Formulario Statisca descrittiva Probabilità e variabili aleatorie

Formulario di statistica descrittiva

Frequenze

Frequenza relativa: f_j = m_j/n

Frequenza percentuale: p_j = f_j × 100

Frequenza assoluta: n_j = f_j × n

Frequenze cumulate assolute: N_j

Frequenze cumulate relative: F_j = Δc_j/n = Δf_j

Densità di frequenza: È quella frequenza che si avrebbe se le classi avessero tutte lo stesso ampiezzo.

Ampiezza

Ampiezza: Estremo superiore meno estremo inferiore h = m_i/a_i ⇒ (m_i) = a_hi

h_i = f_i/a_i, h_i = p_i/a_i

Media aritmetica

Media aritmetica per distribuzioni unitarie: Quando il carattere è quantitativo X̄ = Σ_i=1ⁿ x_i ⇒ X̄ = 1/nv Σ_i=1 x_i

Media aritmetica per le distribuzioni di frequenza: X̄ = Σ_i=1^k n_i × x_i ⇒ X̄ = 1/nv Σ_i=1 x_i × f_i

Media aritmetica di un carattere suddiviso in classi: X̄ = 1/nv Σ_i=1(a_i) m_i ⇒ X̄ = 1/nv Σ_i=1(x_i) m_i - corrispondente a frequenza assoluta (vedere centro della classe)

Media aritmetica ponderata: x̄ = (∑_i=1ⁿ x_ip_i) / (∑_i=1ⁿ p_i) p_i = pesi

Proprietà della somma

• ∑_i=1^k c = kc
• ∑_i=1^k ca_i = c ∑_i=1^k a_i
• ∑_i=1^k (a_i+b_i) = ∑_i=1^k a_i + ∑_i=1^k b_i
• ∑_i=1^{k a_i}/_bi = ^a₁/_b1 + ^a₂/_b2 + ... + ^a_k/_bk
• ∑_i=1^k a_ib_i = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_kb_k

Proprietà della media aritmetica

• ¹/_n ∑_i=1ⁿ x_i = μ x̄
• ∑_i=1ⁿ (x_i – x̄) = 0
• ∑_i=1ⁿ (x_i – c)² è minimo per c = x̄
• x̄ = ¹/_n ∑_i=1ⁿ X_(i) M_(i)
• ȳ = a x̄ + b

Formula della media generale

x̄ = ¹/_n (x̄₁ h + x̄₂ μ – h)

Mediana di una distribuzione unitaria

• Ordinare le unità in senso crescente.
• Posizione mediana:
• se n è dispari: (n+1)/2
• se n è pari: (n/2, n/2+1)
• La modalità che si trova nella posizione mediana:
• se n è dispari: _Me=_X(n+1)/2
• se n è pari: _Me=_Xn/2, _Me=_Xn/2+1
• Se il carattere è quantitativo: _Me = (X_n/2 + X_n/2+1) / 2

Proprietà della mediana

f(c) = Σ_i=1ⁿ|_{x_i}-c| = minimo quando c è la mediana

Mediana di una distribuzione di frequenza

• Se F_n-1 < 0,5 ≤ F_m allora _Me = _Xm
• Se F_n-1 = 0,5 ≤ F_m allora _Me = (X_n/2 + X_m)/2

La mediana è calcolabile anche per caratteri: qualitativi ordinabili (crescente)

Mediana quando il carattere è suddiviso in classi

• Individuare la classe mediana:
• Se F_n-1 < 0,5 ≤ F_m, la classe è quella che ha F_m
• Se F_n-1 = 0,5 ≤ F_m, la classe è quella che ha 0,5
• _Me = _Ime + (0.5 - F_me-1) / (f_me - F_me-1) * Δ_me

Considerazioni sulla media e la mediana

La media aritmetica è influenzata dalla presenza di valori anomali (valori che si discostano molto dagli altri).

La mediana è robusta rispetto alla presenza di valori anomali.

Moda

La modalità