Formulario Probabilità e Statistica

Densità discreta di X

Probabilità condizionata

P(A ∩ B) Funzione che ad ogni valore assunto da X associa

Calcolo combinatorio P(A B) =| la probabilità che X assuma quel valore:

Permutazione di n oggetti• P(B) p (x ) = P(X = x )

è ogni allineamento di n oggetti distinti in n Proprietà x k k

caselle: P(X ≤ x) = P(X = 0) + . . . + P(X = x)

P(A ∩ B) = P(B A)P(A)| •n! P(X < x) = P(X ≤ x − 1)

P = n! P* = •P(B A)P(A)|n k !k !...k ! k !k ! . . . k !1 2 r P(A B) = P(X > x) = 1 − P(X ≤ x)|1 2 r •P(B)

Disposizione di n oggetti in k posti• P(x < X ≤ y) = P(X ≤ y) − P(X ≤ x)•

è ogni allineamento di k oggetti scelti tra n oggetti P(A B) = 1 − P(A B)| | (X ≥ x) = 1 − (X < x)

N.B: distinti in k posti: kD = n(n− 1) . . . (n− k + 1) D* = n

Probabilità totali (Condizioni esperimento casuali)n,k n,k

Funzione di ripartizione

n

Combinazione di n oggetti di classe k• F(x) = P(x = 0) + . . + P(x = n)∑P(A) = P(A B )·P(B )| (( )n n! j J F : R − > [0,1] ∀x ∈ R come F (x) := P(X ≤ x)

C = = j= 1 X Xn,k k k!(n− k)! P(X ≤ x) = F(x)

P(A) = P(A B)P(B) + P(A B )P(B )| | • P(X > x) = 1 − F (x)( )

•n+ k − 1 X

Formula di Bayes (Predizione valutando cond. f) C* = P(x < X ≤ y) = F (y) − F (x)(con ripetizioni) •P(A B )P(B ) X X|n,k k k k P(X < y) = lim F (x)

P(B A) =| • −x−> y X

k n∑ P(A B )·P(B )| j J P(X = y) = F (x) − lim F (x)

Spazio di probabilità (Ω, F, P)

j= 1

• X x−> y X

Formula di moltiplicazione

Ω -> Insieme di ogni possibile risultato di un esperimento, gli elementi prendono il nome di eventi.

P(A ∩ A ∩ . . . ∩ A ) = P(A )P(A A )P(A A ∩ A1)| |1 2 n 1 2 1 3 2

• Monotona non decrescente
• Continua da destra, lim F (x) = F (x )

x−> x0 X X 0

lim F (x) = 0 e lim F (x) = 1

Indipendenza di eventi 3.F σ Ω x−> −∞ X x−> ∞ X

-> Famiglia (σ-algebra) di sottoinsiemi di P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

rappresentanti i possibili eventi di un P(A B) = P(A)|

Ω F Densità discrete notevoli

esperimento. ((Ω, F) -> sp. probabilizzabile

P -> Probabilità, Aיִdabilità di un sistema

P(E ) = E / Ω = casi favorevoli / nu mero casi

| | | | Serie -> il sistema funziona se e solo se

• in n prove (estrazione con reimissione):

a = a ·a . . . a ( )

funzionano tutti i componenti. n

Densità binomiale

P 1 2 n

Proprietà di k n−k

X ∼ Bi(n, p) p (k) = p (1 − p)

Parallelo -> il sistema funziona se e solo se

•c XP(A ) = 1 − P(A) k

• funziona almeno un componente.

EX = np VarX = np(1 − p)

P(A) ≤ 1

• a = 1 − (1 − a )·(1 − a )1 2

il numero di oggetti di tipo K che si trovano in un

B ⊂ A = > P(A /B) = P(A) − P(B)

se

• campione di n oggetti estratti con reimmissione da

B ⊂ A = > P(B) ≤ P(A)

se Variabile aleatorie discrete• un insieme di N oggetti che contiene K oggetti di

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) X : Ω − > R

Funzioni del tipo , la scrittura

• un tipo e (N-K) oggetti di un'altro è:

K(X ∈ I ) è un abbreviazione di

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − [P(A ∩ B) + P(B ∩ C ) + P(A ∩ C )] + P(A ∩ B ∩ C )

X ∼ (n, )∞ [ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I ] N∞ .

∑P(∪ A ) = P(A ) , con A ∩ A = ∅

n n i j

n= 1

Variabili aleatorie continue

Densità bernulliana Densità Gaussiana standard

• •Z ∼ N(0,1)

Densità continua e Funzione di ripartizione di X

Una prova di Bernoulli può avere solo due esiti: xx 1 ∫

successo con probabilità p e insuccesso con ∫ 2−x

F (x) = e d x = Φ(x) F (x) = f (s)d s f (x) = F′(x) 2

preced)(sommaprobabilità 1-p. La densità bernulliana descrive Z X X 2π −∞−∞

l'esito di ogni prova di bernoulli: 1

f (x)d x = 11. ∫ 2

X ∼ Be( p) p (1) = p; p (0) = 1 − p −xR X

f (x) = e = φ(x)

X X 2Z

f (x) f (x) ≥ 02. è integrabile, per ogni x

Densità geometrica

• 2π

P(X = x) = 0

conta il numero di prove necessarie per ottenere il 3. , (int. P) EZ = 0 VarZ = 1

primo successo (A.M= ): P (Z > n + m Z > n) = P (Z > m)|

P(X ≤ x) = P(X < x) f (x)d x > , ≥4. = ∫(a,b) ( ) Φ(−t) = 1 − Φ(t) μk−1 x

X ∼ G( p) p (k) = p(1 − p) Pr