E

n

di prove tot. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B)

Teorema della regola della somma:

Probabilità condizionata:

P(A ∩ B)

P(A B) = P(B) > 0 P(A ∩ B) = P(A /B)P(B)

/ con . —>

P(B)

P(A ∩ B) P(A) > 0 P(A ∩ B) = P(A /B)P(A)

P(B A) =

/ con . —>

P(A)

Indipendenza:

P(A ∩ B) = P(A)P(B) → P(A /B) = P(A) P(B /A) = P(B) con reinserimento

e P(A)=0 P(B)=0

Incompatibilità: se 2 E sono compatibili non sono indipendenti: e

P(A ∩ B) = 0 senza reinserimento.

P(A) = P(A ∩ E ) + P(A ∩ E )) + . . . + P(A ∩ E )

Teorema delle probabilità totali: —>

1 2 n

∑

P(A) = P(E )P(A /E ) . Probabilità di 1 evento

i i

VARIABILI CASUALI

Variabili casuali discrete:

P(x ) = P(X = x )

Funzione di probabilità: :

i i ∑

F(x ) = P(X ≤ x ) = P(x)

Funzione di ripartizione: 0 0

∑

E(X ) = x P(x ) = μ

Valore atteso/media: i i X

2 2

∑

V(X ) = σ = (x − μ ) P(x )

Varianza: i X i

X Y = a + bX

• Trasformazione lineare:

E(Y ) = E(a + bX ) = a + bE(X )

2

V(Y ) = V(a + bX ) = b V(X )

E(X + X + . . . + X ) = E(X ) + E(X ) + . . . + E(X )

Somma di variabili casuali:

• 1 2 n 1 2 n

V(X + X + . . . + X ) = V(X ) + V(X ) + . . . + V(X )

v. c. sono indipendenti:

Se le 1 2 n 1 2 n

1

P(x) =

Variabili casuali Uniforme discreta: X ~ Ud(a, s),

. Si indica con dove:

s

- s —> il num di valore che la v. c. può assumere;

- a —> il + piccolo valore.

s − 1

E(X ) = a +

media:

La ;

2

2

s − 1

V(X ) =

varianza:

La 12 x 1−x

P(x) = π (1 − π) x = 0,1

Variabili casuali Bernoulli: X ~ Ber (π),

; . Si indica con dove:

P(X = 1) = π → 0 ≤ π ≤ 1

- parametro che indica la probab di successo, in cui ;

P(X = 0) = 1 − π

- . E(X ) = π

media

La di una v. c. di Bernoulli X è: V(X ) = π (1 − π)

varianza

La di una v. c. di Bernoulli X è: .

nx x n−x

P(x) = ( )π (1 − π)

Variabili casuali Binomiale (Bernoulliana): X ~ Bin (π,

e si indica con

n!

nx

( ) =

n), dove: x!(n − x)!

fi fi

n —> num. di ripetizioni dell’esperimento Bernoulliano;

- π —> probab. di successo, costante ad ogni estrazione;

- x —> num. di successi;

nx

( )

- n

—> coe ciente binomiale, numero di sequenze in cui si hanno x successi in prove.

n!

nx

( ) =

Il coe . Bin: .

x!(n − x)!

- n! —> rappresenta il prodotto dei primi n num. naturali n!= (1)(2)…(n-1)n;

- 0! =1 —> per de nizione;

n! n! n! n!(n − 1)!

n n

( ) = = =1 ( ) = = = n

0 1

0!(n − 0)! 1n! 1!(n − 1)! 1(n − 1)!

n! n! nx nn−x

nn nn−1 ( ) = ( )

( ) = =1 ( ) = = n

0!n! (n − 1)!1!

E(X ) = n π

media

La di una v. c. Binomiale X: V(X ) = n π (1 − π)

varianza

La di una v. c. Binomiale X: .

Variabile casuale Uniforme continua: X ~ U (a, b), dove:

si indica con

- a —> il + piccolo valore; b —> il + grande valore.

a + b

E(X ) =

media

La di una v. c. Uniforme continua X è: 2 2

(b − a)

V(X ) =

varianza

La di una v. c. Uniforme continua X è: .

12

Variabile casuale Normale: U ~ N (μ, σ ),

Si indica con può assumere valori su tutto l’asse reale

2

−∞ ≤ x ≤ + ∞

( ), con funz. di densità:

1 x − μ

1 2

− ( ) (−∞ ≤ x ≤ + ∞)

f (x) = e σ , .

2

σ 2π (−∞ < μ < + ∞)

- μ: valore atteso o media —>

- σ: scarto quadratico medio —> σ > 0;

2

π = 3,141 e = 2,718

e

π ed sono delle costanti: ; E(X ) = μ

- valore atteso

Il (media o speranza matematica): ;

2

V(X ) = σ

- varianza:

La .

Variabile casuale Normale standardizzata: la v. c. standardizzata Z si ottiene mediante la

X − μ

Z = Z ~ N (0, 1).

seguente trasformazione: . Si indica con Ha la seguente funzione di

σ

2

1 z

−

f (x) = e (−∞ < Z < + ∞)

densità: ,

2 .

2π 2

μ = 0 σ = 1

In cui i parametri assumono i seguenti valori: .

;

Z Z

ci F(z ) = Φ(z ) = P(Z < z )

Φ(.): .

1 1 1

P(z ≤ z ) P(z > − z ) Φ(z) = 1 − Φ(z)

Se o —>

i i

ariabili casuali

Successione di v.c. i.i.d.: S = X + X + X + . . . + X

somma

La di variabili casuali: ;

profondisce lo studio di una successione (o sequenza) di variabili casuali,

n 1 2 3 n

1

, indipendenti e identicamente distribuite , aventi cioè

, … , . . .

− = (X + X + X + . . . + X )

3 media

La di variabili casuali: ;

X 1 2 3 n

n

unzione di probabilità o di densità, qualunque essa sia (Uniforme, Bernoulli,

Teorema del limite centrale: S = somma delle successioni

n

E(X + X + X + . . . + X ) = E(X ) + E(X ) + . . . + E(X ) = nμ

1 2 3 n 1 2 n

to, ci limiteremo ad esporre le proprietà di alcune successioni che sono 2

V (X + X + X + . . . + X ) = V (X ) + V (X ) + . . . + V (X ) = n σ

1 2 3 n 1 2 n

comprensione dell’inferenza statistica. S − nμ

n d

Z = →

S ~ N (n μ, nσ ) —> Z ~ N (0, 1).

Quindi si può scrivere: 2 n

n

variabili casuali: nσ

= + + + ⋯ + 2

1 2 3

2 X − μ

σ

1 d

Z = →

ത ~ N (μ, ) —> Z ~ N (0, 1) .

riabili casuali: = + + + ⋯+

n σ

n

1 2 3

n

ff ffi fi

IL CAMPIONAMENTO

Popolazione nita: 1 ∑

μ = x

Media della popolazione:

- i

N 1

2 2

∑

σ = (x − μ)

Varianza della popolazione: .

- i

N

campionamento probabilistico

Popolazione in nita: v. c. Discret v. c. Continua

+∞

ampionamento casuale semplice: il numero di possibili campioni ∫

∑

μ = E(X ) = x p(x ) μ = E(X ) = x f (x)d x

Media della popolazione:

- i i

In generale si può dimostrare che il numero dei possibili campioni distinti di unità estraibili da

−∞

una popolazione finita di dimensione dipende dalla modalità di estrazione del campione e dal

+∞

∫

fatto che si consideri o meno l’ordine di estrazione: 2 2 2 2

∑

σ = (x − μ ) p(x ) σ = (x − μ ) f (x)d x

Varianza della popolazione: .

- i X i X

−∞

Estrazione

Campioni

!

− !

!

+−1 !

! − !

! − 1 !

DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA:

X + X + . . . + X 1

1 2 n

− ∑

= = X

Media campionaria: .

X i

n n

- n

N

con ripetizione

Estrazione —> i possibili campioni sono: ; N !

senza ripetizione

Estrazione —> i possibili campioni sono:

- .

(N − n)!

Media campionaria con ripetizione:

−

- E( ) = μ = μ

valore atteso:

Il ;

−

X X 2

σ

− 2

V ( ) = σ =

varianza:

- La ;

−

X X n σ

−

SD ( ) = σ =

sqm

Lo (deviazione/ errore standard): .

- −

X X n

Media campionaria senza ripetizione:

−

- E( ) = μ = μ

Valore atteso: ;

−

X X

2

σ N − n N − n

− 2

V ( ) = σ =

Varianza:

- ; dove è il fattore di correzione per popolazione nita.

−

X X N − 1

n N − 1

Se n=N —> V(X)=0

Popolazione Normale: X ~ N (μ, σ ).

Si indica con 2 2

σ

− N(μ, )

.

Qualunque sia la numerosità campionaria n: X ~ N (μ, σ ) —> ~

2 X n

−

2 2 − μ

σ σ X

La media campionaria

− N(μ, ) → Z N(μ, ) → Z =

N(0,1)

X ~ N (μ, σ ) —> ~ ~ ; dove .

2 − −

X σ

n n

X X

La forma della distribuzione: alcuni esempi

La media campionaria n

La figura rappresenta la distribuzione della media campionaria per campioni di diversa ampiezza

► −

Z

Si può usare la funz. di rip. della v. c. per calcolare la P che appartenga a qualsiasi intervallo.

La forma della distribuzione: schema riassuntivo estratti da tre popolazioni aventi distribuzioni differenti.

− X

X

Nella tabella seguente, lo schema per ricavare la forma della distribuzione della media campionaria.

► Quanto più la distribuzione della

Distribuzione della variabile nella popolazione

popolazione è simmetrica e campanulare

tanto minore è la dimensione campionaria

2 2 2

~ , ~ ? , ~ ,

per la quale si ha una buona =

approssimazione alla .

2 ò

ò

σ

ത

→ ccolo ~ ,

( ) =

2

2 2 σ

σ σ ത

ത ത

→ ~ ,

~ , ~ ,

=

fi fi a fi

Variabile casuale Binomiale di Bernoulli: π rappresenta la freq. rel. con cui si presenta il valore 1

e indica la proporzione di successi nella popolazione:

∑

E(X ) = X f (X ) = 0(1 − π) + 1π = π

i i

2 2 2 2

∑

σ = (X − π) f (X ) = (0 − π) (1 − π) + (1 − π) π = π (1 − π)

i i X + X + . . . + X

1 2 n

− = = P 0 ≤ P ≤ 1

Popolazione Bernpulli n unità (0,1): con

X n

Se P è la proporzione campionaria di successi in un campione casuale di dimensioni n estratto da

una popolazione di Bernoulli in cui la proporzione di successi è = π, valgono:

E(P) = π

- Valore atteso: ;

π (1 − π)

2

V(P) = σ =

Varianza: ;

- P n

π (1 − π)

SD(P) = σ =

Sqm: .

- P n

n→∞

→

X ~ Ber (π) N (0, 1).

p − π n→∞

Z = → N(0,1)

.

P π(1 − π)

n

Ci si può riferire alla distrib. Normale anche nel caso della popolazione campionaria, solo quando

sono soddisfatte le seguenti condizioni: La stima puntuale

n > 20 n π > 5 n(1 − π) > 5

• ; ; . Stima puntuale e stimatore: schema

Quando non si conosce il valore di π, per veri care le precedenti condizioni si può usare la

La distinzione tra stima puntuale e stimatore puntuale si può rappresentare in maniera schema

►

proporzione osservata nel campione estratto, indicata con p.

modo seguente.

LA STIMA

x + x + . . . + x

1 2 n

p = n Campione casuale Campione osservato

1 , , … , , , … ,

1 2 1 2

− ∑

= X

Stimatore media campionaria →

X i

n

1 = , , … , = , , … ,

− ∑

= x

Stima puntuale → 1 2 1 2

.

x i

n Stimatore puntuale Stima puntuale

T = stimatore t =stima

n n

θ= parametro da stimare

E(T ) = 0

T corretto

di θ è se

n −

E( ) = μ

- media