Formulario Probabilità e Statistica

Densità discreta di X

Probabilità Probabilità condizionata

P(A ∩ B) Funzione che ad ogni valore assunto da X associa

Calcolo combinatorio P(A B) =

| la probabilità che X assuma quel valore:

Permutazione di n oggetti

• P(B) p (x ) = P(X = x )

è ogni allineamento di n oggetti distinti in n Proprietà x k k

caselle: P(X ≤ x) = P(X = 0) + . . . + P(X = x)

P(A ∩ B) = P(B A)P(A)

| •

n! P(X < x) = P(X ≤ x − 1)

P = n! P* = •

P(B A)P(A)

|

n k !k !...k ! k !k ! . . . k !

1 2 r P(A B) = P(X > x) = 1 − P(X ≤ x)

|

1 2 r •

P(B)

Disposizione di n oggetti in k posti

• P(x < X ≤ y) = P(X ≤ y) − P(X ≤ x)

•

è ogni allineamento di k oggetti scelti tra n oggetti P(A B) = 1 − P(A B)

| | (X ≥ x) = 1 − (X < x)

N.B:

distinti in k posti: k

D = n(n− 1) . . . (n− k + 1) D* = n Probabilità totali (Condizioni esperimento casuali)

n

,k n

,k Funzione di ripartizione

n

Combinazione di n oggetti di classe k

• F(x) = P(x = 0) + . . + P(x = n

)

∑

P(A) = P(A B )·P(B )

| (

( )

n n! j J F : R − > [0,1] ∀x ∈ R come F (x) := P(X ≤ x)

C = = j= 1 X X

n

,k k k!(n− k)! P(X ≤ x) = F(x)

P(A) = P(A B)P(B) + P(A B )P(B )

| | • P(X > x) = 1 − F (x)

( ) •

n+ k − 1 X

Formula di Bayes (Predizione valutando cond. f)

C* = P(x < X ≤ y) = F (y) − F (x)

(con ripetizioni) •

P(A B )P(B ) X X

|

n

,k k k k P(X < y) = lim F (x)

P(B A) =

| • −

x−> y X

k n

∑ P(A B )·P(B )

| j J P(X = y) = F (x) − lim F (x)

Ω F P j= 1

Spazio di probabilità ( , , ) • X x−> y X

Formula di moltiplicazione

Ω -> Insieme di ogni possibile risultato di un 1. monotona non decrescente

P(A ∩ A ∩ . . . ∩ A ) = P(A )P(A A )P(A A ∩ A1)

| |

1 2 n 1 2 1 3 2

esperimento, gli elementi prendono il nome lim F (x) = F (x )

2. continua da destra, x−> x0 X X 0

di eventi. lim F (x) = 0 e lim F (x) = 1

Indipendenza di eventi 3.

F σ Ω x−> −∞ X x−> ∞ X

-> Famiglia ( -algebra) di sottoinsiemi di P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

rappresentanti i possibili eventi di un P(A B) = P(A)

|

Ω F Densità discrete notevoli

esperimento. (( , ) -> sp. probabilizzabile

P Densità binomiale

•

-> Probabilità, Affidabilità di un sistema

P(E ) = E / Ω = casi favorevoli / nu mero casi Conta il numero complessivo di successi ottenuti

| | | | Serie -> il sistema funziona se e solo se

• in n prove (estrazione con reimissione):

a = a ·a . . . a ( )

funzionano tutti i componenti. n

P 1 2 n

Proprietà di k n

−k

X ∼ Bi(n, p) p (k) = p (1 − p)

Parallelo -> il sistema funziona se e solo se

•

c X

P(A ) = 1 − P(A) k

• funziona almeno un componente. EX = np VarX = np(1 − p)

P(A) ≤ 1

• a = 1 − (1 − a )·(1 − a )

1 2 il numero di oggetti di tipo K che si trovano in un

B ⊂ A = > P(A /B) = P(A) − P(B)

se

• campione di n oggetti estratti con reimmissione da

B ⊂ A = > P(B) ≤ P(A)

se Variabile aleatorie discrete

• un insieme di N oggetti che contiene K oggetti di

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) X : Ω − > R

Funzioni del tipo , la scrittura

• un tipo e (N-K) oggetti di un'altro è:

K

(X ∈ I ) è un abbreviazione di

P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) − [P(A ∩ B) + P(B ∩ C ) + P(A ∩ C )] + P(A ∩ B ∩ C ) X ∼ (n, )

∞ [ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I ] N

∞ .

∑

P(∪ A ) = P(A ) , conA ∩ A = ∅

n n i j

n= 1

Densità bernulliana Densità Gaussiana standard

Variabili aleatorie continue

• •

Z ∼ N(0,1)

Densità continua e Funzione di ripartizione di X

Una prova di Bernoulli può avere solo due esiti: x

x 1 ∫

successo con probabilità p e insuccesso con ∫ 2

−x

F (x) = e d x = ϕ(x)

F (x) = f (s)d s f (x) = F′

(x) 2

preced)

(somma

probabilità 1-p. La densità bernulliana descrive Z

X X 2π −∞

−∞

l'esito di ogni prova di bernoulli: 1

f (x)d x = 1

1. ∫ 2

X ∼ Be( p) p (1) = p; p (0) = 1 − p −x

R X f (x) = e = φ(x)

X X 2

Z

f (x) f (x) ≥ 0

2. è integrabile, per ogni x

Densità geometrica

• 2π

P(X = x) = 0

conta il numero di prove necessarie per ottenere il 3. , (int. P) EZ = 0 VarZ = 1

primo successo (A.M= ):

P (Z > n + m Z > n) = P (Z > m)

| P(X ≤ x) = P(X < x) f (x)d x > , ≥

4. = ∫(a,b) ( ) ϕ(−t) = 1 − ϕ(t) μ

k−1 x

X ∼ G( p) p (k) = p(1 − p) Pr